1.3 直流电路的分析与检测

1.3.1 基尔霍夫定律

基尔霍夫定律是电路中电压和电流所遵循的基本规律，是分析和计算较为复杂电路的基础。基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）。

基尔霍夫定律既可以用于直流电路的分析，也可以用于交流电路的分析，还可以用于含有电子元器件的非线性电路的分析。要理解基尔霍夫定律，首先要理解一些有关电路的基本概念。

1. 基本概念

支路——串联的元器件我们视它为一条支路，在一条支路中电流处处相等。

节点——3条或3条以上的支路的连接点。

回路——任意闭合的路径。

网孔——其内部不包含任何支路的回路。

网孔一定是回路，但回路不一定是网孔。

【例1-1】指出图1-15中节点、支路、回路和网孔的个数。

解：根据支路定义可知，图中有3条支路，分别是I₁、I₂和I₃所流过的路径；

根据节点定义可知，图中有两个节点，分别是A和B，因C、D只是支路上的点，所以不是节点；

根据回路的定义可知，图中有3个回路，分别是E₁-R₁-R₃、E₂-R₂-R₃和E₁-R₁-R₂-E₂；

根据网孔的定义可知，图中有两个网孔，分别是E₁-R₁-R₃和E₂-R₂-R₃。

2. 基尔霍夫电流定律（KCL）

基尔霍夫电流定律又称基尔霍夫第一定律，是电流的连续性在集总参数电路上的体现，符合电荷守恒定律。基尔霍夫电流定律是确定电路中任意节点处各支路电流之间关系的定律，因此又称为节点电流定律。

基尔霍夫电流定律内容为：在任意电路中任意时刻所有流入某节点的电流的总和等于所有流出这节点的电流的总和。或者描述为：假设进入某节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则所有涉及这个节点的电流的代数和等于零。

用方程式表达，对于电路的任意节点满足：

其中，i_k是第k个进入或离开这个节点的电流，是流过与这个节点相连接的第k个支路的电流。对图1-15中节点A列基尔霍夫电流方程可得

I₁+I₂=I₃

在列写节点电流方程时，各电流变量前的正、负号取决于各电流的参考方向对该节点的关系（是“流入”还是“流出”）；而各电流值的正、负则反映了该电流的实际方向与参考方向的关系（是相同还是相反）。通常规定，对参考方向背离（流出）节点的电流取正号，而对参考方向指向（流入）节点的电流取负号。对于图1-15中节点A，如果设流出节点电流为正，流入节点电流为负，则由基尔霍夫电流方程可得

-I₁ -I₂+I₃=0

KCL不仅适用于电路中的节点，还可以推广应用于电路中任一不包含电源的假设封闭面。即在任一瞬间，通过电路中任一不包含电源的假设封闭面的电流代数和为零。

图1-16所示为KCL在某电路中的推广运用，选择如图1-16中虚线所示封闭面在所选定的参考方向，则有

I₁+I₆+I₇=I₂+I₃+I₅

3. 基尔霍夫电压定律（KVL）

基尔霍夫电压定律又称基尔霍夫第二定律，符合能量守恒定律。基尔霍夫电压定律是确定电路中任意回路内各电压之间关系的定律，因此又称为回路电压定律。

基尔霍夫电压定律内容为：沿着任意一个闭合回路所有元件两端的电压的代数和等于零。或者描述为：沿着闭合回路的所有电压升的代数和等于所有电压降的代数和。

用方程式表达，对于电路的任意闭合回路有

其中，m是这闭合回路的元件数目，u_k是元件两端的电压。对于图1-15中由E₁、R₁和R₃构成的回路，可列出基尔霍夫电压方程为

E₁ -I₁ R₁ - I₃ R₃=0

应用基尔霍夫电压定律列方程时，应先在回路中选定一个绕行方向作为参考，从而确定回路中各电压的正负。我们可以制定规则，电压参考方向与绕行方向相同时（绕行方向从高电位指向低电位），电压取正（负），此时认为电位降低，即电压降；电压参考方向与绕行方向相反时（绕行方向从低电位指向高电位），电压取负（正），此时认为电位升高，即电压升。例如，用此规定可将图1-15中由E₂、R₂和R₃构成的回路进行列式，假设回路绕行方向为顺时针，则基尔霍夫电压方程写为

- I₃ R₃ -I₂ R₂+E₂=0

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路，即电路中任意两点之间的电压等于从高电位点出发沿任意路径走到低电位点，途中所有电压降的代数和。

每个闭合回路均可列出一个方程。如果某回路至少有一个支路未被其他方程用过，则称此回路为独立回路。对于存在M个独立回路的电路，可以列出M个独立的回路电压方程，它们组成的方程组称为基尔霍夫第二方程组。

【例1-2】如图1-17所示电路，已知I₁=1A，I₂=2A，I₃=5A，I₄=-3A，试求I₅。

解：根据图中各电流方向，列出基尔霍夫电流方程为

I₁+I₃=I₂+I₄+I₅

则：I₅=I₁+I₃-I₄-I₂=（1+5+3-2）A=7A

【例1-3】如图1-18所示是两个电源并联对负载供电的电路。I₁=4A，I₃=-1A，R₁=12Ω，R₂=3Ω，R₃=6Ω。求支路电流I₂和电源电动势E₁、E₂。

解：根据基尔霍夫电流定律，对节点A可列式

I₃=I₁+I₂

可求出

I₂=I₃- I₁=-5A

在回路E₂- R₃- R₂- E₂中，据基尔霍夫电压定律可得

E₂=I₂R₂+I₃R₃

可求出

E₂=I₂R₂+I₃R₃

=[（-5A）×3Ω]+[（-1A）×6Ω]

=-21V

在回路E₁- R₁- R₃- E₁中，据基尔霍夫电压定律可得

E₁=I₁R₁+I₃R₃

可求出

E₁=I₁R₁+I₃R₃

=4A×12Ω+（-1A）×6Ω

=42V

1.3.2 电位计算与检测

在实际电气、电子技术中，特别是电子维修技术中，大量的数据是通过对电位进行分析得到的。所以，认真研究电路中的电位，对一线工程技术人员是很重要的。

1. 电位的计算

计算电路中某点电位，要遵循以下步骤：

1）设定零电位点及电流的参考方向。

2）分析电路，根据已知条件求出电路中某些元件上的电流。

3）根据电位的定义计算电位。

根据定义计算某点电位，即计算该点到零电位点间的电压时，要注意，路径的绕行方向与电流参考方向之间的关系。

绕行方向和参考方向相同电压值为正，绕行方向和参考方向相反电压值为负；绕行时如遇到电源，则先经过电源正极时加上电源的电动势，反之减去电动势。

【例1-4】如图1-19a、b局部电路，已知电阻R₁=2Ω，R₂=3Ω，电源电动势E=6V，内阻不计，C点接地，电流I=0.5A，从A流向D，试求：（1）AB、BC、CD两点间的电压U_AB、U_BC、U_CD。（2）AC、BD两点间的电压U_AC、U_BD。

解：图1-19a:（1）U_AB=IR₁=（0.5×2）V=1V，U_BC=E=6V，

U_CD=IR₂=（0.5×3）V=1.5V

（2）U_AC=U_AB+U_BC=IR₁+E=（0.5×2+6）V=7V

U_BD=U_BC+U_CD=E+IR₂=（6+0.5×3）V=7.5V

图1-19b:（1）U_AB=-IR₁=-1V

U_BC=E=6V

U_CD=-IR₂=-1.5V

（2）U_AC=U_AB+U_BC=5V

U_BD=U_BC+U_CD=4.5V

【例1-5】闭合电路如图1-20所示，已知电源电动势E=9V，内电阻不计，外电路电阻R₁=1Ω，R₂=2Ω，R₃=3Ω。若D点接地，试求A、B、C三点的电位。

解：

（1）由于整个电路是由电源E与电阻R₁、R₂、R₃串联而成的一闭合回路，则由闭合电路的欧姆定律有

I=E/（R₁+R₂+R₃）=9V/（1+2+3）Ω=1.5A

（2）设顺时针方向为电流的参考方向，如图1-20所示。

（3）V_C=U_CD=IR₃=1.5A×3Ω=4.5V

V_B=U_BD=IR₂+IR₃=1.5A×2Ω+1.5A×3Ω=7.5V

V_A=U_AD=IR₁+IR₂+IR₃=1.5A×1Ω+1.5A×2Ω+1.5A×3Ω=9V

【例1-6】如图1-21所示，已知E=16V，R₁=4Ω，R₂=3Ω，R₃=1Ω，R₄=5Ω，试求b点电位V_b。

解：由于R₄中无电流通过（f点断路），d点与f点电压U_df=0。电路中

I=E/（R₁+R₂+R₃）=16V/（4+3+1）Ω=2A

V_b=U_bc=IR₂=2A×3Ω=6V

2. 电位的检测

电路中某点的电位是该点到零电位点的电压，测量电位时，将万用表调到直流电压档，将黑表笔放在接地点或电源负极，红表笔放在被测点，此时万用表的读数即为被测点的电位。实际汽车电路故障检测时，可用万用表检测熔丝两引脚对搭铁的电位来判断熔丝是否熔断。

1.3.3 电路的暂态分析

前述内容讲到电容和电感元件两端电压和流过电流之间是微分的关系，当电路状态发生变化（如开关动作）的时候，电容和电感由于涉及充电或放电的问题，其电压与电流不能立即变到相应的稳定状态，而是要经过一定的变化过程。一般来说，电路从一个稳态经过一定的时间到另一个稳态的物理过程称为过渡过程。和稳态相对应，电路的过渡过程称为暂态过程。

1. 电路的暂态分析

分析电路的暂态过程，首先要理解以下几个概念：

换路——换路是指电路的开、断或变动。一般设t=0时换路。

旧稳态——换路前电路的稳定状态。t=0_-时，是指换路前（旧稳态）的最后瞬间。

新稳态——换路后电路的稳定状态。t=0₊时，是指换路后（过渡过程）的最初瞬间。

2. 换路定则

由于暂态过程中储能元件的能量不能突变，故有以下换路定则成立：

换路定则表示换路瞬间，电容上的电压和电感上的电流不能突变，称不可突变量；而其他各量则不受能量的约束是可突变量，如电容上的电流等。换路定则只适用于换路瞬间，利用它可以确定暂态过程中电容电压、电感电流的初始值。

3. 初始值的确定

初始值是指t=0₊时各电压、电流的值。求初始值步骤如下：

在t=0_-的电路中，求出u_C（0_-）或i_L（0_-）不可突变量；由换路定律得出初始值，

u_C（0₊）=u_C（0_-）

i_L（0₊）=i_L（0_-）

在t=0₊的电路中，求其他可突变量的初始值。

注意：在t=0₊电路中，把初始值u_C（0₊）或i_L（0₊）当电源处理。

换路前，如果储能元件没有储能，u_C（0₊）=0，i_L（0₊）=0，则在t=0₊的电路中，将电容元件短路，电感元件开路。

换路前，若储能元件储有能量，u_C（0₊）=u_C（0_-），i_L（0₊）=i_L（0_-），则在t=0₊的电路中，电容元件用一恒压源代替，其电压为u_C（0_-）；电感元件可用一恒流源代替，其电流为i_L（0_-）。

4. 一阶电路暂态分析的三要素法

（1）三要素的含义

三要素法是通过经典法推导得出的一个表示指数曲线的公式。避开了解微分方程的麻烦，它可以快速、准确地解决一阶电路问题。

三要素包括稳态值f（∞）、初始值f（0₊）和时间常数τ。三要素法的一般公式为

上式只适用于在阶跃激励下的一阶线性暂态电路的分析，只要求出其中三个要素，即可描述一阶电路的暂态过程。

1）稳态值f（∞）。

换路后，电路达到新稳态时的电压或电流值。当直流电路处于稳态时，电路的处理方法是：电容开路，电感短路，用求稳态电路的方法求出所求量的新稳态值。

2）初始值f（0₊）。

f（0₊）是指任意元器件上的电压或电流的初始值。

3）时间常数τ。

用来表征暂态过程进行快慢的参数，单位为秒（s）。它的意义在于：

①τ越大，暂态过程的速度越慢，τ越小，暂态过程的速度则越快。

②理论上，当t为无穷大时，暂态过程结束；实际中，当t=（3～5）τ时，即可认为暂态过程结束。

时间常数的求法是：对于RC电路τ=RC，对于RL电路τ=L/R。这里R、L、C都是等效值，其中R是把换路后的电路变成无源电路，从电容（或电感）两端看进去的等效电阻。

③同一电路中，各个电压、电流量的τ相同，充、放电的速度是相同的。

（2）三要素法的应用

电路分析中，外部输入电源通常称为激励；在激励下，各支路中产生的电压和电流称为响应。不同的电路换路后，电路的响应是不同的时间函数。

1）零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，仅由初始储能引起的响应，其实质是电容（电感）元件放电的过程，电容（电感）元件放电结束时储能为0，根据三要素法，可得零输入响应为

2）零状态响应是指换路前初始储能为零，仅由外加激励引起的响应，其实质是电源给电容（电感）元件充电的过程，电容（电感）元件放电结束时储能为0，根据三要素法，可得零状态响应为

3）全响应是指电源激励和初始储能共同作用的结果，其实质是零输入响应和零状态响应的叠加，其响应方程为

应用三要素法求出的暂态方程可满足在阶跃激励下所有一阶线性电路的响应情况，如从RC电路的暂态分析中所得出的电压和电流的充、放电曲线如图1-22所示，这四种情况都可以用三要素法直接求出和描述，因此三要素法是既简单又准确的方法。