循环和守恒定律

当状态空间被分解为多个循环时，系统会保持在它初始所处的循环中。每个循环有自身的动力学定律，但因为它们描述的是同一个动力学系统，所以它们都是同一个状态空间的组成部分。让我们来看一个具有三个循环的系统，如图1-14所示，状态1和2自成循环，状态3和4共同构成一个循环。

当一个动力学定律将状态空间分解为多个循环时，都会有一个记忆用来储存系统的初始循环位置。这样的记忆被称作守恒定律（conservation law），它告诉我们有些东西一直保持不变。为了使守恒定律数量化，我们给每个循环赋予一个数值，并用Q表示。在图1-15所展示的例子中，三个状态分别赋值Q=+1、Q=−1和Q=0。由于动力学定律不允许系统跳出任何循环，所以无论Q取值多少，它都将保持不变。简单地说就是，Q是守恒的。

在后面的章节中，我们将会讨论连续运动问题，其中时间和状态空间都是连续的。之前我们讨论的简单离散系统都与更加真实的系统有相似之处，不过我们需要几个章节的铺垫来弄清楚它们有着什么样的联系。