4.2 伯努利方程

根据欧拉运动微分方程的葛罗米柯-兰姆形式（二），在不同的限定条件下积分，可以得到伯努利积分和欧拉积分。

4.2.1 伯努利积分

伯努利积分在前面3个限定条件下，再加上1个沿流线进行积分的条件。将式（4.7）中3个式子的两边分别乘以流线上任一微元线段dl的3个坐标轴向分量dx、dy、dz，再相加，有

由于是恒定流，各运动要素与时间无关，上式等号左边为；同时，恒定流的流线和迹线重合：dx=u_xdt，dy=u_ydt，dz=u_zdt，因此等号右边等于零。上式可化简为

积分后，得

式中：C_l为流线常数，仅适用于同一流线。

4.2.2 欧拉积分

欧拉积分在前面3个限定条件下，再加上1个流动无旋的条件，则ω_x=ω_y=ω_z=0。式 （4.7）中，等号右边等于零，即

将上面方程组中的3个式子分别乘以流场中任意微元线段的dl的3个坐标轴向分量dx、dy、dz，再相加，然后积分，有

式中：C_T称为通用常数，在整个流场中处处适用。

4.2.3 重力作用下的伯努利方程

质量力只有重力时，f_x=0，f_y=0，f_z=-g，有

dW=-gdz

积分得

W=-gz+C

将上式代入式（4.8）、式（4.9），得到伯努利方程：

式（4.10）为重力作用下，理想不可压缩流体恒定流动的伯努利方程。对于有旋流动，仅沿流线适用，而对无旋流动，在整个流场中均适用。元流的过流断面面积无限小，沿流线的伯努利方程也适用于元流，因此式（4.10）也称为理想流体元流伯努利方程。

4.2.4 理想流体元流伯努利方程的意义

在理想流体元流的伯努利方程中：z表示单位重量流体对某一基准面具有的位置势能，又称位置水头，单位为 m；表示单位重量流体具有的压强势能，又称压强水头，单位为m；表示单位重量流体具有的总势能，又称测压管水头，单位为 m；表示单位重量流体具有的动能，又称速度水头，单位为m；表示单位重量流体具有的机械能，又称总水头，单位为m。

因此，伯努利方程式（4.10）的物理意义为：当理想不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿同一元流（沿同一流线）单位重量流体的位置势能、压强势能和动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和保持不变，即单位重量流体的机械能守恒，故伯努利方程又称为能量方程。

伯努利方程式（4.10）的几何意义为：当理想不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿同一元流（沿同一流线）流体的位置水头、压强水头和速度水头在流动过程中可以互相转化，但各断面的总水头保持不变，即总水头线是与基准面相平行的水平线，如图4.1所示。

图4.1 理想流体伯努利方程的各种水头

图4.2 点流速测量

4.2.5 理想流体元流伯努利方程的应用

1.毕托管

毕托管是一种测量点流速的仪器，是理想流体元流伯努利方程在工程中的典型应用。

直接测量流场某点的速度大小是比较困难的，但该点的压强却可以通过测压计容易地测出。通过测量点压强，再应用伯努利方程间接得出点速度的大小，这就是毕托管的测速原理。如图4.2所示，现欲测定均匀管流过流断面上A点的流速u，可在A点所在断面设置测压管，测出该点的压强p，称为静压。另在A点同一流线下游取相距很近的O点，在该点放置一根两端开口的L型细管，使一端管口正对来流方向，另一端垂直向上，此管称为测速管。来流在O点由于受测速管的阻滞，速度为零，动能全部转化为压能，测速管中液面升高。O点称为驻点，该点的压强称为总压或全压。

以AO所在流线为基准，忽略水头损失，对A、O两点应用理想流体元流伯努利方程：

则A点的流速为

图4.3 毕托管剖面图

考虑到黏性的存在以及毕托管置入流场后对流动的干扰等因素的影响，引入修正系数c，则

式中：c为修正系数，数值接近于1，由实验测定。

根据上述原理，将测速管和测压管组合成测量点流速的仪器，称为毕托管，其剖面如图4.3所示。两端开口的管1为测速管，用来测量总压。侧壁设有几个均匀分布小孔的管2为测压管，用来测量静压。将管1、管2分别与压差计的两端连接，即可测得总压和静压的差值），从而求出测点的流速。

2.相对运动的伯努利方程

离心式水泵中的流体运动是一种相对运动。图4.4为一离心式水泵的叶轮，叶轮由叶片和连接叶片的前、后圆盘所组成，后盘装在原动机转轴上原动机带动叶轮旋转后，流体从半径为r₁的圆周进入叶轮，通过叶片间的流道，从半径为r₂的圆周离开叶轮。叶轮以一定的角速度ω旋转。流体在叶轮内，一方面以相对速度w沿叶轮叶片流动；另一方面以等角速度ω做旋转运动，牵连速度为u=ωr。

假定：①流体是理想流体，恒定流动；②叶轮上叶片数目无穷多，叶片无厚度。水流只沿叶片的骨线方向运动，相对速度w与叶片骨线相切。

若以v表示流体的绝对速度，则

v=w+u

绝对速度、相对速度和牵连速度构成速度三角形，如图4.4所示，其中，α为绝对速度与牵连速度之间的夹角，称为绝对液流角，β为相对速度与牵连速度之间的夹角，称为相对液流角。

图4.4 相对运动的伯努利方程

（a）叶轮剖面示意图；（b）速度三角形

在流道中做一流线1-2（相对流线），流线上取一点M，其欧拉运动微分方程为

式中：w_x、w_y、w_z为相对速度。

叶轮内流体所受的质量力有重力和离心惯性力，因此，单位质量力的表达式为

f_x=ω²x,f_y=ω²y,f_z=-g

将式（4.13）中各式分别乘以dx、dy、dz，再相加，有

代入单位质量力的表达式，得

积分后，得

对流线上任意两点1、2，有

式中：为单位离心力对流体所做的功。

式（4.14）为不可压缩均质理想流体恒定流的相对运动的伯努利方程，常用来分析流体机械，如离心式水泵与风机以及水轮机中的流体运动。

4.2.6 黏性流体元流的伯努利方程

根据能量守恒原理，可以将伯努利方程从理想流体扩展至黏性流体。黏性流体在流动过程中会产生流动阻力，克服阻力做功，流体的一部分机械能将不可逆地转化为热能耗散，因此，流体的机械能沿程减小，总水头线沿程下降。在运动过程中，单位重量流体的位能、压能、动能及损失的能量之和，应该等于运动开始时的位能、压能、动能之和，即

图4.5 总流伯努利方程

式中：h′_w为单位重量黏性流体沿流线从1点到2点流动时的机械能损失，称为元流的水头损失，m。

上式称为黏性流体元流的伯努利方程。

4.2.7 黏性流体总流的伯努利方程

实际工程中的管道和渠道内的流动，都是有限断面的总流，因此有必要将黏性流体元流的伯努利方程推广至总流。

如图4.5所示为黏性流体恒定总流，过流断面1-1、2-2为渐变流断面，面积为A₁、A₂。在总流中任取元流，其过流断面的微元面积、位置高度、压强及流速分别为dA₁、z₁、p₁、u₁；dA₂、z₂、p₂、u₂。

将黏性流体元流伯努利方程式（4.15）两边同乘重量流量ρgdQ=ρgu₁dA₁=ρgu₂dA₂，得单位时间通过元流两过流断面的能量方程：

对上式积分，可得单位时间通过总流两过流断面的能量方程：

下面分别确定上式中3种类型的积分

（1）。因所取过流断面11、22为渐变流断面，面上各点=C，于是

式中：α为动能修正系数。

修正用断面平均流速代替实际流速计算动能时引起的误差。即

α值取决于过流断面上速度的分布情况，流速分布较均匀时，α=1.05～1.10，流速分布不均匀时α值较大，通常取α=1.0。

（3）。单位时间总流从过流断面11流到22的机械能损失不易通过积分确定，可令

式中：h_w为单位重量流体从过流断面1-1流到2-2的平均机械能损失，称为总流的水头损失。

将以上积分结果代入式（4.16），得

因两断面间无分流及汇流，ρgQ=ρgQ₁=ρgQ₂，故上式简化为

式（4.17）为实际流体总流的伯努利方程。若式中的h_w=0，则

式（4.18）为理想流体总流的伯努利方程。

总流伯努利方程式中各项的意义与元流伯努利方程中的对应项类似，但须注意总流伯努利方程中各项具有 “平均”意义，如：为总流过流断面上单位重量流体具有的平均势能，因渐变流过流断面上为总流过流断面上单位重量流体具有的平均动能；h_w为总流两过流断面间单位重量流体的平均机械能损失。

应用总流伯努利方程时必须满足下列条件：

（1）恒定流动。

（2）质量力只有重力。

（3）不可压缩流体。

（4）所取过流断面为渐变流或均匀流断面，但两断面间允许存在急变流。

（5）两过流断面间无分流或汇流。

（6）两过流断面间无其他机械能输入输出。

应用总流伯努利方程时还需注意以下几点：

（1）过流断面除必须选取渐变流或均匀流断面外，一般应选取包含较多已知量或包含需求未知量的断面。

（2）过流断面上的计算点原则上可以任意选取，这是因为在均匀流或渐变流断面上任一点的测压管水头都相等，即，并且过流断面上的平均速度水头与计算点位置无关。但若计算点选取恰当，可使计算大为简化。例如，管流的计算点通常选在管轴线上，明渠的计算点通常选在自由液面上。

（3）基准面是任意选取的水平面，但一般使z为正值。同一方程必须以同一基准面来度量，不同方程可采用不同的基准面。

（4）方程中的压强p₁与p₂可用绝对压强或相对压强，但同一方程必须采用同种压强来度量。

4.2.8 水头线及水力坡度

总水头线是沿程各断面总水头的连线。参见图4.5，理想流体的总水头线是水平线，黏性流体的总水头线沿程却单调下降，下降的快慢用水力坡度J表示：

因dH恒为负值，在前加 “-”号，确保J为正值。

测压管水头线是沿程各断面测压管水头的连线。由于测压管水头的大小受速度水头的影响，故测压管水头线沿程可升、可降、可水平，其变化快慢用测压管水头线坡度J_p表示：

当测压管水头线下降时，J_p为正值，反之，为负值。

4.2.9 总流伯努利方程的应用

1.文丘里管

文丘里管是一种测量管道流量的仪器，是总流伯努利方程在工程中的典型应用。文丘里管由收缩段、喉管与扩散段三部分组成。在文丘里管收缩段进口与喉管处安装测压管或压差计，测出两断面的测压管水头差，再根据伯努利方程便可实现对流体流量的测量。

如图4.6所示，选水平基准面0-0，令收缩段进口断面与喉管断面分别为1-1、2-2，两断面均为渐变流断面，计算点取在管轴线上。设1-1、2-2断面的平均速度、压强和过流断面面积分别为v₁、p₁、A₁和v₂、p₂、A₂，流体密度为ρ。列1-1、2-2断面的伯努利方程：

图4.6 文丘里流量计

由于收缩段的水头损失很小，可令h_w=0，取动能修正系数α₁=α₂=1.0，则上式简化为

列1-1、2-2断面连续性方程：

得

代入前式，得

则通过文丘里管的流量：

式中：为由文丘里管结构尺寸d₁、d₂而定的常数，称为仪器常数。

装测压管时，测压管水头差：

装压差计时，测压管水头差：

将的值代入式 （4.21），并考虑到两断面间实际上存在能量损失，引入流量系数ψ，可得

装测压管时：

装压差计时：

2.沿程有能量输入或输出的伯努利方程

总流伯努利方程式（4.17）是在两过流断面间无其他机械能输入输出的条件下导出的。但当两断面间安装有水泵、风机或水轮机等流体机械装置时，流体流经水泵或风机将获得能量，流经水轮机将失去能量。设单位重量流体获得或失去的能量为H_m，根据能量守恒原理，可得有能量输入或输出的总流伯努利方程：

图4.7 安装有水泵的管路系统

式中：H_m前面的“±”号，获得能量为“+”，失去能量为“-”。

如图4.7所示，在管路中有一水泵，水泵对水流做功，使水流能量增加，列1-1、2-2断面的伯努利方程：

因为p₁=p₂=p_a，v₁、v₂相对于管内流速来讲很小，可认为v₁=v₂=0，则上式简化为

式中：z为上、下游水面高差，也称为提水高度或扬水高度。

单位时间内原动机给予水泵的功称为水泵的轴功率P。单位时间内通过水泵的水流重量为ρgQ，所以单位时间内水流从泵中实际获得的能量是ρgQH_m，称为水泵的有效功率P_e。因为水泵内有各种损失，如漏损、水头损失、机械摩擦损失等，所以有效功率P_e小于轴功率P，即P_e<P。有效功率与轴功率的比值称为水泵效率，用η表示，有

如图4.8所示，在管路中有一水轮机。由于水流要使水轮机转动，对水轮机做功，水流能量减少。如单位重量水流减少的能量为H_m，则总流伯努利方程为

图4.8 安装有水轮机的管路系统

整理，得

3.沿程有分流或汇流的伯努利方程

总流伯努利方程式（4.17）是在两过流断面间无分流或汇流的条件下导出的，而实际的供水、供气管道等，沿程大都有分流或汇流，此时的伯努利方程讨论如下。

设恒定分流，如图4.9（a）所示。设想在分流处做分流面ab，将分流划分为两支总流，每支总流的流量是沿程不变的。根据能量守恒原理，可对每支总流建立伯努利方程：

图4.9 分流和汇流

（a）分流；（b）汇流

同理，设恒定汇流，如图4.9（b）所示。可建立伯努利方程：

图4.10 ［例4.1］图

【例4.1】 如图4.10所示，水池通过直径有改变的有压管道泄水，已知管道直径d₁=125mm，d₂=100mm，喷嘴出口直径d₃=80mm，水银压差计中的读数Δh=180mm，不计水头损失，求管道的泄水流量Q和喷嘴前端压力表读数p。

解：以出口管段中心轴为基准，列1-1、2-2断面的伯努利方程：

因

代入上式，得

由总流连续性方程：

联解两式，得

列压力表所在断面及3-3断面的伯努利方程：

因压力表所在断面的管径与2-2断面的管径相同，故

【例4.2】 如图4.11所示，已知离心泵的提水高度z=20m，抽水流量Q=35L/s，效率η₁=0.82。若吸水管路和压水管路总水头损失h_w=1.5mH₂O，电动机的效率η₂=0.95，试求：电动机的功率P。

解：以吸水池面为基准，列1-1、2-2断面的伯努利方程：

由于1-1、2-2过流断面面积很大，故v₁≈0，v₂≈0，并且p₁=p₂=0，则

0+0+0+H=z+0+0+h_w

H=20+1.5=21.5(m)

故电动机的功率：

图4.11 ［例4.2］图