1.5　平稳、记忆和均衡

平稳性问题与长时间的运行特定生成机制的过程的性质有关。为了解释该问题，考虑简单的NLAR（1）模型：

yt=f（yt-1）+εt　（1-13）

其中y0为初始值，εt是均值为零的独立同分布序列。假设（1-13）的一个解为：

yt=y（εt，εt-1，…ε1；y0）　（1-14）

且已知y0时，yt的条件概率分布函数为：

Prob（yt≤x|y0）=Φt（x；y0）

则当t→h时，存在Φt（x；y0）→Φh（x），称过程yt为“短记忆”。即该过程运行一段时间后，初始值将不再影响边际分布，如果存在：

就称过程是“平稳”的。因此，当t与s很大时，尽管yt与ys具有相同的边际分布，但是分布可能仍然依赖于y0。为了解释上述定义，考虑线性AR（1）模型：

yt=ρyt-1+εt

上式的解为：

如果|ρ|<1，可忽略第一项。根据中心极限定理，yt服从于N（0，V）分布，其中。因此，|ρ|<1，yt是短记忆平稳过程。如果ρ<1，且（1-15）的第一项很大，第二项的方差为，那么该过程就是长记忆不平稳过程。模型为：

yt=f（yt-1，εt）

它包括（1-13）的特例。Lasota和Mackey（1989）证明，如果

（1）　f（y，ε）在y上连续

（2）　εt是独立同分布

（3）　E‖f（x，εt）-f（z，εt）‖<‖x-z‖

且

E‖f（x，εt）2‖≤σ‖x‖2+β

且

0<x<1，σ>0

以上的范数（norm）‖ ‖并不一定是欧几里得形式，yt就是短记忆平稳过程。另外，yt可以是向量，而εt是系统性单变量随机扰动项。（1）（2）（3）的第一个条件保证了f在y上连续，第二个条件保证平稳性。显然以上定义适合任何过程，并且可以推广到yt是向量的系统。要求生成机制是平稳的条件并不一定都存在，但双线性模型等特殊生成机制具备平稳条件。例如，当且仅当log|b|+E［log|εt|］≤0时，

yt=bεt-jyt-k+εt，j，k≥1

是平稳的，参见Quinn（1982）。

在很多情况下，一个过程是不平稳的。例如，分布Ft（x）在均值、方差或者最高阶矩上是扩散的（explosive），或者Ft（x）是周期性的。例如

Ft+p（x）=Ft（x）≠Ft+j（x）　j=1，…，p-1

在本例中，均值和（或者）其他阶矩是周期性的，就称该过程具有有限周期。

在模型（1-13）中，均值平稳的必要条件是确定性过程：

是平稳的。如果

y*=f（y*）　（1-17）

我们就称序列有均衡点y*。这样，如果的值为y*，那么该序列的随后值就都将为y*。当时，对于任意t，都很小，称y*是平稳均衡点。其他形如（1-17）的确定性过程也具有平稳均衡点，只不过以上定义的均衡点与经济变量序列或经济生成机制序列没有太多关联。例如，如果yt可以表示为：

yt=（a+et）yt-1　（1-18）

而et是独立同分布序列或其他随机过程，yt就是随机过程，但y*=0是均衡点。将（1-18）改写为

log|yt|-log|yt-1|=log|a+et|

可见log|yt|是长记忆、具有向上趋势的过程，但未必能很好地描述经济序列。

（1-16）的解可能扩散或具有有限周期。例如，在（1-13）中加入随机输入项εt，模型仍然具有扩散性和有限周期。对于已知模型，非常值得获取确定解，从而研究模型的性质。

随机过程yt与其确定性均衡解的关系并不简单。Lord（1979）利用下例推到特定结果。如果是（1-16）的解，且初始值为，就将（1-16）的解记为。同样地，是（1-13）的解，其初始值为y0。Lord证明，存在序列vt，使得：

且：

序列vt为

其中：

和

此时，φ-1=1/φ。以上结论显示，如果扩散或具有有限周期，yt也同样扩散或具有有限周期。

均衡点概念与非线性随机过程的关系不大，但如果过程是平稳的，且均值为μ，方差有界，那么就称均值为吸引子（attractor），吸引子也是yt+h的最优预测，当h很大时，其数值等于μ。第5章将详细研究吸引子。

可以推广平稳性概念到向量，并讨论其与前节所述的平稳性的联系。如果过程运行很长一段时间，且对于所有的k，都是平稳的，那么，该过程也是平稳的。

第4章将讨论如何确定多变量模型的平稳性问题。