2.3 非线性有限元基础与求解方法

切削加工过程是一个高度动态性、非线性的工艺过程。已加工表面质量受到切削用量、刀具几何参数、切屑的流动、工件的温度分布、热流和刀具磨损等因素的综合影响。切削加工过程不能简化为线性问题，应用非线性理论才能得到符合实际的结果。

2.3.1 非线性问题的分类

1.非线性问题分类

非线性问题分类大致可分为以下三类：

（1）几何非线性 几何非线性是由应变和位移之间存在的非线性关系引起的。这里指切削过程中的大位移、大应变问题。

（2）材料非线性 材料非线性是由材料内部变形应力应变的非线性关系引起的，指切削中材料产生的弹塑性变形。

（3）边界非线性 由边界条件和载荷引起。这里的非线性边界条件是指切削中的接触和摩擦问题。

2.非线性有限元基础

（1）大变形有限元方程 单晶硅超精密切削时，材料会遇到大变形、大位移问题。Marc软件提供了两类参考系描述这类几何非线性问题：一类是将参考坐标始终建立在初始未变形构型上的总体Lagrange方法，在Marc中激活LARGE DISP；另一类是以当前变形构型为参考坐标的更新Lagrange方法，在Marc中激活LARGE STRAIN。图2-4可以形象地表示出两种方法的区别。总体Lagrange方法特别适用于非线性弹性问题，因此本书选择更新Lagrange方法。

更新Lagrange方法所有变量以当前t时刻的构型为参考位形，用虚功原理建立时间增量t+Δt，物体平衡条件等效方程为

式中δ_t+Δtε_ij——相应的无穷小应变的变分；

t+Δttσ_ij、^t+ΔtV、^t+ΔtQ——时刻t+Δt位形的应力、体积和外载荷的虚功，其中

式中——当前位移分量的变分；

、——时刻t+Δt同一位形内度量的体积和面积载荷。

方程中的所有变量都是以更新后的位形作为参考，方程（2-1）可以转化为

式（2-3）中和分别是时刻t+Δt位形的应力张量和应变张量，都以t时刻构型的位形为参考，分别称为更新的应力张量和更新的应变张量。它们与和e_rs关系如下：

为建立增量方程，应力增量分解为

应变增量存在的关系如下：

其中

利用以上各式，代入式（2-1）可以推导出更新的拉格朗日方程：

（2）材料弹塑性本构关系 在单晶硅的塑性域超精密切削中把单晶硅材料假设为弹塑性材料模型，开始进行切削时工件材料由弹性状态进入塑性状态，随着切削过程的继续，塑性变形继续进行直至材料断裂。这一过程中塑性应变的数值不仅取决于当前的应力状态，还与塑性变形历史有关，故弹塑性有限元法采用增量法描述材料的这种应力应变的非线性关系。本书采用Von Mises屈服准则、相关正交流动法则推导弹塑性本构关系。

用偏应力张量表示Von Mises屈服准则的屈服函数为

因为J₁为零，忽略J₃对屈服函数的影响。标准的Von Mises屈服准则三维应力空间下可表示为

Von Mises屈服函数可表示为

塑性应变增量的分量与应力增量分量之间的关系表示为

式中——塑性应变增量的分量；

dλ——待定有限量，它的具体数值和材料硬化法则有关；

f——与屈服函数相关的塑性势；

σ_ij——应力张量分量。

采用式（2-6）Von Mises屈服条件，则各向同性硬化后的屈服函数表示为

式中 k——硬化参数；

S_ij——应力偏张量， S_ij=；

σ_s——流动应力；

——等效塑性应变。

为方便有限元计算，应变可以写成弹性应变与塑性应变之和。相应地，应变增量便为弹性应变增量与塑性应变增量之和：

胡克定律仍然适用于弹性应变，故弹性应变增量与应力增量的关系为

式中——弹性应力-应变关系矩阵，其元素由弹性模量、泊松比确定。

由式（2-6）、式（2-8）和式（2-9）可得

将式（2-10）代入式（2-9）得应力增量与应变增量之间的非线性关系方程：

式中=−，为塑性矩阵。

（3）方程组的求解 有限元的求解主要是对刚度矩阵进行求解得到节点位移。在切削过程中这些方程组都是非线性的，求解时要将其线性化。Marc采用的是隐式算法。隐式时间积分为

式中^t[K]=∫_V[B_L]^T[C][B]dv——线性应变增量的刚度矩阵，[B_L]为线性应变-位移的变换矩阵；

[M]=∫_0v[N]^T[N]⁰dv——与时间无关的质量矩阵；

=+——t+Δt时刻作用于节点上的外力矢量；

_和——0时刻每单位面积的表面力和每单位体积的外力矢量；

——t+Δt时刻对应于第（i−1）步迭代的单元应力的等效节点力；

Δ{u}^（i）——第i次迭代中节点位移增量矢量；

t+Δt{u..}^（i）——t+Δt时刻第i次迭代中的节点加速度矢量；

t{u..}——t时刻节点的加速度矢量；

t{R}——t时刻作用于节点上的外力矢量；

t{F}——t时刻单元应力的等效节点力矢量。

每个时间增量步都会有很多个位移增量的迭代循环直至收敛，进入下一个时间增量步。

2.3.2 非线性有限元的求解方法及迭代的收敛判据

1.非线性有限元的求解方法

非线性求解方法就是将非线性问题线性化。对于非线性方程组，MSC.Marc软件提供了牛顿-拉斐逊（Newton-Raphson）迭代方法、修正的Newton-Raphson迭代方法、修正应变方法、直接代入法和弧长法这几种解法。对于超精密切削问题前两种方法比较适合。

（1）Newton-Raphson迭代方法 该方法的矩阵K是曲线在某点的切线的斜率，每次迭代需要根据新的迭代位移更新方程组系数矩阵，并重新分解，计算量非常大，使用时间也较长。但该方法迭代的收敛性较好，适用于切削等高度多重非线性问题，如图2-5所示。

（2）修正的Newton-Raphson迭代方法 为了省去用Newton-Raphson迭代方法求解时每次迭代重新形成和分解刚度矩阵的计算时间，此方法采用只在每个增量步开始时才重新更新系数矩阵并重新分解的方法。但这样每次迭代中不再更新刚度矩阵系数，虽然节省了计算时间，但是导致收敛性差，不利于分析大变形等高度非线性问题。比起Newton-Raphson迭代，修正的Newton-Raphson迭代方法收敛速度较慢，适用于非线性程度较低的问题，如图2-6所示。

通过比较，本书选用的是Newton-Raphson迭代方法。

2.非线性迭代的收敛判据

解的收敛性是指非线性问题进行迭代解法的过程中，其解能否向某一确定场逼近，也就是能否收敛于这个确定场，是一个收敛判据问题，即迭代终止的问题。Marc软件提供的收敛性判据主要有残差检查、位移检查以及应变能检查三类。本书研究的是单晶硅的精密切削，选择的是位移检查判据，当两次迭代位移之差与增量步内实际的位移变化之比小于设定的值时，迭代终止，进入下一个增量步继续迭代。

3.非线性有限元法的基本流程

非线性求解的流程如图2-7所示。