2.2 力矩

一般情况下力对刚体既有移动效应，也有转动效应。力对刚体的移动效应可用力的大小和方向即力矢来度量；而力对刚体的转动效应可用力矩来度量。力矩是度量力对刚体转动效应的物理量。

2.2.1 平面上力对点的矩

用扳手拧紧螺母时（图2.4），设螺母能绕O点转动，在图2.4所示平面上作用于扳手上的力为F，从矩心到F的垂直距离为h，称为力臂。

由经验知，力使螺母转动的作用效果取决于力和力臂的乘积Fh及力使物体转动的方向。所以平面上力对点的矩只取决于力的大小和转向两个因素。因此可以用一个代数量完整地表示出来。所以，平面上力对点的矩是一个代数量，力矩的大小等于力的大小与力臂的乘积。其正负号规定：力使物体绕矩心逆时针转动为正；反之为负。常用符号M_O(F)表示，即

力矩常用的单位为kN·m或N·m。

2.2.2 力对空间点的矩

如图2.5(a)所示，正方形ABCD上受力F₁、F₂、F₃作用，且F₁=F₂=F₃，力与点A到力的作用线的距离的乘积即力矩的大小相等，转向相同。但力使刚体绕A点所产生的转动效应完全不同。力F₁使刚体绕通过A点的z轴转动，力F₂使刚体绕通过A点的x轴转动，力F₃使刚体绕通过A点的y轴转动，因此力对空间一点的矩，除了包括力矩的大小和转向外，还必须包括力的作用线和矩心所组成的平面的方位，因此力对空间一点的矩必须用一个矢量来表示，如图2.5(b)所示，这个矢量垂直于矩心O和力F的作用线所决定的平面，用M_O(F)表示，其大小为M_O(F)=±Fh，其指向按右手螺旋法则决定，它应画在矩心O上，是一个定位矢量，其大小和方向都与矩心的位置有关。

以r表示力作用点A的矢径，则矢积r×F的模等于三角形OAB面积的两倍，其转向和方位由右手螺旋法则可知和力矩矢M_O(F)一致。即力矩的M_O(F)的三要素都可用矢积r×F来表示。因此有

即力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。

若将矢径r和力F表示成解析式，则为

代入得力对点之矩的解析表达式为

则力矩M_O(F)在坐标轴x、y、z上的投影为

【例2.1】 已知力F=4i-8j+3k(N)通过点A(-3,8,2)。求：

(1)F对坐标原点O的矩；

(2)F对O₁点(2,3,-1)的矩。

解：

（1）矢径r==-3i+8j+2k

（2）矢径r==-5i+5j+3k

2.2.3 力对轴的矩

在生活中和工程实际中经常遇到力使刚体绕定轴转动的情况，例如用柱铰链安装的门窗、带有轴承的车轮和各种旋转机械等。为了度量力对绕定轴转动刚体的作用效果，必须引入力对轴的矩的概念。

如图2.6所示，在门上A点作用一力F，此力使其绕固定轴z转动，现将力F分解为两个互相垂直的分力F_z和F_xy，其中F_z平行于z轴，F_xy在垂直于z轴并通过F的始点A的平面上（分力F_xy的大小等于F在垂直于Z轴的Oxy平面上的投影），由经验可知，分力F_z不能使门绕z轴转动。只有分力F_xy才能使门绕z轴转动。以h表示平面Oxy与z轴的交点O到力F_xy作用线的垂直距离，则力F_xy对O点的矩M_O（F_xy）=±F_xy·h可用来度量力F使门绕固定轴Oz的转动作用，称为力F对Oz轴的矩，以M_z（F）表示，则有：M_z（F）=M_O（F_xy）=±F_xyh=±2SΔOAB

于是，可得力对轴之矩定义如下：力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的量度，它是一个代数量，其绝对值等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对于平面与该轴的交点的矩。

正负号的确定，从z轴的正端向负端看去，若力的这个投影使物体绕该轴按逆时针转向转动，则取正号；反之取负号。也可以按右手螺旋定则来确定其正负号，即把右手四指按力使刚体绕轴的转向卷曲起来而把轴握于手心中，若大拇指的指向与轴的正向相同则取正号；反之取负号。

由上述可知，当力沿其作用线滑动时，不改变力对轴的矩，当力与轴相交或力与轴平行时，力对轴的矩等于零，也就是说当力与轴共面时，力对轴的矩等于零。

2.2.4 力对空间点的矩与力对通过该点轴的矩的关系

如图2.7所示，用M_z(F)表示力F对z轴的矩，则

M_z(F)=M_O(F_xy)=M_O(F_x)+M_O(F_y)=xF_y-yF_x=［M_O(F)］_z

同理有

比较式（2.9）、式（2.10）得力对轴之矩等于此力对该轴上任一点之矩在该轴上的投影。

2.2.5 合力矩定理

设汇交力系各力F₁，F₂，…，F_n的作用线通过A点，其合力为F_R，矩心O到汇交点A的矢径为r，则

此即合力矩定理：合力对任一点之矩等于它的各分力对同一点之矩的矢量和。

将式(2.11)在任意x轴投影有

即合力对任意轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。

由推证这一定理的过程可以看出，该定理适用于所有有合力的其他力系，在解题计算中若计算力臂不方便时，常可以将力分解，应用上述合力矩定理来求力对点之矩。

【例2.2】 力F作用于支架上的C点（图2.8），已知F=1200N，a=140mm，b=120mm，试求力F对其作用面内A点之矩。

解：此题直接求力臂h较麻烦，而利用合力矩定理就比较方便。

把力F分解为水平分力F_x和垂直分力F_y，由合力矩定理得

M_A(F)=M_A(F_x)+M_A(F_y)=-Fcos30°·b+Fsin30°·a

M_A(F)=-1200×0.866×0.12+1200×0.5×0.14=-40.7(N·m)

负号表示力矩为顺时针转向。

【例2.3】 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图2.9所示。载荷的最大值为q、梁长为l。试求分布载荷合力作用线位置。

解：在梁上距A端为x处取长度dx，则在dx上作用力的大小为q′dx，其中q′为该处的载荷强度。由图2.9可知，。因此载荷的合力大小为

设合力作用线距A点为h，根据合力矩定理有

将q′、Q值代入上式积分得

h=2l/3

【例2.4】 求图2.10中的力F对AC轴之矩M_AC(F)。

解：由力对轴之矩等于此力对该轴上任一点之矩在该轴上的投影，有