3.4 小波分析

3.4.1 小波函数

假设连续函数ψ（x），其函数值在远离原点处迅速衰减到零，且在实数R范围内有：

式中：ψ（x）为基小波或母小波。对母小波通过伸缩平移因子a，b可以得到一簇小波：

式中：a为尺度因子，反映了小波的周期长度；b为时间因子，反映了在时间上的平移。

连续复Morlet小波作为母小波进行小波变换时，能够很好地对水文气象序列连续进行时频局部化分析。因此，本研究选取Morlet小波对珠江流域各水文气象要素进行周期分析。Morlet小波函数形式为：

式中：ω0为常数，ω0≥5；i为虚数。

3.4.2 小波变换

对于任意函数f（x），其小波变换定义如下：

式中：ψ（x）与）互为复共轭函数；Wf（a，b）为小波系数。Wf（a，b）写成离散变换式如下：

Wf（a，b）是时间序列f（kΔt）通过单位脉冲响应的滤波器的输出，能同时反映时域参数b和频域参数a的特性。当a增大时，对频域的分辨率高，而对时域的分辨率低；当a减小时，对频域的分辨率低，而对时域的分辨率高。以b为横坐标，a为纵坐标作关于Wf（a，b）的等值线图，即为小波变换系数图，通过该图可以得知水文气象序列变化的小波变化特征。

3.4.3 小波方差

将时间域上的关于a的所有小波变换系数的平方进行积分，便得到小波方差：

小波方差随尺度a的变化过程即为小波方差图，它反映了波动的能量随尺度的分布。通过小波方差图可以得知一个水文气象序列存在的主周期。