2.1　广义非线性模型

现在经济提出的大量广义模型具有理论意义，但不具备实用性。本节通过模型的进一步讨论，提出使用价值更高的模型框架。

假定系统输入为yt，独立可观测输入向量为ut。例如，yt是政府支出，ut是相应的分配序列，对应q阶滞后冲击的广义模型就可以表示为：

yt=f（ut，ut-1，…，ut-q）+εt　（2-1）

函数f具有良好性质时，在0处进行泰勒展开得到：

yt=μ+线性分量+二次分量

+三次分量+…+m次分量

+et　（2-2）

上式的三次项包括所有的ui，tuj，suk，p的三元项，i、j、k的取值分别从1到v，t、s、p的取值分别从0到q，每项前都有参数。显然，该定义的参数过多而不便使用。如果限制q阶滞后在1～2阶，v也限制在1～2，再限制项数m，就可得到合适模型。明显特征是如果冲击序列为单一频率（single frequency），即ut=asinθt+bcosθt，那么输出序列包括频率θ与所有的谐频项（harmonics）。如果ut包含两个频率θ0、θ1，yt就包含频率θ0、θ1、θ0+θ1、k0θ0+k1θ1，其中k0、k1是整数。因而，频率分析在非线性模型中要难于线性模型。

对应不可观测的ut与独立同分布εt，且et=0，得到此类模型的特例，相应的展开式为

上式为模型的正规表示。研究yt的性质需要确定系数bij的性质及其势（power）。Wiener（1958）称展开式（2-3）为Volterra序列，Rugh（1981）及其他学者也研究Volterra序列，Priestley（1981）称（2-2）为双Volterra序列。（2-3）是以Wold形式表示的一般非线性形式，即任意二阶平稳序列xt总能表示为：

对于独立同分布过程εt和序列bj，上式也成立。

因此，和xt具有相同的均值、方差、自协方差，但两者的更高阶矩的性质可能不一样。

除非省略许多项，不然Volterra序列的展开式太复杂，不易使用。为此，考虑Volterra序列变成非线性平均过程（NLMA）的例子。Robinson（1977）研究了

yt=εt+αεt-1+βεtεt-1

的参数估计及其渐进性质。非线性移动平均模型的实际用处不大，部分原因是不可逆性与难以直接预测，但可用非线性移动平均模型分析特殊序列。例如，Rocke（1982）考虑了下式生成的yt：

yt=εt+b1ψ（εt-1）+b2ψ（εt-2）+…

其中，对于任意x>0，存在ϕ（x）≤x，ϕ（-x）=-ϕ（x），ϕ′（0）=1，称其为有限反应模型（limited-response model）。对于微小冲击，该模型与线性ARMA模型相似；对于较大冲击，该模型不如线性外推（linear extrapolation）的反应强烈。相对于正常冲击，如果模型受大冲击影响之后阶数少，就认为该模型更适合用于经济分析。例如，相比投入价格的正常增长，一般更容易接受意外价格的大幅增长。

输入-输出系统和Volterra序列的明显缺陷是没有充分利用有效信息，即没有直接利用滞后因变量。没有上述缺陷的输入-输出模型是“状态仿射模型”（state affine model），可参见Sontag（1977）、Guegan（1987）等。令Ut，r≡（Ut，Ut-1，…，Ut-r）是输入序列及滞后项，考虑模型：

如果Pk()和Q是U()t，r的多项式，该系统就可写成状态空间模型：

Zt+1=F（Ut）Zt+H（Ut）

yt=G（Ut）Zt+I（Ut）

此时，Zt是描述t时刻的系统状态特征的状态向量，F、H、G和I都是多项式。在本例中，Ut≡εt是独立同分布输入序列，Guegan指出，尽管在实际中不容易使用该模型，但模型的最终表示形式包括双线性模型，且可以满足平稳性与可逆性条件。

Priestly（1980）提出相关的“状态因变量模型”（state-dependent models）的广义模型，Priestly（1988）深入研究了该模型。具体而言，从因果关系开始分析：

yt=h（It-1）+et，

其中，It：yt-j，et-j，0≤j≤m是信息集，利用一次泰勒展开，得到模型：

此时，状态变量的向量Zt是信息集It的函数，从向量ARMA模型生成yt。展开状态变量时，其系数随时间变化。只有说明状态变量生成过程，才能完成建模工作。为了简化定义，考虑yt为标量的单变量模型，Priestley建议参数通过下式展开：

其中，

wt=（εt-q，εt-q+1，…，yt-p，…，yt）

从而w包含p+q个元素。同样地，

和

定义

该式为所有方程元素α、β、γ组成的向量，最后需要确定的模型为：

Bt+1=Bt+Vt+1　（2-4）

Vt是独立矩阵随机变量过程。从而得到状态因变量模型，可用卡尔曼算法估计模型。

相关的模型是Tjøstheim（1986）介绍的“双随机过程”（doubly stochastic models）。例如，考虑自回归模型：

yt=∑θjtyt-j+εt　（2-5）

其中，对于任意j，θjt都是随机过程，且一般与εt独立。θjt的不同生成机制导致不同形式的模型。一般模型是简单移动平均过程或自回归过程的平稳模型，而特殊模型可以是θjt=mj+ejt的随机参数模型，此处的m是常数，ejt是独立同分布序列，可参见Nichols和Quinn（1982）。此类模型为不完全动态模型，但能有效解决异方差问题。还有一个特例是时，概率为p；而时，概率为1-p。{θt}是具有两种状态的向量马尔科夫链，也可以超过两种状态。Tyssedal和Tjostheim（1988）称具有上述性质的（2-5）为突变自回归模型（suddenly changing autoregressive（SCAR））。Karlsen和Tjostheim（1990）讨论了突变自回归模型的性质，尤其是参数的估计值。

本质上，以上讨论的状态仿射模型、状态因变量模型、双随机模型三种广义模型都是线性AR模型或者ARMA模型，只是导入不同形式的时变参数而形成非线性模型。存在平稳性、可逆性的理论结论，但没有多大的实际用处。非线性自回归（包括门限自回归模型）、双线性模型的简单模型都是广义模型的特例或扩展形式。下面特别讨论简单模型的多变量形式，第7章将进一步讨论一般的广义模型。