三角函数

如果你没有学过三角函数，或者很久以前学过但现在有些生疏，那么这一节正适合你。

在物理学中，我们经常使用三角函数。因此你需要熟悉三角函数的概念、符号和方法。首先，在物理学中我们通常使用弧度（radian）而不是度（degree）来度量角度。我们定义2π弧度对应360°，或者因此，，即1弧度≈57°（如图1-21所示）。

三角函数依照直角三角形的性质定义。图1-22列举了一个直角三角形以及它的斜边c、底边b和垂边a。垂边对应的角用希腊字母θ表示，底边对应的角用希腊字母ϕ表示。

依据如下所示各种边长比的关系，我们定义正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）：

我们可以绘制函数图象来观察它们的变化（如图1-23至1-25所示）。

我们需要知道三角函数的几个有用的性质。第一个是，我们可以在圆内部画三角形。如图1-26所示，圆心放在笛卡儿坐标系的原点处。

这里，连接圆心和圆周上任意一点的线段构成直角三角形的斜边，圆周上该点的水平和垂直分量分别为底边和垂边。这个点的位置可以由x、y两个坐标分量确定，其中：

x=ccosθ

y=csinθ

这是直角三角形和圆之间非常有用的关系。

假设角θ是另外两个角的和或差，这两个角用希腊字母α和β表示。θ可以用α±β表示。α±β的三角函数可以使用α和β的三角函数表达为：

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α−β）=sinαcosβ−cosαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ−sinαsinβ

cos（α−β）=cosαcosβ+sinαsinβ

最后，一个非常重要的关系是：

（注意这里的符号的含义是：sin2θ=sinθsinθ。）这个公式是“乔装打扮”后的毕达哥拉斯定理(6)。如果令图1-26中的圆的半径等于1，那么a、b边的边长就等于θ的正弦和余弦值，并且直角三角形斜边长度等于1。公式sin2θ+cos2θ=1就是我们熟知的直角三角形三条边之间的关系：a2+b2=c2。