1.4 在测量工作中用水平面代替水准面的限度

根据1.3内容可知，在普通测量工作中是将大地水准面近似地当成圆球看待的。一般测绘产品通常是以平面图纸为介质的。因此就需要先把地面点投影到圆球面上，然后再投影到平面图纸上，需要进行两次投影。在实际测量时，若测区范围面积不大，往往以水平面直接代替水准面，就是把球面上的点直接投影到平面上，不考虑地球曲率。但是到底多大面积范围内容许以平面投影代替球面，本节主要来讨论这个问题。

图1.4.1 水平面代替水准面对水平距离的影响

1.4.1 对水平距离的影响

如图1.4.1所示，地面两点A、B，投影到水平面上分别为a、b，在大地水准面上的投影为a、b′，则D、D′分别为地面点在大地水准面上与水平面上的距离。研究水平面代替水准面对距离的影响，即为用D′代替D所产生的误差ΔD。

由图可知：

ΔD=D′-D

因 D=Rθ

在ΔaOb中，D′=Rtanθ，则

ΔD=D′-D= Rtanθ-Rθ=R(tanθ-θ)

将tanθ按级数展开为

因为面积不大，所以D′不会太长，θ角很小，故略去θ五次方以上各项，并代入式（1.4.1）得

因为，代入式 （1.4.2）得

【例1.4.1】 设有两点水平距离为1000m，求其用水平距离代替水准面长度产生的误差是多少？

解：根据式（1.4.3），得

距离相对误差：

以R=6371km和不同的D值代入式（1.4.3），算得相应的ΔD及ΔD/D值见表1.4.1。

从表1.4.1可以看出，当地面距离为10km时，用水平面代替水准面所产生的距离误差仅为8.2mm，其相对误差为1/120万。而实际测量距离时，大地测量中使用的精密电磁波测距仪的测距精度为1/100万（相对误差），地形测量中普通钢尺的量距精度约为1/2000。所以，只有在大范围内进行精密测距时，才考虑地球曲率的影响。而在一般地形测量中测量距离时，可不必考虑这种误差的影响。

1.4.2 对高程的影响

我们知道，高程的起算面是大地水准面，如果以水平面代替水准面进行高程测量，则所测得的高程必然含有因地球弯曲而产生的高程误差的影响。如图1.4.1所示，a点和b′点在同一水准面上，其高程应当是相等的，当以水平面代替水准面时，b点升到b′点，bb′，即Δh就是产生的高程误差。由于地球半径很大，距离D和θ角一般很小，所以Δh可以近似地用半径为D、圆心角为θ/2所对应的弧长来表示，即

因为，代入式 （1.4.4）得

【例1.4.2】 设有两点水平距离为1000m，计算用水平面代替水准面对高程的影响是多少？

解：根据式（1.4.5），得

用不同的距离D值代入式（1.4.5），便得到地球曲率对高程的影响，见表1.4.2。

从表1.4.2中可以看出，用水平面代替水准面对高程的影响是很大的。距离为0.1km时，就有0.8mm的高程误差，这在高程测量中是不允许的。因此，进行高程测量，即使距离很短，都应顾及地球曲率对高程的影响。

1.4.3 对水平角度的影响

从球面三角学可知，同一空间多边形在球面上投影A′B′C′的各内角之和，较其在平面上投影ABC的各内角之和大一个球面角超值ε的数值，如图1.4.2所示。其公式为

图1.4.2 水平面代替水准面对水平角度的影响

式中 ε——球面角超值，（″）；

P——球面多边形的面积，km²；

R——地球半径，km；

ρ″——以秒计的弧度。

【例1.4.3】 设地面上某三角形实测面积为50km²，计算用水平面代替水准面引起的角度误差是多少？

解：根据式（1.4.6）得

以不同的面积P代入式（1.4.6），可求出球面角超值，见表1.4.3。

这些计算表明，对于面积在100km²以内的多边形，地球曲率对水平角的影响只有在最精密的测量中才需要考虑，一般的测量工作是不必考虑的。

由此可得如下结论：在面积为100km²范围内，不论是进行水平距离还是水平角度测量，都可以不顾及地球曲率的影响，在精度要求较低的情况下，这个范围还可以相应扩大；但是，对于高程的测量，任何情况下都不能忽视地球曲率的影响。