第四节 监测数学模型

水工建筑物安全监测是判断水工建筑物安全的耳目，它是水工建筑物学科中融水工结构学、仪器学、计算机学、现代数学等于一体的一个重要分支。国内外对水工建筑物安全监测都非常重视，美国、法国、俄罗斯、澳大利亚、意大利、加拿大、奥地利、葡萄牙等国均纷纷立法，将安全监测作为水工建筑物建设与管理中的一项必不可少的工作，以确保水工建筑物的安全。各国均广泛开展了水工建筑物安全监测诸方面的研究工作，取得了不少行之有效的研究成果。

水工建筑物安全监测主要包括监测仪器、监测设计、监测施工、监测数据采集、监测资料整理分析、安全评价、安全监控等环节，它们构成了一个相互联系、相互制约的完整的安全监测体系。其中，监测仪器是安全监测的基础，监测设计是安全监测的关键，监测施工和监测数据采集是安全监测的保证，监测资料整理分析是安全监测的手段，安全评价与安全监控是安全监测的最终目的。

监测资料分析是水工建筑物安全监测的重要内容，一般采用定性分析和定量分析方法，其中定量分析主要采用安全监测数学模型。水工建筑物安全监测数学模型是针对水工建筑物效应量监测值而建立起来的、具有一定形式和构造的、用以反映效应量监测值定量变化规律的数学表达式。目前常用的主要有监测统计模型、监测确定性模型和监测混合模型这三大类传统监测数学模型。这三类监测数学模型已在实际工程中得到检验，应用效果良好。

一、监测统计模型

监测统计模型是一种根据已取得的监测资料，以环境量作为自变量，以监测效应量作为因变量，利用数理统计分析方法而建立起来的、定量描述监测效应量与环境量之间统计关系的数学方程。统计模型以历史实测数据为基础，基本上不涉及水工建筑物的结构分析，因此它本质上是一种经验模型。

水工建筑物监测效应量主要有变形类、温度及应力应变类和渗流类。其中变形类监测效应量主要包括水平位移，垂直位移，接缝和裂缝开度，挠度和倾斜，固结等；温度及应力应变类监测效应量主要包括混凝土应力、应变，混凝土温度，基岩温度，土石坝的孔隙水压力、土压（应）力、动力监测等；渗流类监测效应量主要包括渗流量，绕坝渗流，混凝土坝的扬压力，土石坝的浸润线，坝基渗水压力，导渗降压等。

（一）模型的构造

监测统计模型应反映影响监测效应量变化的主要因素，排除与监测效应量变化无关的因素。已有的水工建筑物知识和经验表明，水工建筑物上任一点在时刻t的变形、应力等效应量主要受上下游水位（水压）、温度及时间效应（时效）等因素的影响，因此监测统计模型主要由水压分量、温度分量和时效分量构成。其模型的一般表达式为

式中：为监测效应量y在时刻t的统计估计值；为的水压分量；为的温度分量；为的时效分量。

1.水压分量的构成形式

通过对水工建筑物在水压作用下所产生的变形类、应力类效应量的分析表明，水压分量的构成一般取为上游水位、水深或上下游水位差的幂多项式，即

式中：Hⁱ（t）为t时刻作用在水工建筑物上的水压（上游水位、水深或上下游水位差），m；a_i（i≠0）为回归系数，a_i均由回归分析确定；w为水压因子个数，一般取w=3～4。

当下游水位变化较大且上下游水位差不大时，应考虑下游水位变化对监测效应量的影响。此时应增加下游水位因子，即

式中：为t时刻的上游水位，m；为t时刻的下游水位，m。

2.温度分量的构成形式

温度分量取决于水工建筑物温度场的变化，因此，温度分量的构成形式与描述水工建筑物温度场的方式密切相关。当水工建筑物内埋设有足够多的温度测点，且测点温度可以充分描述温度场的变化状态时，可采用各温度测点的实测温度值作为温度因子。此时温度分量的构成形式可表示为

式中：T_i（t）为t时刻温度测点i的温度实测值，℃；b₀为回归常数，b_i为回归系数，b₀、b_i均由回归分析确定；q为温度因子数，此处q等于温度测点个数。

当采用测点温度作为温度因子时，可能会因为温度测点数量很多而导致温度因子数量过多，不利于模型的求解。考虑到水工建筑物温度场可以用若干个水平断面上的平均温度和这些断面上的温度梯度来描述，因此可采用平均温度和温度梯度作为温度因子。此时，温度分量的构成形式可表示为

式中：为t时刻水平断面i上的平均温度；T_ui（t）为t时刻水平断面i上的温度梯度；b_1i、b_2i为回归系数，b_1i、b_2i均由回归分析确定。

如果水工建筑物内无温度监测资料，或虽有温度监测资料但不足以描述温度场变化，则无法采用实测温度因子形式。考虑到当水工建筑物温度场接近准稳定温度场时，其温度场变化主要受外界气温变化的影响，因此可以用外界气温变化来间接地描述水工建筑物内部温度场的变化。由于水工建筑物内部温度变化对气温变化存在滞后效应，因而气温变化对监测效应量的影响也存在滞后效应。为此，可采用监测效应量观测日期前若干天气温的平均值作为温度因子。此时，温度分量的构成形式可表示为

式中：T_i（s-e）（t）为第i个温度因子，观测日（t）前第s天至第e天气温的平均值；q为温度因子个数。s、e和q的确定，需要结合具体情况，经论证而定。

当有良好的水温实测资料时，可在式（4-54）中增加水温因子，形式与气温因子相同。

除上述3种温度因子构成形式外，还可以考虑用谐量分析的方法来确定温度因子的构成形式。也可以根据具体情况采用上述3种温度因子的组合形式。

3.时效分量的构成形式

时效分量是一种随时间推移而朝某一方向发展的不可逆分量，它主要反映混凝土徐变、岩石蠕变、岩体节理裂隙以及软弱结构对监测效应量的影响，其成因比较复杂。时效分量的变化一般与时间呈曲线关系，可采用对数式、指数式、双曲线式、直线式等表示。在建立监测统计模型时，可根据具体情况预置一个或多个时效因子参与回归分析。时效因子一般可以采用如下8种形式中的一种或几种来表示

式中：t₁为相对于基准日期的时间计算参数，一般取t₁=（观测日序号-基准日序号）÷365。

因此，时效分量的构成形式可表示为

式中：c₀为回归常数，c_i为回归系数，c₀、c_i均由回归分析确定；p为所选择的时效因子个数，可取p=1～8。

必须说明的是，式（4-49）所示的统计模型是针对变形类和应力应变类监测效应量而言的。对于渗流类监测效应量，特别是对于靠近河流两岸的水工建筑物，受降雨的影响比较明显，而受温度的影响较小，因此在渗流类监测效应量统计模型因子设置时，一般取为水压、降雨和时效3类因子。由于水压和降雨的变化对渗流类监测效应量的影响均存在滞后效应，因此水压和降雨因子的构成形式类似于式（4-54）。

（二）模型的建立

监测统计模型的建立（求解）主要有两种方法：多元回归分析和逐步回归分析。其中逐步回归分析应用更为广泛。

1.多元回归方程的建立

水工建筑物监测效应量y（t）可以看作是一种服从正态分布的多元连续型随机变量，其数学期望和方差分别记为E和σ²。设有n-1个影响监测效应量y（t）（因变量）的环境因子（自变量，如前所述的水压、温度和时效因子），记为x_i（t）（i=1，2，…，n-1）。若y（t）与x_i（t）（i=1，2，…，n-1）之间存在线性关系，则y（t）的条件数学期望E{y（t）|x₁（t），x₂（t），…，x_n-1（t）}的理论回归方程为

式中：β_i为系数。

设x₁（t）、x₂（t）、…、x_n-1（t）分别有m次实测值（子样），则根据这些实测值可建立回归方程

式中：为监测效应量y（t）的回归值，它是对母体y（t）在环境因子组合下的条件数学期望E的无偏估计；b_i（i=0，1，…，n-1）为回归系数，它是对母体参数β_i（i=0，1，…，n-1）的估计。母体的方差σ²由方程（4-58）的剩余方差S²来估计。

当m&lt；n-1时，方程（4-58）不可解。当m&gt；n-1时，方程（4-58）有多个解。此时，为获得方程（4-58）的最优拟合，可运用最小二乘法则，使实测值y（t）与回归值的离差平方和Q为最小，即

由此可得到n-1个正规方程。联立这n-1个正规方程即可求解出回归系数b_i（i=1，2，…，n-1），然后可求出回归常数b₀。按上述方法求出的b_i（i=0，1，…，n-1）是对母体参数β_i（i=0，1，…，n-1）的最小二乘估计，所得到的回归方程是在n-1个因子、m×（n-1）次实测值的条件下y（t）的最优拟合回归方程。

由于式（4-58）中自变量x_i（t）（i=1，2，…，n-1）的单位一般不一致，因此常需要对其进行无量纲处理，以便使回归方程中的各回归系数具有可比性。

2.逐步回归方程的建立

上述所建立的多元回归方程中包含了所有自变量（预置因子）。在这些自变量中，可能有些与因变量（监测效应量）之间没有显著关系，它们的存在将会降低回归方程的效果和稳定性。因此，必须在回归方程中剔除与因变量没有显著关系的自变量，建立最优回归方程。

逐步回归分析是一种建立最优回归方程的最简捷的统计分析方法。其基本思路是：先将和因变量相关程度最大的因子引入方程，再从余下的各因子中挑选和因变量相关程度最大的另一个因子进入方程。这样按自变量对因变量作用的显著程度，从大到小依次逐个地引入回归方程，直到没有显著的因子可再引入回归方程为止。引入新因子的每一步，都要对各因子作显著性检验，若先引入的因子由于后面引入的因子而变得不显著时，就应将它从方程中剔除。因此，引入和剔除因子都要进行显著性检验，以确保引入的每一个因子都经显著性检验合格。逐步回归分析最终得到的回归方程为

式中：k为最终入选回归方程的因子个数，k≤n-1。

（三）模型的检验与校正

1.复相关系数R

复相关系数R是判断回归有效性的重要指标。

式中：为效应量y（t）的平均值。

复相关系数0≤R≤1。R越大，说明效应量y（t）与入选因子群x_i（t）（i=1，2，…，k）之间的相关程度越密切，回归方程的质量越高。

2.剩余标准差S

剩余标准差S反映了所有随机因素及方程外的有关因子对监测效应量y（t）的一次测值影响的平均变差的大小，它是回归方程精度的重要标志。

剩余标准差S越小，说明回归方程的精度越高，方程的质量越好。同时，S还是利用回归模型进行监测效应量y（t）预报或对回归方程质量进行预报检验的重要参数。

3.拟合残差检验

从理论上讲，回归方程拟合值与实测值y（t）的残差序列ε（t）（i=1，2，…，m）应为一个均值为0、方差为σ²的正态分布随机序列。因此，如果经检验不符合上述条件，且残差序列中存在周期项、趋势项等规律性成分时，则需从预置因子集等角度对回归方程作进一步改进。

二、监测确定性模型

监测确定性模型是一种先利用结构分析计算成果确定环境量（自变量）与监测效应量（因变量）之间的确定性物理力学关系式，然后根据监测效应量和环境量实测值通过回归分析来求解修正计算参数误差的调整系数，从而建立定量描述监测效应量与环境量之间因果关系的数学方程。

统计模型是一种基于历史监测资料的经验模型。当环境量超出了历史监测资料的环境量范围（如水库水位远大于建模的历史水位）时，按历史监测资料确定的统计模型可能难以准确解释新的监测成果，也就是说统计模型的外延预报效果难以保证。因此，与统计模型相比，确定性模型具有更加明确的物理力学概念，能更好地与水工建筑物的结构特点相联系，能取得更好的预报效果。但确定性模型往往计算工作量大，对用作结构计算的基本资料有较高要求。

（一）模型的构造

如前所述，水工建筑物上任一点在时刻t的变形、应力等效应量主要受水压、温度及时效等因素的影响，因此监测确定性模型也主要由水压分量、温度分量和时效分量构成。其模型的一般表达式为

式中：为监测效应量y在时刻t的估计值；为的水压分量；为）的温度分量；为的时效分量。

在确定性模型中，水压分量和温度分量的构造形式一般由结构计算成果（如有限元计算成果）来确定，时效分量的构造形式则采用经验方式确定。

1.水压分量的构成形式

取若干代表性水荷载（如坝前水深）H₁、H₂、…、H_m，根据物理力学理论关系，利用结构分析方法（如有限单元法），分别计算在上述代表性水荷载作用下，水工建筑物上准备建立确定性数学模型的测点k的监测效应量值，从而得到m组对应的水位监测效应量理论计算值（H_j，），j=1、2、…、m。

在水压作用下，水工建筑物上所产生的变形类、应力类效应量一般与水压（水深）的幂次方有关，即

式中：y_H为理论计算效应量值；H为水压（水深），m；a_i为回归系数；w为效应量与水压相关的最高幂次，一般取w=3～4。

根据式（4-64）的结构形式，利用理论计算得到的m组水位—效应量值（H_j，），j=1、2、…、m，采用一元多项式回归分析方法，可以求得式（4-64）中的回归系数a_i和回归常数a₀，从而得到确定性模型中水压分量的构造形式，即

式中：Hⁱ（t）为t时刻作用在水工建筑物上的水压（上游水位、水深或上下游水位差），m。

2.温度分量的构成形式

水工建筑物上温度作用所引起的效应量值的理论计算一般采用有限单元法进行。在水工建筑物有限元分析的计算网格上选择q个有温度监测值的结点，要求这些结点的温度变化足以描述整个水工建筑物温度场的变化。采用单位荷载法计算当代表性结点i温度变化1℃，而其他结点温度无变化时，在水工建筑物上准备建立确定性数学模型的测点处所产生的效应量值。当结点i的实际温度变化为ΔT_i，而其他结点温度无变化时，它在测点处产生的效应量值为ΔT_i。若所有q个具有温度测点的结点的实际温度变化分别为ΔT₁、ΔT₂、…、ΔT_q时，则测点处所产生的效应量值为

确定性模型中温度分量的构造形式可表示为

式中：ΔT_i（t）为t时刻测点i的实际温度变化。

3.时效分量的构成形式

由于时效分量的成因较为复杂，一般难以用物理力学方法确定其理论关系式，因此，在确定性模型中，时效分量的构造形式仍然采用式（4-55）和式（4-56）的统计形式。

（二）模型的建立

式（4-65）和式（4-67）是由理论计算确定的。在理论计算中，所选取的物理力学参数与工程实际情况一般是有差别的，因而按式（4-65）和式（4-67）计算出的水压分量和温度分量也与实际情况存在误差，需要对其进行调整。

假设水压分量的误差主要由水工建筑物及基岩的弹性模量取值不准而引起，可以用一个调整系数Ф来调整这种因弹性模量取值不准而引起的误差。这时，水压确定性分量的表达式为

同理，也可假设温度分量的误差主要来源于水工建筑物及基岩的线膨胀系数取值不准，则定义一个调整系数Ψ，将温度确定性分量的表达式改写为

综合上述分析，监测确定性模型可表示为

在式（4-70）中，调整系数Ф、Ψ和回归系数c_i均为未知，需要根据实际监测资料，采用多元回归分析或逐步回归分析来确定。为保证在模型中水压和温度分量均能得到反映，多采用多元回归分析。

（三）模型的检验与校正

确定性模型的检验和校正，同样可以采用统计模型中介绍的复相关系数R检验、剩余标准差S检验以及拟合残差正态性检验等检验方法。此外，由于在确定性模型中引入了调整系数Ф、Ψ，因此Ф、Ψ的合理性也是检验确定性模型质量的重要指标。

由于调整系数Ф、Ψ主要反映的是理论计算时物理力学参数取值与实际情况的误差，因此，合理的Ф、Ψ值应该在1.0左右。如果Ф、Ψ值出现明显的不合理现象，如Ф、Ψ值太大或太小，则说明所建立的模型质量不佳，需查找原因（如理论计算时物理力学参数的取值是否严重偏差、有限元计算方法是否合理、时效分量形式选择是否合适等），然后重新建立确定性模型。

三、监测混合模型

监测混合模型是一种利用结构分析计算成果来确定某一环境量（自变量）与监测效应量（因变量）之间的确定性物理力学关系式，利用数理统计原理及经验来确定其他环境量与监测效应量之间的统计关系式，根据监测效应量和环境量实测值通过回归分析来求解调整系数及其他回归系数，从而建立定量描述监测效应量与环境量之间关系的数学方程。

混合模型从一定程度上克服了统计模型外延预报效果不佳和确定性模型计算工作量大的缺点，是一种同时具有解释和预报功能的较好的监测数学模型。

混合模型主要有两种。一种是水压分量确定性混合模型，即水压分量的构造形式由结构分析计算成果来确定，温度分量和时效分量的构造形式由数理统计原理及经验来确定，其模型可表示为

式（4-71）中，水压分量确定性模型按式（4-68）确定，温度分量统计模型视具体情况按式（4-52）、式（4-53）或式（4-54）确定，时效分量统计模型按式（4-55）及式（4-56）确定。因此，式（4-71）可表示为

式（4-72）中符号意义同前。

另一种是温度分量确定性的混合模型，即温度分量的构造形式由结构分析计算成果确定，水压分量和时效分量的构造形式由数理统计原理及经验确定，其模型可表示为

式（4-73）中，温度分量确定性模型按式（4-69）确定，水压分量统计模型视具体情况按式（4-50）确定，时效分量统计模型仍按式（4-55）及式（4-56）确定。因此，式（4-73）可表示为

式（4-74）中符号意义同前。

在式（4-72）和式（4-74）中，回归系数c_i和调整系数Ф或Ψ为未知，因此需要根据实际监测资料，采用多元回归分析或逐步回归分析来确定。

由于建立温度与监测效应量之间的确定性关系式（4-69）的计算工作量一般很大，而且要求水工建筑物内具有足够数量的能反映其温度场的温度监测点，因此，在实际工程中，较少建立温度确定性的混合模型，而主要是建立水压分量确定性的混合模型。

混合模型的检验和校正，仍主要采用复相关系数R、剩余标准差S、拟合残差的正态性以及调整系数Ф或Ψ的合理性等检验指标来进行。

上述所介绍的统计模型、确定性模型和混合模型是3类传统的基本监测模型，也是目前应用最为广泛的3类监测模型。这3类传统监测模型具有以下特点：

（1）所建立的均是以环境变量为自变量、以监测效应量为因变量的因果关系模型。

（2）所建立的均是单个测点的单种监测效应量的数学模型。

（3）在因子选择时，均以传统的水压、温度（或降雨）和时效因子为基本因子。

（4）3类模型的主要区别在因子构造形式的确定方式上，模型的求解均以数理统计理论中的最小二乘法回归分析为基础。

近年来，不断有新的监测数学模型出现，如以时间序列分析为基础的时间序列监测模型，以灰色系统理论为基础的灰色系统分析监测模型，以模糊数学理论为基础的模糊聚类分析监测模型，以神经网络理论为基础的神经网络监测模型，在传统监测模型中引入测点位置变量的、可以将多个测点联系起来进行分析的多测点（分布）监测模型，以系统工程理论为基础的、可以将多个测点多种监测效应量联系起来进行分析的综合评价监测模型等。