3.2 流体运动的基本概念
3.2.1 恒定流与非恒定流
恒定流（或定常流）是指流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化，反之，称为非恒定流（或非定常流）。例如在上一节列举的管路出流的例子中，水位H保持不变时是恒定出流，水位H随时间变化时是非恒定出流。
恒定流中一切运动要素仅是空间坐标（x，y，z）的函数，与时间t无关，因此
或
比较恒定流与非恒定流，前者少了时间变量t，使问题的求解大为简化。实际工程中，许多非恒定流动，由于流动参数随时间的变化缓慢，可近似按恒定流处理。
3.2.2 三维流动、二维流动、一维流动
若流体的运动要素是三个空间坐标和时间t的函数，这种流动称为三维流动。若只是两个空间坐标和时间t的函数，就称为二维流动。若仅是一个空间坐标和时间t的函数，则称为一维流动。
严格讲，实际工程中的流体运动一般都是三维流动，但由于运动要素在空间三个坐标方向有变化，使分析、研究变得复杂、困难。所以对于某些流动，可以通过适当的处理变为二维流动或一维流动。例如，水流绕过长直圆柱体，忽略两端的影响，流动可简化为二维流动；管道和渠道内的流动，流动方向的尺寸远大于横向尺寸，流速取断面的平均速度，则流动可视为一维流动。
3.2.3 迹线与流线
1.迹线
流体质点在某一时段的运动轨迹称为迹线。显然，迹线与拉格朗日法相联系。在迹线上取微元线段矢量dl表示某个质点在dt时间内的微小位移，dl在各坐标轴上的投影分别为dx、dy、dz，由运动方程：
可得迹线微分方程：
式中时间t是自变量，x、y、z是t的因变量。
2.流线
流线是指某一时刻流场中的一条空间曲线，曲线上所有流体质点的速度矢量都与这条曲线相切，如图3.4所示。流线与欧拉法相联系。在流场中可绘出一系列同一瞬时的流线，称为流线簇，画出的流线簇图称为流谱。
图3.4 流线
设流线上某点M（x，y，z）处的速度为u，其在x、y、z坐标轴的分速度分别为ux、uy、uz，ds为流线在M点的微元线段矢量，ds=dxi+dyj+dzk。根据流线定义，u与ds共线，则
即
展开上式，可得流线微分方程：
式中ux、uy、uz是空间坐标和时间t的函数。因流线是对某一时刻而言，所以微分方程中的时间t是参变量，在积分求流线方程时应视为常数。
根据流线定义，可得出流线的特性如下。
（1）在一般情况下不能相交，否则位于交点的流体质点，在同一时刻就有与两条流线相切的两个速度矢量，这是不可能的。同样道理，流线不能是折线，而是光滑的曲线或直线。流线只在一些特殊点相交，如速度为零的点（图3.5中的A点）通常称为驻点；速度无穷大的点（图3.6中的O点）通常称为奇点；以及流线相切点（图3.5中的B点）。
图3.5 驻点和相切点图
图3.6 奇点（源、汇）
（2）图3.7是由不同管径组成的管流的流线图，通过该图可以看出：不可压缩流体中，流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大，流线越稀，流速越小。
（3）恒定流动中，由于速度的大小和方向均不随时间改变，因此，流线的形状不随时间而改变，流线与迹线重合；非恒定流动中，由于速度随时间改变，因此，一般情况下，流线的形状随时间而变化，流线与迹线不重合。
图3.7 管流流线图
【例3.1】 已知二维非恒定流场的速度分布为：ux=x+t，uy=-y+t。试求：t=0和t=2时，过点M（-1，-1）的流线方程。
解：流线微分方程
简化为
当t=0，x=-1，y=-1时，C=1。则t=0时，过点M（-1，-1）的流线方程为
xy=1
当t=2，x=-1，y=-1时，C=-3。则t=2时，过点M（-1，-1）的流线方程为
(x+2)(y-2)=-3
3.2.4 流面、流管、过流断面
1.流面
在流场中任取一条不是流线的曲线，过该曲线上每一点作流线，由这些流线组成的曲面称为流面，如图3.8所示。由于流面由流线组成，而流线不能相交，所以，流面就好像是固体边界一样，流体质点只能顺着流面运动，不能穿越流面。
图3.8 流面
图3.9 流管
2.流管
在流场中任取一条不与流线重合的封闭曲线，过封闭曲线上各点作流线，所构成的管状表面称为流管，如图3.9所示。由于流线不能相交，所以流体不能穿过流管流进流出。对于恒定流动而言，流管的形状不随时间变化，流体在流管内的流动，就像在真实管道内流动一样。
流管内部的全部流体称为流束。断面积无限小的流束，称为元流。由于元流的断面积无限小，断面上各点的运动要素如流速、压强等可认为是相等的。断面积为有限大小的流束，称为总流。总流由无数元流组成，其过流断面上各点的运动要素一般情况下不相同。3.过流断面
在流束上取所有各点都与流线正交的横断面称为过流断面。过流断面可以是平面或曲面，流线互相平行时，过流断面是平面；流线相互不平行时，过流断面是曲面，如图3.10所示。
图3.10 过流断面
3.2.5 流量、断面平均流速
1.流量
单位时间通过某一过流断面的流体量称为流量。流量可以用体积流量Q（m3/s）、质量流量Qm（kg/s）和重量流量QG（N/s）表示。涉及不可压缩流体时，通常使用体积流量；涉及可压缩流体时，则使用质量流量或重量流量较方便。如果控制面不是过流断面，元流的体积流量可用速度矢量u与控制面上的微元面dA的标量积来表示，如图3.11所示，元流的体积流量dQ为
图3.11 元流的流量
dQ=u·dA=u·ndA
式中：n为微元面dA外法线方向的单位矢量。
总流的流量Q等于通过控制面的所有元流流量之和，则总流的体积流量
如果控制面是过流断面，速度矢量u与控制面上的微元面dA垂直，则元流的体积流量dQ为
dQ=udA
通过整个断面的流量为
对于均质不可压缩流体，密度为常数，则
2.断面平均流速
总流过流断面上各点的流速u一般是不相等的，例如流体在管道内流动，靠近管壁处流速较小，管轴处流速大，如图3.12所示。为了便于计算、分析，设想过流断面上各点的速度都相等，大小均为断面平均流速v。以断面平均流速v计算所得的流量与实际流量相同，即
图3.12 断面平均流速
或
3.2.6 动能、动量修正系数
断面上实际流速分布可以表示为
u=v+Δu
因为
所以
在过流断面的不同位置，ΔudA可为正（管流的中心部分），也可为负（管壁附近），在整个过流断面上ΔudA的积分等于0。而Δu2dA的积分不等于0，Δu3dA的积分等于0，即
因此，采用断面平均流速计算流体的动能、动量时将引起误差，需要予以修正。
动能、动量修正系数是指单位时间，通过某过流断面的流体的实际动能、动量与用断面平均流速计算的动能、动量的比值，分别用α、β表示，有
在用断面平均流速表示单位时间通过过流断面的流体动能和动量时，需分别乘以动能修正系数α和动量修正系数β，才能得到真实的动能和动量。
3.2.7 湿周、水力半径和当量直径
湿周：过流断面上，流体与固体边界接触部分的周长，用χ表示（图3.13）。
图3.13 过流断面的湿周
水力半径：过流断面面积与湿周之比，用R表示。
当量直径：水力半径的4倍，用de表示。
3.2.8 均匀流与非均匀流
流场中所有流线是平行直线的流动，称为均匀流，否则称为非均匀流。例如，流体在等直径长直管道中的流动或在断面形状、大小沿程不变的长直渠道中的流动均属均匀流，如图3.14、图3.15所示；流体在断面沿程收缩或扩大的管道中流动或在弯曲管道中流动，以及在断面形状、大小沿程变化的渠道中的流动均属非均匀流。
图3.14 管道均匀流
图3.15 明渠均匀流
均匀流具有以下特性。
（1）流线是相互平行的直线，因此过流断面是平面，且过流断面的面积沿程不变。
（2）同一根流线上各点的流速相等（但不同流线上的流速不一定相等），流速分布沿程不变，断面平均流速也沿程不变，并由此可见均匀流是沿程没有加速度的流动。
（3）过流断面上的动压强分布规律符合静压强分布规律，即
。
上述均匀流过流断面上动压强分布规律可用实验来演示这一规律。在图3.14的管道均匀流中任取一过流断面（例如断面A），在过流断面边壁的不同位置上安装若干个测压管，不同的安装点到基准面的距离z不同，如图3.16所示。从观测可见所有测压管中自由液面的高程都相等，这表明均匀流过流断面上各点的测压管水头相等
。
图3.16 均匀流动压强特性
按非均匀程度的不同又将非均匀流动分为渐变流和急变流。凡流线间夹角很小接近于平行直线的流动称为渐变流，否则称为急变流。显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，可以认为，渐变流过流断面上的动压强分布规律也近似地符合静压强分布规律。
图3.17是水流通过闸孔的流动，将此流动分为a、b、c三个区段。在a、c区段，流线夹角很小，流线是近乎平行的直线，流动属于渐变流。而b区段流线间的夹角很大，属于急变流。
图3.17 渐变流和急变流
由定义可知，渐变流与急变流没有明确的界定标准，流动是否按渐变流处理，以所得结果能否满足工程要求的精度而定。
【例3.2】 已知平面流动，流速为ux=（4y-6x）t，uy=（6y-9x）t。试问：（1）当t=2时，点（2，4）的加速度；（2）判别流动是否为恒定流？是否为均匀流？
解：（1）由欧拉法加速度的表达式，有
代入t=2，x=2，y=4，得到
ax=4m/s2
同理，
ay=6m/s2
（2）因速度与时间有关，此流动为非恒定流；因x方向的位变加速度
=0，y方向的位变加速度
，此流动为均匀流。
3.2.9 有压流、无压流、射流
按限制总流的边界情况，可将流动分为有压流、无压流和射流。边界全部为固体（如为液体则没有自由表面）的流体运动，称为有压流。边界部分为固体，部分为大气，具有自由表面的液体运动，称为无压流。流体从孔口、管嘴或缝隙中连续射出一股具有一定尺寸的流束，射到足够大的空间去继续扩散的流动称为射流。
例如，给水管道中的流动为有压流；河渠中的水流运动以及排水管道中的流动是无压流；经孔口或管嘴射入大气的水流运动为射流。