3．1　变形与应变的概念

3．1．1　相对位移张量及其分解

如图3．1．1所示，在外部作用下，可变形固体内部各点的位置可能发生变化，即发生位移。图中实线为物体的初始轮廓线，虚线是位移发生后的轮廓线，物体中A、B点发生位移后的位置为A′、B′。因此，只要确定物体中每个点的位移，即可知道整个物体的位移，这个位移可以用坐标的函数来表示，即

式中：u、v、w分别为坐标x、y、z方向的位移。

如果我们用张量分量的形式来表示上式，则为

式中：u1、u2、u3分别为x、y、z方向的位移u、v、w；x1、x2、x3分别为坐标x、y、z。

可变形固体的位移可以分为两种类型：①刚体位移，即不改变物体内各点相对位置的位移，刚体位移又可以分为平动和转动两部分；②变形，即改变物体内各点的相对位置的位移。以下我们先研究物体中任一微小线段的位移，以此区分刚体位移和变形。

如图3．1．2所示，P0（x0，y0）、P（x，y）是发生位移前物体内相邻的两点，由P0到P的矢量为S。u0、u分别为P0、P点发生的位移。P′0（x′0，y′0）、P′（x′，y′）是发生位移后物体内相邻的两点，由P′0到P′的矢量为S′。由图3．1．2可知：

即

因此，位移发生后的矢量S′可以用原矢量S与其端点的位移来表示。端点位移矢量之差为

由式（3．1．2），假设位移ui为坐标xj的单值连续函数，可将P点位移在P0点按照泰勒级数展开，即

式中：Sj为原线段矢量沿j方向的分量；o（Sj）为一阶以上的高阶小量，可以忽略。将式（3．1．6）代入式（3．1．5），并写成分量形式，得

上式中的ui，j称为相对位移张量。式（3．1．7）表明，线段矢量各方向的变化量δSi可以由原线段矢量Sj和相对位移张量ui，j来表示。

由图3．1．2可知，刚体位移中的平动部分不改变线段矢量的大小和方向，即与式（3．1．7）中的δSi无关，所以相对位移张量ui，j中只包含转动和变形部分，它们可以通过张量分解得到。任何一个二阶张量都可以分解为一个对称张量和一个反对称张量，对相对位移张量进行分解，可以得到

上式右端第1部分为对称张量，称为应变张量，用εij表示，第2部分为反对称张量，称为转动张量，用ωij表示，因此有

以下将说明，转动张量ωij反映了微元体的刚体转动。

刚体转动时，矢量S在转动前后的长度（模）相等，即｜S′｜＝｜S｜，因此

化简上式并略去高阶小量，得

将式（3．1．7）代入式（3．1．13），得

在直角坐标系中展开上式，得

因为S是任意线段，所以式（3．1．15）成立的条件是关于矢量分量Si的各项系数都必须为0，即要求：

也就是说，微元体刚体转动所对应的相对位移张量必为反对称张量。反之也成立。

由转动张量的表达式（3．1．11），可以验证，ωij是反对称张量，因此它所导致的微元体位移是刚体转动。再将式（3．1．16）代入应变张量的表达式（3．1．10），可以验证，当微元体发生刚体转动时，εij等于0，这说明应变张量与微元体的刚体转动无关，即只和变形有关。下节将具体说明应变张量的物理意义。

3．1．2　应变张量的物理意义

对于弹塑性力学来说，主要关心的是不包含刚体位移的纯变形。纯变形时任意矢量S在各个坐标方向的变化可以用与式（3．1．7）类似的公式求解，但需要除去刚体位移（转动）部分，即将相对位移张量代之以应变张量，得

当矢量S平行于x轴时，S1＝｜S｜，其余为0，所以

可见ε11表示x方向的线应变（单位长度的伸长量），同理ε22、ε33分别为y、z方向的线应变。

如果两个矢量S1和S2变形前分别平行于x、y轴，i、j分别为x、y轴方向的单位矢量，则

如图3．1．3所示，S1和S2变形后分别为

变形后两个矢量的夹角的余弦为

化简上式，并略去高阶小量后得

上式右端第1项的含义为O点x轴方向位移u随着y坐标的变化率，第2项为O点y轴方向位移v随着x坐标的变化率，即

所以有

假设互相垂直的矢量S1和S2在变形后的夹角改变量为α，考虑小变形情况下α为一小量，因此有

即

可见ε12表示变形后x、y轴之间夹角的改变量的一半。在材料力学中，该夹角的改变量称为切应变γxy，所以有

与以上推导过程类似，还可以得到应变分量ε23、ε31的含义分别为变形后y、z轴，z、x轴之间夹角改变量的一半，即

综上所述，三维问题时各应变分量为

式中：εx、εy、εz为正应变；γxy、γyz、γzx为切应变；εij（i，j＝1，2，3）则由式（3．1．10）计算，因此式（3．1．10）又称为应变位移关系式，简称几何关系，其中各个分量的下标1、2、3也可用x、y、z代替，即