2．5 主应力和主方向
根据式（2．2．1），可以求得过物体内一点任意截面上的应力，一般来说既有正应力，又有切应力。但是在某些特殊的角度，截面上只有正应力，而没有切应力，这些截面称为主平面，主平面的法线方向n称为主方向，主平面上的正应力σn称为主应力。本节来求解主应力和主方向。
如图2．5．1所示，假设主方向n的方向矢量为（l1，l2，l3），那么主平面上的应力分量为
图2．5．1 主应力和主平面
这3个分量的合力σn必须在主方向n上，即px、py、pz为σn在x、y、z轴上的投影，即
代入式（2．5．1），得
因此有
上式可以看作以l1、l2、l3为未知量的线性代数方程组，用张量的下标记号法表示为
式（2．5．4）存在非零解的条件是
展开后得
其中
式（2．5．7）是关于σn的三次方程，3个根分别对应于3个主应力σ1、σ2、σ3（σ1、σ2、σ3）。每求出一个主应力，代入式（2．5．4），并补充方程：
可以求出该主应力对应的主方向矢量，3个主应力分别对应3个主方向。还可以进一步证
明，一般情况下，这3个主方向是相互正交的。
由应力张量的客观性，当物体内一点的应力状态确定后，该点有且只有3个主应力σ1、σ2、σ3，这3个主应力的大小和指向不会随着坐标系的变换而变化，因此方程式（2．5．7）中的3个系数I1、I2、I3也不随坐标系的变换而变化，它们分别是应力张量的第一、第二、第三不变量。
已知主应力和主平面后，如果以主应力σ1、σ2、σ3的方向为坐标轴建立几何空间，该坐标空间称为主向空间，如图2．5．2所示。
图2．5．2 主向空间
主向空间中某斜面n的法向方向余弦为（l1，l2，l3），则斜面上x、y、z方向的应力分量为
斜面上的正应力为
切应力为
以上斜截面上正应力与切应力公式相比非主向空间中的计算式（2．2．5）、式（2．2．6）有所简化。从式（2．5．13）还可推导得到，过一点所有斜截面的正应力中，最大值和最小值都是主应力。
【例2．5．1】 在平面问题中，一点P的应力状态为
试求：（1）主应力及主方向；（2）最大切应力及其所在的面θp。
解：（1）对于平面问题，直接采用式（2．5．7）求解主应力和主方向过于繁琐。这里我们假设主平面C与x轴成θ角，如图2．5．3所示，根据式（2．2．12），C平面上的正应力和切应力为
图2．5．3 ［例2．5．1］图
由该平面上的切应力为0，得
由此可以求得
代入式（a），得到主应力值：
（2）最大切应力可由函数求极值得到。即
代入式（b）中τθ的表达式，求导可得
根据三角函数公式：
得
可见最大切应力所在平面与主平面成45°角。将上式代入式（b），得
如果用式（e）中的主应力表示，则为
将上述式（k）推广到三维情形，即可得到主切应力，其中包括最大和最小的切应力，它们是
如σ1≥σ2≥σ3，则最大切应力为
