2．2　一点的应力状态

如前所述，过固体内部一点的所有截面上应力的集合称为该点的应力状态，利用应力张量即可确定该点的应力状态，本节来推导相关的求解公式。

2．2．1　斜截面上的应力公式

如图2．2．1所示，已知物体内任意一点O的应力张量为σij，求过O点外法线为n的任一斜截面上的应力，为此我们在O点处截取一个微小的四面体单元OABC，斜面ABC的外法线方向为n，OBC、OAC、OAB3个截面分别与x、y、z轴垂直，因此这3个截面上的应力可以直接用应力张量σij的分量表示。

令斜面ABC面积为1，则图2．2．1中截面OBC、OAC、OAB的面积分别为nx、ny、nz，nx、ny、nz分别为斜面外法线n的3个方向余弦。由微四面体单元OABC的力平衡条件∑Fx＝0、∑Fy＝0和∑Fz＝0，可得斜面ABC上的应力在3个坐标轴方向的分量px、py、pz：

若采用张量的下标记号法和求和约定，上式可简写为

式中：nj＝cos（n，xj）（j＝1，2，3），为斜面外法线n的3个方向余弦。式（2．2．2）中利用了切应力互等定理：

即

该式与材料力学中的切应力互等定理相同，2．3节将进一步加以证明。式（2．2．4）也表明，应力张量σij是一个对称张量，它的9个分量中独立的只有6个。

利用式（2．2．2），可由一点的应力张量确定通过该点的任意截面上的应力，即确定该点的应力状态。进一步还可以求出截面上的正应力和切应力为

2．2．2　应力分量的转换公式

应力张量是一个二阶张量，它在坐标变换时应该满足二阶张量的变换规律，下面来推导这一规律。

如果坐标变换仅仅是坐标的平移，那么各个应力分量的大小和方向都不会发生变化，只有在坐标旋转时，各个应力分量才会发生变化，所以只需讨论坐标旋转时应力分量的变换。令变换前后的坐标系分别为Oxyz和Ox′y′z′，其中x′轴取为斜截面的法向n，并通过O点，如图2．2．2所示。

沿x′轴方向的正应力为

式中：lx′x＝cos（x′，x），lx′y＝cos（x′，y），lx′z＝cos（x′，z），也就是斜面法向在原坐标系中方向矢量的3个分量ni，i＝1，2，3；px、py、pz为斜面ABC上的应力在3个坐标轴方向的分量。将式（2．2．1）代入式（2．2．7），得到

用下标符号表示为

类似可得px、py、pz在y′、z′轴上的投影：

这两个投影分别为与x′轴垂直平面上的两个切应力。

如果分别将轴y′、z′取为原斜截面法向量n，可以得到Ox′y′z′坐标系下其余应力分量的求解公式。Ox′y′z′坐标系下的应力分量的求解公式可以汇总为

式中：li′i＝cos（x′i，xi）（i＝1，2，3）；xi、x′i分别为Oxyz和Ox′y′z′坐标系的坐标轴单位矢量；li′i各分量的表达式参见表2．2．1。式（2．2．11）就是坐标变换时，二阶应力张量σij服从的变换规律，由此可以求得不同坐标系下的应力张量分量。

作为特例，我们来求解二维的平面问题中坐标转换时的应力分量。如图2．2．3所示，假设固体内某点A的应力张量中与z轴相关的分量都为0（σz＝0，τxz＝0，τyz＝0），求解老坐标系Axyz旋转到新坐标系Ax′y′z′时，垂直于x′轴的斜截面BC上的正应力和切应力。

新、老坐标轴间夹角的方向余弦见表2．2．2，代入式（2．2．11）即可得到Ax′y′z′坐标系下的应力分量，其中斜截面BC上的正应力和切应力为

上式中θ以x轴正方向开始逆时针旋转为正，顺时针为负。将式（2．2．12）与材料力学中平面问题的斜截面应力公式相比较，两者非常相像，差别在于材料力学中切应力的正负号规则正好与当前定义相反。