2.5　降雨-径流过程计算

2.5.1　流域划分

对于不同尺度的流域来说，其水系由主流和各级支流连接而成，而无论是主流或是各级支流，都由坡面和河道构成。降雨发生后，雨水降落到地面上，当满足产流条件，自流域各级支流的坡面产流并汇入河道，水流逐次汇入其下一级支流，最后汇入主流。以分布式水文模型的概念来表达流域的产汇流过程，需要对流域各级支流进行划分，在流域分级的基础上，按照各级支流的空间连接关系（水流入关系）将分割后的各级支流再连接起来。上述过程是按照流域各级支流的空间连接关系先分割后再集中化的过程，即根据河网实现对流域分布式模型化，该过程的示意图如图2.5所示。

图2.5中，支流4、5汇入支流2，支流6、7汇入支流3，支流2、3汇入1，各级支流均由坡面和河道构成，各支流（1～7）分割后再连接的过程如图2.5（b）所示。

2.5.2　计算公式

在过往的研究中，对流域产汇流计算的方法有很多，如应用比较广泛的水箱模型（Tank model）（Suzuki等，1998）、贮留函数模型（Storage routing model）（Harada，1999）以及运动波模型（Kinematic wave model）（Takasao等，1985）等。

水箱模型（Tank model）可用于非线性水流的计算，既可以应用于集总式水文模型也可应用于分布式水文模型。在计算时，水箱模型需要较少的参数且对参数的准确率定相对容易实现，可对流域长期降雨-径流过程进行较高精度的计算，但对于短期的径流计算，尤其是因短历时暴雨产生洪峰量的计算，利用水箱模型的计算结果与实际值之间往往存在较大的误差。此外，水箱模型缺少足够的物理性基础，即缺少流域实际的地形、地质（土壤水力学物理特性）等条件（Tomosugi等，1993；Hatta等，1997）。

贮留函数模型主要用于线形水流的模拟与计算。相对于水箱模型，利用贮留函数模型对短历时暴雨产生径流过程的计算，可得到较高精度的结果，以该种方法模拟的洪峰值，与实际洪峰流量误差较小。但对于长期的降雨-径流过程计算，利用贮留函数模型得到的计算结果与实际值之间存在较大的误差，所以此方法更适合对短历时暴雨所产生的洪峰量的模拟与预测。同时，贮留函数法必要的参数也缺少物理性基础（Sonoyama等，2001）。

基于运动波理论基础方程式的运动波模型是建立在河道抵抗法则基础之上，用物理性的参数表达流域的实际情况，因此具有充分的物理性。在径流计算时，其基础方程式之一的运动方程式可用一维均匀流的河道抵抗法则进行置换，即其河道抵抗法则与均匀流的平均流速方程式一致。与水箱模型及贮留函数模型相比，运动波模型不但适用于短历时暴雨的降雨-径流过程的计算，也适用于流域长期降雨-径流过程的计算（Tanaka等，1999）。运动波模型不但适用于对地表径流的准确计算，也适用于对垂直渗透及横向渗透流运动过程的计算，因此被广泛地应用于不同规模和地形条件流域的降雨-径流数值计算（Yomoto，1992；Chua，2008）。

2.5.2.1　坡面区间连续方程式的建立

如图2.6所示的任意流域的坡面区间单元体水收支示意图，图中，b为单元宽度，m；Δx为坡面流向上的单位长度，m；h为地表径流的深度，m；r为降雨量，m·s-1；f1为第一层土壤平均渗透速度，m·s-1；Q为流入单元体的地表径流量，m3·s-1；Q+∂Q/∂x dx为流出单元体的径流量，m3·s-1；对于地表径流，在计算时间步长Δt内以质量守恒定律建立数学模型如下：

式中：A为地表径流的断面面积，m2；其他因子如前所述。

式（2.26）经整理后得：

式中：A=bh，Q=qb，其中，q为单宽流量，m2·s-1，方程式两边约去相同因子b，得：

式（2.27）和式（2.28）为一维地表径流的连续方程式。

对于如图2.5所示的流域各级支流，由坡面和河道构成。以运动波理论基础方程式构建降雨-径流计算方法如下（Sueishi，1955；Sumiya，1980）。其中式（2.30）中的rc表示地表径流的源汇项，是式（2.28）中等号右侧各项一般化的形式。

式中：t为时间因子，s；x为水流方向上自坡面上游端的距离，m；h为水深，m；q为坡面上的单宽流量，m2·s-1；L为坡面长度，m；α、m为坡面上决定水流状态的常数。

式（2.30）是等流公式的置换形式，对于洪水计算，可以很好地应用于曼宁（Manning）抵抗法则，此时，坡面常数α、m表示为：

式中：i为坡面坡度；N为坡面的等价粗度（糙率）。

将式（2.30）代入式（2.29），式（2.29）可以表示为：

式（2.32）的特征方程式可以表示为

当rc≠0时，式（2.33）可以由式（2.34）～式（2.36）表示：

当rc=0时，只有式（2.34）成立。

2.5.2.2　坡面区间水流计算在时间上的差分

式（2.33）或式（2.34）～式（2.36）表示的特性曲线在时间上以步长Δt进行差分，当rc≠0时，得到如下两个差分式。

式中：j为计算过程中时间步长的次序编号，表示坡面上水流自上游端开始在流向上经过的时间；Δxj为时间点j-1和j之间的间隔Δt内水流的传播距离。将式（2.37）、式（2.38）进一步整理，可以得到如下形式的差分式。

当rc=0时，即无源汇项，水流为恒定流的情况下，水深h和单宽流量q都不发生改变，所以有式（2.42）成立。

在此条件下，只有特性方程曲线式（2.34）成立，利用该条件，可以得到如式（2.43）的差分式。

自坡面上游端出发的水流在j时刻传播的距离Xj，可以利用式（2.41）或式（2.43）求得的Δxj以下式逐次推求。

如果有时间点n计算的累积距离超过坡面长L的情况发生，或者说有Xn＞L而Xn-1＜L的情况发生时，说明水流在n-1至n的时段内到达了坡面下游端。j=n-1时段水流自上游传播到坡面下游端的距离Δxc按下式计算。

坡面下游端的单宽流量qc以及水流自n-1时刻到达坡面下游端的时间Δtc，利用上式求得的Δxc，以式（2.40）～式（2.43），按下列公式所示方法进行推求。

当rcn≠0时

当rcn=0时

因而，水流从坡面上游端自时刻i出发，到达坡面下游端的时刻Tc可以由式（2.50）表示。

2.5.2.3　河道区间的计算

与坡面区间水流计算方法建立过程相似，依据质量守恒定理，基于图2.6所示单元的水收支平衡，建立方程式如下：

式中：A为河道区间水流断面面积，m2；B为河宽（河道水流的宽度），m；q'为流入到河道区间的坡面单宽流量，m2·s-1；其他因子对应于坡面区间各因子，各因子的形式和物理意义与坡面区间对应相同。对式（2.51）进行整理，得

以q代替式（2.52）等号右侧各项，作为流入（流出）河道区间源汇之和，得到式（2.53），式（2.53）和式（2.54）作为河道区间水流计算的基本公式。

式中：Lc为河道长度，m；G、M为由水流形态决定的常数（河道流常数）；如果将式（2.53）、式（2.54）中的因子作如下置换，A→h，Q→q，q→rc，Lc→L，G→α，M→m，则两式在形式上与式（2.29）、式（2.30）相同。