1.2 隐藏的椭圆_你没想到的数学-QQ阅读男生武侠网

1.2　隐藏的椭圆

式(1.1)实际上表示了 v-V 空间中的一个椭圆。设大滑块的初速度为-1（负号代表向左），则能量守恒方程式可以化简为：

$\cfrac{v^2}{n} + V^2 = 1\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1.2)$

这个方程式表示的椭圆如图1.2所示（图中取 n=4 ）。在运动过程中的任何时刻，两个滑块的速度都会落在椭圆上；两个滑块的初速度，对应着短轴的下端（图中点）。

图 1.2　椭圆代表能量守恒

下面我们试着在椭圆中画出碰撞过程。第一次碰撞，是大滑块撞小滑块。碰撞前后，两个滑块的速度除了满足能量守恒以外，还要满足动量守恒，即：

mv + MV = 常数　　　　　　　　(1.3)

式(1.3)在 v-V 空间中，代表一条斜率为 -m/M 的直线，这个例子中的斜率为 -1/n 。如图1.3，过点作一条斜率为 -1/n 的直线，它与椭圆的另一个交点就代表了第一次碰撞后，两个滑块的速度。

图 1.3　倾斜直线代表两个滑块相撞时动量守恒

第二次碰撞，是小滑块撞墙。其结果很简单，就是小滑块的速度变为反向。如图1.4，过点画一条与横轴平行的直线，这条直线与椭圆的交点就代表了第二次碰撞后两个滑块的速度。

图 1.4　水平直线代表小滑块与墙碰撞

重复上述过程，直到 $V \geqslant v \geqslant 0$ 。此时，两个滑块都向右运动，但小滑块追不上大滑块了，于是不会再发生碰撞。在 v-V 空间中，代表两个滑块最终速度的点一定会位于第一象限中直线 V=v 上方（图中的黄色区域），这个例子中是图1.5中的点。

图 1.5　空间中的整个碰撞过程