1.4 研究目的意义和内容_磁性流体在外磁场下的动力学研究-QQ阅读男生历史网

书名：磁性流体在外磁场下的动力学研究
作者名：张静
本章字数：13072字
更新时间：2021-04-30 20:11:41

1.4 研究目的意义和内容

本书主要研究载有磁性粒子的流体或者磁流体，以后都称作磁流体，和溶液中的磁性颗粒在高梯度磁场（high gradient magnetic field，HGMF）中的流体动力学性质，特别是使用磁流体作为治疗药剂的载体的流体动力学研究。下面主要介绍高梯度磁分离在磁性流体中的应用。

高梯度磁分离技术是20世纪60年代末发展起来的，目前广泛用于矿物加工、钢铁、发电、煤炭、造纸等行业。近20年来，国外高梯度磁过滤技术的研究十分活跃，已用于解决许多环境和工业问题。例如，核反应堆冷却水的过滤，水中磷酸盐的脱除，赤铁矿和铬铁粉末及超细粉末的回收，废水中重金属的脱除等，并从分离强磁性大颗粒发展到去除弱磁性及反磁性低浓度小颗粒，因而该技术引起了国内外科技工作者的普遍注意^［18］。高梯度磁过滤技术（HGMS），即让滤浆流过高梯度磁过滤器，利用高梯度磁场产生的强大的磁场力，脱除滤浆中的固相^［18］。从滤浆中去除磁性固相，如铁、镍、钴等比较简单，使滤浆直接流过高梯度磁过滤器即可实现。而去除非磁性及反磁性固相，如二氧化硅、有机物、藻类、酵母和细菌，则需先投加磁种（高磁化率的颗粒）与待分离颗粒形成顺磁性凝聚物，然后用高梯度磁过滤器脱除，这个过程称为磁种过滤^［19］。目前还出现了排斥式的磁分离模式和旋转永磁体选择性连续分离模型，由于不同磁化率的磁性粒子在磁场的排斥区域受到不同的作用力而具有不同的运动轨迹从而分离开来^［20 ^-22］。根据磁场产生的方式，磁分离器可分为永磁分离器、电磁分离器两类；按液流工作方式，每类又有间歇式和连续式之分。永磁分离器所能达到的磁场强度和梯度一般较低，而且磁场强度不能调变，应用范围受到限制。电磁分离器因为在20世纪60年代末H.H.科尔姆改用纤维状铁磁性不锈钢做基质材料，磁场梯度大大提高，分离能力明显增强而得到普遍重视。70年代以来，磁分离技术的理论研究和应用试验十分活跃，进展较快。在美国、日本等国家用于净化工业废水和电站冷凝循环水的高磁处理装置已正式投产。中国于1978年开始将高磁分离技术纳入水处理研究计划，已在饮用水净化、工业废水处理等试验研究中取得一定成果。高梯度磁分离器由轭铁、电磁线圈和装填不锈钢毛的分离容器组成。通电时，电磁线圈产生电磁场，流过分离器的废水中的颗粒物在磁场中受到磁力的作用，被基质——钢毛捕获。磁力越强，捕获颗粒物的可能性越大。在理论上，颗粒物所受的磁力（F_m）同磁场强度（H）、磁场梯度（dH/dχ）和颗粒物的磁化率（χ）和体积（V）等呈正相关关系，因此，在磁场强度相同的情况下，高梯度磁分离器的分离能力比常规磁分离器要高，梯度越高，分离能力越强。所谓磁场梯度是指单位距离内磁场强度的变化。在一定的磁场强度下，梯度的高低同基质的磁化强度、形状、直径、填装率等有关。纤维状不锈钢毛基质磁化强度高，锐边多，直径小，填装率低（4%～6%），梯度可高达1000Gs/μm，是普通的小铁球、齿板、钢针等基质所不能比拟的。所以，采用钢毛基质的高梯度磁分离器可以分离一般磁分离器不能分离的磁化率低、体积小的弱磁性细颗粒物。

此外，钢毛基质还具有一定的物理和化学稳定性，矫顽力小，捕集点多，过水性能好，是目前公认的最好基质材料。作用在磁场中磁性颗粒物上的力除磁力外，还有与磁力相斥的重力、水流拖力、摩擦力、惯性力和分子间力等。磁力必须大于各斥力之和，否则不能把颗粒物从水中分离出来。处理工艺、水质、分离设备不同，各种斥力的影响也不同。在水处理工艺中，水流拖力影响最大。而在一定水质条件下，水流拖力主要取决于水流速度，流速越大，颗粒物越易漂走。但在高梯度磁分离器中颗粒物受到的水流拖力远比磁力要小，因此颗粒物在比一般沉淀法和过滤法高数十倍乃至上百倍的流速下仍能被有效地分离出来。这是高梯度磁分离的主要优点之一。废水中的铁磁性和顺磁性污染物如铁和锰、钴、镍、铬等金属氧化物可直接被磁分离器分离。如用电磁式高梯度磁分离器能有效地处理含强磁性和顺磁性悬浮物的高炉煤气洗涤废水。在磁场强度和流速分别为0.5T和1.3m/min或1T和3.4m/min的条件下，悬浮固体去除率大于99%。日处理能力57000m³的高磁处理系统，如在磁体内腔直径为3m，工作磁场强度为0.2T，流速为 2.5m/min，进水悬浮物浓度为2000～3000mg/L，过滤时间为10min，冲洗时间为3min等条件下工作，出水悬浮物浓度可降为 5～15mg/L。而弱磁性或反磁性的污染物则必须通过接种磁种，投加混凝剂，使磁种和污染物形成具有磁性的混凝体，才能被基质捕获，得到分离。在进水投加磁种（一般是Fe₃O₄）和混凝剂，废水经混合反应后，按规定流速流经分离器。为延长基质的工作时间，防止堵塞，要进行大颗粒污染物的预分离。基质吸附饱和后消磁反冲洗以气水混合反冲洗效果较好，也可用水或非水冲洗。反冲洗出来的混合物直接回用或经机械、水力或磁性分离，磁种可重复使用，污泥则另行处理。磁种使用多次后，表面结垢，活性降低，应用机械或化学方法再生。磁种作为磁性媒介，磁化强度要高，矫顽力要小；作为混凝颗粒，粒度一般不应大于320目，这对低浊度水的处理是十分重要的。磁种还可以作为混凝时的晶核，缩短反应时间，又可作为某些污染物的吸附表面，促进共沉淀，这在大量使用时必须考虑。混凝效果对高梯度磁分离有重要影响。只有使包括磁种在内的所有污染物凝聚，才能使非磁性污染物如石棉纤维、大多数重金属、放射性物质、油类、病毒、藻类、磷酸盐等得以有效地分离，去除浊度、色度、生化需氧量（BOD）和化学需氧量（COD）等。如用投加磁种和混凝剂的高磁分离技术能有效地处理生活污水、有机废水（如造纸废水、屠宰废水、印染废水）和受污染的河水等。有代表性的去除率为：BOD 60%～90%，COD 80%～90%，细菌99%以上，浊度75%～95%，色度90%以上，磷酸盐85%～97%。

高梯度磁过滤技术的特点是：①处理滤浆速度快，能力大，效率高；②设备简单，操作简便，维修费用低；③易再生，可在高温下（可达370℃）使用；④可减少或不使用化学药品，消除二次污染；⑤适宜处理固相为微米级的低浓度悬浮液，且温度及气候的变化不影响处理效果。高梯度磁过滤器是一内部填充磁过滤介质的金属容器，容器外加一均匀磁场，磁场强度一般为0.1～1.5T。常见的磁过滤介质有纤维状、棒状和球状铁磁性非晶质合金、不锈钢钢毛、海绵状金属（如海绵镍）、磁球等。在外加磁场的作用下，过滤介质周围产生高梯度磁场，形成有效颗粒捕集和聚集区域，如过滤介质之间相互接触，则过滤效果更佳。

在高梯度磁选得到广泛应用的同时，众多学者及研究人员对高梯度磁选理论进行了大量的研究。其理论的发展也向前迈出了可喜的一步，但就其数学模型来说，目前要想用于选矿实践还存在一些问题，需要改进和完善。根据建立数学模型的方法和对过程描述的深度，高梯度磁选数学模型可分为经验模型、理论模型。

1.经验模型

经验模型是建立在大量的实测数据基础之上的，通过回归分析或概率分析等数学方法，得出过程的输入、输出之间的线性或非线性关系。经验模型未涉及高梯度磁选的微观分选过程。Dobby等^［23］建立了高梯度磁选机磁选经验模型。该模型中，磁性物质的回收率由两部分组成，即磁力捕获率和物理夹杂率。Dobby认为物理夹杂率仅取决于颗粒粒度。根据试验数据，采用回归分析法，得出了与颗粒粒度、磁化率、磁场强度、矿浆流速及介质负荷率有关的磁力捕获率的回归方程。

2.理论模型

（1）力平衡模型。1973年，Oberteuffer^［24］以作用在磁性颗粒上的磁力与竞争力的比值作为建立理论模型的基础，建立了力平衡模型：

式中：F_mv为颗粒所受磁力；F_c为作用在颗粒上竞争力合力；F_d为颗粒所受流体动力阻力；F_g为颗粒的净重力（重力减去浮力）。

磁力比R值可作为磁性颗粒捕获几率的量度，磁力比R越大，表明捕获几率较高；反之，捕获半径越小，捕获几率越低。力平衡模型是最早的磁选理论模型，它只考虑了磁分离过程的最终状态，而未涉及分选过程的动力学行为和聚集状态，这对分选过程本质的揭示显然是不够的。

（2）轨迹模型。Watson^［25］基于圆柱形磁化丝介质附近矿粒的动力学行为，推导出了描述颗粒运动的轨迹方程，得出了颗粒捕集的极限轨迹或捕集横截面，并基于此提出了“磁速度”概念，并定义磁速度v_m，轨迹模型最终归结为一无因次数，即磁速度与矿浆流速之比：v_m/v₀，Watson等把该比值作为颗粒捕获的判据。v_m/v₀>1，表明颗粒能被捕获，该比值越大，钢毛介质丝的捕获半径越大，捕获概率越高，反之亦然。轨迹模型给出了捕获模型的概念和有关轨迹计算公式，但就其本身而言，还不能充分解释分选过程的机理，只表明颗粒捕集的界限状态，对颗粒能否牢固附着于介质丝上，并形成大量颗粒的聚集层这样的本质问题并未探讨。

（3）聚集模型。聚集模型研究了颗粒捕集的全过程。这一过程的理论模型首先应归功于Luborsky和Drummond。他们发展了轨迹模型，最先提出了单丝上颗粒的聚集机理，并计算了高梯度磁滤器的性能，包括颗粒在带状介质丝上的多层聚集^［26 ^，27］。后来，这些模型在Cowen^［28 ^，29］和Fried laender^［30］的研究小组的大量研究中得到发展。聚集模型以Nesset和Finch提出的磁性颗粒在钢毛单丝介质逆流侧上聚集的满载荷模型^［31 ^，32］最有代表性。

（4）单丝和多丝模型。开始考虑的是单丝吸附粒子的模型，前人做了大量的工作来研究横流、纵流特别是轴向过滤的单丝捕获理论研究最多，计算了不同半径和角度粒子位置的吸附长度，已扩展到更复杂的多丝模型。Hagashi和Uchiyama^［33］对呈规则排列的铁磁性丝的颗粒轨迹和捕获效率进行了研究。Greiner和Hoffman^［34］发展了多丝有序排列磁滤器的模型，考虑了介质丝的几何形状对捕获效果的影响。Birss等^［35 ^，36］对多根丝轴向磁滤器理论进行了研究，建立了轴向磁滤器颗粒捕集层流模型。这些多丝介质的微观模型都只是大量数学上的推导，还很不完善，因为颗粒聚集的很多因素被忽略了。

（5）磁球模型。近些年对毫米级的铁磁性微球为填料的研究比较多，Teymuraz Abbasov等^［37 ^，38］对前人的工作进行了改进的情况下，综合了各项因素（如流速、粒子半径、流体的雷诺数）对毫米级的铁磁性微球为填料的高梯度磁场分离器的分离效率进行了建模研究，进行堆积并与试验结果进行了对比，他们认为粒子被吸附在铁磁性球体间的缝隙，铁磁性微球缝隙处的流体为薄层流体，以堆积半径为影响因素来确定分离效率，利用在饱和状态下的最外层粒子在流体的拽力重力和磁场力的力矩平衡情况下，确定了最大吸附半径，并且计算了不同因素（如流速、粒子半径、流体的雷诺数）和分离效率的关系曲线。

（6）现象学模型。现象学模型是由Watson、Collan和Akoto等人^［39 ^-41］发展起来的。它比较接近高梯度磁选机的需要，是高梯度磁选数学模型的一种显著改进形式。现象学模型用两个方程来描述颗粒在磁选机中的载荷行为，即在忽略扩散的情况下，根据质量平衡和流体平衡建立的质量平衡方程和颗粒捕集速率方程。Waston采用分析近似法分析了强相互作用极限情况下磁选机排出颗粒浓度与进入颗粒浓度之间的关系，以及弱相互极限情况下捕集颗粒浓度与进入颗粒浓度之间的关系。Akoto预测了高梯度磁选设备的排出浓度特性，并采用近似分析法绘出了排出浓度曲线图。

近些年由于纳米材料的发展，出现了以铁磁矿纳米（微米）级磁球为填料的高梯度磁场分离设备。由于它们相对于不锈钢绒丝具有比较高的饱和磁化强度，并且可以产生高的磁场梯度，制备工艺简单，而不锈钢绒丝需要在其表面沉积分支状的结晶体才能弯曲磁力线，产生高梯度，工艺相对复杂，并且磁球具有大的比表面积小的尺寸，它们比较容易吸附更小的粒子。同时他们对不带磁性的金属离子也具有吸收能力，因此被广泛重视。

A.D.Ebner等人最先用茂金属聚胺-表氯醇（metallocene polyamine-epichlorohydrin，MPE）来固定活性铁磁性微粒^［42］，活性铁磁性微粒可以吸收镉、铅、汞及锕类的金属离子，在无磁场的作用下。作者分别利用不锈钢与MPE组合及不锈钢与PE组合对钚及镅进行过滤，发现后者的吸收能力明显弱于前者，这表明不锈钢对过滤效果的贡献是很小的，主要决定于MPE中的铁磁性微粒很明显，有无外加磁场对过滤效果也是影响很大的，因此可以认为铁磁微粒在磁场下产生了高梯度磁场效应。

A.D.Ebner 等^［43］利用类似茂金属聚胺-表氯醇的模型计算了微米级铁磁性微粒为填料的高梯度分离纳米粒子过程中的单一铁磁粒子和纳米粒子的相互作用力与热运动力的比较，FR_p/KT，一般认为比值绝对值大于10的情况下可以忽略热运动。首先推导了产生高梯度场力的r向和θ向的关系，从而针对距离、角度、磁场强度、粒子半径等因素做了计算，得到了磁力能有效作用在纳米粒子上的一些变量范围，他们在这里忽略了范德华力和静电力及流体的拽力。

A.D.Ebner等^［44］还计算了纳米球体所受的范德华力、流体的拽力、静电力和磁场力在不同粒子间距的分布。

接着上面的工作，Gregory B.Cotton等^［45］又对不同材料的FR_p/KT进行了计算，认为磁性球体和被吸附粒子之间是直接接触的，即距离为零。在这样的情况下，受力曲线随磁性球体的半径变化出现峰值，既可以根据被吸附粒子的尺寸理论上设计磁性球体的尺寸，同时他们又计算了磁场力和流体拽力的比值随不同因素变化的关系曲线，来确定比值大于1的参数范围。

A.D.Ebner等^［46］针对以微米级的铁磁性微球为填料的，高梯度磁场分离器，分离纳米磁性微粒，进行了理论模型的研究。他以5×10×10排列的铁磁性微球为模型，考虑它们在不同方位磁场的作用下产生的磁场的大小和效应，分别以间隔距离、纳米磁性微粒距离、微球表面距离和外加磁场方向为参数，计算在中心4 个小球上方区域内，X，Y，Z 3个方向的受力情况，以FR_p/KT为单位长度，衡量磁力与布朗运动作用力的对比关系。经计算得到，当磁场平行于微粒排列表面时，吸引区域位于区域中央，并且随着微球之间距离的靠近而增强，体现了相邻微球之间的共同作用结果，而当磁场垂直于排列表面的时候，吸引区域出现在微球的正上方，随着间隔距离的增大，吸引力反而增强，上面两种情况被认为是平滑效应（Smoothing effect）。当间距大于两倍的微球直径时，整体效应消失，只考虑一个球对纳米粒子的作用。

目前，HGMS技术更多的应用在生物芯片和微流路流体的控制方面，这样可以使磁性流体、粒子到达人们所预期的区域。一般通过在流路中或者流路外垂直放置导磁的探针，给定与流体平面平行的磁场，让磁性粒子被捕获到探针上，或者让高梯度磁场影响磁性粒子的流路，从而起到分离的效果。不同于以上所述的模型，近些年由于计算机的发展，很多模型的计算采用了有限元素方法和有限差分方法，这样简化了烦琐的推导，可以处理复杂的数学模型，目前轨迹模型还是多数^［47 ^-50］。如A.D.Ebner课题组计算了分叉型的流路分离效率，得到不同磁化率、磁场、流速和粒子半径下的分离效率，还在理论上在不同参数（磁化率、磁场、流速和粒子半径）下并且考虑到流体拽力和磁力平衡的模式下，对横截面为圆柱形的探针的横向流动捕获半径进行了计算，以及管道中放置多根探针的模型等。

Ryszard 计算了上述类似的模型^［51］，他考虑了磁球横截面为椭圆的情况，分析推导了椭圆截面势场情况下磁力分布和流体的流速分布，计算了在两种力作用下的流体流动轨迹，得到捕获半径和流速与磁化率以及长半轴比例之间的关系。

一些研究者还设计了一些高梯度磁分离装置，他们设计不同的磁体取向，以及设计不同类型的管道分布，来达到不同的捕获效果和性能^［52 ^-61］，还有一些研究者专门数值设计研究外加磁体的不同摆放方式，通过优化来得到大而均匀磁场力^［20 ^-22，⁶² ^-64］。

磁性流体在高梯度磁场的作用下还可以作为磁泵和磁阀用于微流路中流体的驱动和开关，是生物芯片领域中的一个新兴的领域，人们可以在磁场作用下移动磁性流体来推动流路中的流体起到泵的作用，在不同的流路中设置适当的磁性流体可以作为阀门，通过开关阀门使流体改变流向，从而起到控制流体的作用^［65 ^，66］。因此相对于上面的一些对单个粒子轨迹的研究工作，磁性流体在外加磁场下的整体行为是值得研究的，包括其内部的传质量过程，浓度变化情况，甚至磁流体和不同性质流体的混合多相流的流体动力学分析都是很有研究价值的。Ranjan Ganguly等^［67］做了在管道中注入磁流体，在外场下运动的数值模拟，确定了流体的型貌和浓度分布，Kevin C.Warnke^［68］也用有限元素法模拟了磁性流体在高梯度磁场下的运动行为。总之，目前这方面的报道还不多，这方面的理论研究还有待深入。

磁性粒子在过滤的过程中，必然会发生碰撞和凝聚，不同形态的凝聚体是在流体中受到的作用力是不同的，因此凝聚行为直接影响了捕获的效率，不同磁化率和粒子半径的粒子在分离过滤过程中的相互作用和凝聚也被做过大量的数值计算的研究^［69］。Satoh A.J等^［70 ^-72］用Monte Carlo方法研究了磁性粒子在均匀磁场下的凝聚，并且提出了Cluster-moving的方法。最近O.Rotariu等^［73］研究了碰撞后无分离的Monte Carlo凝聚过程，并且对粒子凝聚尺寸和取向等因素进行了分析。

目前研究纳米、微米级磁球或探针作为分离载体是近几年研究的热门和前沿方向，近些年对磁球吸附磁性纳米微粒的理论研究还很少也很浅，主要停留在磁球作用力和捕获轨迹上，对于浓度扩散对流模型的计算并不多见，并且对粒子在磁球上面的堆积情况没有进一步的研究，对于磁球吸附粒子的吸附量的计算也未见报道。磁性流体的整体流体动力学的研究还很少，也有待于更深入的发展。

另外磁流体的流体行为在多物理场（温度、固流耦合、声学等）下的研究也逐步的在深入，有希望在多学科领域得到深入的发展。

除了流体的动力学理论计算模型以外，磁场的设计（包括取向、磁源形状等因素）对于粒子的捕获，磁流体的行为等也是有很大的影响的，这方面的工作也有待进一步开展。

磁导向性的药物载体微球（MTCP）可以靶向定位于作用对象，用体外的磁铁来导引体内的MTCP，可以将其固定于患者的预定部位，这样磁性流体和粒子的在HGMF下，管道中的输运特点有待理论工作者去研究。按照上面的数学处理方法，可以总体分为研究单个粒子的轨迹和磁流体整体行为，这样有利于对实际的模型进行指导，并且可以设计和优化最佳的效果。

1.研究内容

当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤。

（1）构造或描述概率过程对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。

（2）实现从已知概率分布抽样构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。也可以用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从（0，1）上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的。也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。

（3）建立各种估计量。一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。数学应用：通常蒙特卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特卡罗积分。

1）用蒙特卡罗方法模拟磁性液体中粒子的凝聚行为，模拟不同粒径磁性粒子在外场下的分布特点，以及单分散和多分散的凝聚特点。

2）探讨HGMF中，管道中不同尺寸形状的磁源对磁性粒子的捕获行为，浓度分布特点，丫形管道中流体特点以及磁场分布设计对捕获行为的影响。

3）探讨HGMF中，管道中磁性流体的整体运动行为，浓度分布特点，管道尺寸影响和壁面粒子吸附影响。

4）磁流体和血液两相流体在HGMF中的流体行为模拟初探。

5）探讨HGMF中，磁性流体受温度场影响的流体特征及热传导对流体特点分析。

2.数值仿真计算方法

（1）在本书第2章将采用蒙特卡罗方法模拟磁性液体中粒子的凝聚行为，具体方法第2章介绍。

（2）后面各部分采用有限元建模数值来模拟磁性流体的流体动力学行为：对于模型边界条件复杂、几何形状不规则、变物性的模型、精确求解是不可能的，近似解或者不能被采用，或者不能达到预期的准确程度，针对这种情形，可以采用各种数值求解方法，目前主要有有限差分法和有限元素法。有限差分法用给定点上的有限差分去近似代替偏倒数，这样把求解偏微分方程的问题转为求解有关区域内选定节点变量的大型联立代数方程组，而近些年来，有限元素法在处理各类单场和多场问题时得到了更广泛的应用，在处理不规则边界或者是边界条件特殊的问题时，有限元素法比有限差分法更为优越。因此，我们用此方法来处理磁流体的流体动力学问题以及和温度、磁场等多场耦合的问题。

有限元求解问题的基本步骤为：第一步，问题及求解域定义，根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。第二步，求解域离散化，将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域。单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确。第三步，确定状态变量及控制方法，一个物理问题可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式来表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。第四步，单元推导，对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵。第五步，总装求解，将单元总装形成离散域的总矩阵方程。第六步，联立方程组求解和结果解释，联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。

流体力学有限元格式：本文中的物理过程均考虑为不可压缩黏性流体，将黏性考虑在内的流体运动方程则是法国C.L.M.H.纳维于1821年和英国G.G.斯托克斯于1845年分别建立的，后得名为纳维-斯托克斯方程，它是流体动力学的理论基础。由于纳维-斯托克斯方程是一组非线性的偏微分方程，用分析方法来研究流体运动遇到很大困难。为了简化方程，学者们采取了流体为不可压缩和无黏性的假设，却得到违背事实的达朗伯佯谬——物体在流体中运动时的阻力等于零。因此，到19世纪末，虽然用分析法的流体动力学取得很大进展，但不易起到促进生产的作用。与流体动力学平行发展的是水力学（见液体动力学）。这是为了满足生产和工程上的需要，从大量实验中总结出一些经验公式来表达流动参量之间关系的经验科学，使上述两种途径得到统一的是边界层理论，它是由德国L.普朗特在1904年创立的。普朗特学派从1904年到1921年逐步将N-S方程做了简化，从推理、数学论证和实验测量等各个角度，建立了边界层理论，能实际计算简单情形下，边界层内流动状态和流体同固体间的黏性力。同时普朗特又提出了许多新概念，并广泛地应用到飞机和汽轮机的设计中去。这一理论既明确了理想流体的适用范围，又能计算物体运动时遇到的摩擦阻力，使上述两种情况得到了统一。飞机的出现极大地促进了空气动力学的发展。航空事业的发展，期望能够揭示飞行器周围的压力分布、飞行器的受力状况和阻力等问题，这就促进了流体力学在实验和理论分析方面的发展。20世纪初，以茹科夫斯基、恰普雷金、普朗特等为代表的科学家，开创了以无黏不可压缩流体位势流理论为基础的机翼理论，阐明了机翼怎样会受到举力，从而空气能把很重的飞机托上天空。机翼理论的正确性，使人们重新认识无黏流体的理论，肯定了它指导工程设计的重大意义。机翼理论和边界层理论的建立和发展是流体力学的一次重大进展，它使无黏流体理论同黏性流体的边界层理论很好地结合起来。随着汽轮机的完善和飞机飞行速度提高到50m/s以上，又迅速扩展了从19世纪就开始的对空气密度变化效应的实验和理论研究，为高速飞行提供了理论指导。20世纪40年代以后，由于喷气推进和火箭技术的应用，飞行器速度超过声速，进而实现了航天飞行，使气体高速流动的研究进展迅速，形成了气体动力学、物理-化学流体动力学等分支学科。从20世纪60年代起，流体力学开始了流体力学和其他学科的互相交叉渗透，形成新的交叉学科或边缘学科，如物理-化学流体动力学、磁流体力学等；原来基本上只是定性描述的问题，逐步得到定量的研究，生物流变学就是一个例子。以这些理论为基础，20世纪40年代，关于炸药或天然气等介质中发生的爆轰波又形成了新的理论，为研究原子弹、炸药等起爆后，激波在空气或水中的传播，发展了爆炸波理论。此后，流体力学又发展了许多分支，如高超声速空气动力学、超音速空气动力学、稀薄空气动力学、电磁流体力学、计算流体力学、两相（气液或气固）流等等。这些巨大进展是和采用各种数学分析方法和建立大型、精密的实验设备和仪器等研究手段分不开的。从20世纪50年代起，电子计算机不断完善，使原来用分析方法难以进行研究的课题，可以用数值计算方法来进行，出现了计算流体力学这一新的分支学科。与此同时，由于民用和军用生产的需要，液体动力学等学科也有很大进展。20世纪60年代，根据结构力学和固体力学的需要，出现了计算弹性力学问题的有限元法。经过十多年的发展，有限元分析这项新的计算方法又开始在流体力学中应用，尤其是在低速流和流体边界形状甚为复杂问题中，优越性更加显著。21世纪以来又开始了用有限元方法研究高速流的问题，也出现了有限元方法和差分方法的互相渗透和融合。在实验室内，流动现象可以在短得多的时间内和小得多的空间中多次重复出现，可以对多种参量进行隔离并系统地改变实验参量。在实验室内，人们也可以造成自然界很少遇到的特殊情况（如高温、高压），可以使原来无法看到的现象显示出来。现场观测常常是对已有事物、已有工程的观测，而实验室模拟却可以对还没有出现的事物、没有发生的现象（如待设计的工程、机械等）进行观察，使之得到改进。因此，实验室模拟是研究流体力学的重要方法。但是，要使实验数据与现场观测结果相符，必须使流动相似条件（见相似律）完全得到满足。不过对缩尺模型来说，某些相似准数，如雷诺数和弗劳德数不易同时满足，某些工程问题的大雷诺数也难以达到。所以在实验室中，通常是针对具体问题，尽量满足某些主要相似条件和参数，然后通过现场观测验证或校正实验结果。根据流体运动的普遍规律，如质量守恒、动量守恒、能量守恒等，利用数学分析的手段，研究流体的运动，解释已知的现象，预测可能发生的结果。理论分析的步骤大致如下：

（1）建立“力学模型”。一般做法是：针对实际流体的力学问题，分析其中的各种矛盾并抓住主要方面，对问题进行简化而建立反映问题本质的“力学模型”。流体力学中最常用的基本模型有：连续介质（见连续介质假设）、牛顿流体、不可压缩流体、理想流体（见黏性流体）、平面流动等。

（2）建立控制方程。针对流体运动的特点，用数学语言将质量守恒、动量守恒、能量守恒等定律表达出来，从而得到连续性方程、动量方程和能量方程。此外，还要加上某些联系流动参量的关系式（例如状态方程）或者其他方程。这些方程合在一起称为流体力学基本方程组。流体运动在空间和时间上常有一定的限制，因此，应给出边界条件和初始条件。整个流动问题的数学模式就是建立起封闭的、流动参量必须满足的方程组，并给出恰当的边界条件和初始条件。

（3）求解方程组。在给定的边界条件和初始条件下，利用数学方法，求方程组的解。由于这方程组是非线性的偏微分方程组，难以求得解析解，因此必须加以简化，这就是前面所说的建立力学模型的原因之一。力学家经过多年努力，创造出许多数学方法或技巧来解这些方程组（主要是简化了的方程组），得到一些解析解。

（4）对解进行分析解释。求出方程组的解后，结合具体流动，解释这些解的物理含义和流动机理。通常还要将这些理论结果同实验结果进行比较，以确定所得解的准确程度和力学模型的适用范围。用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元做分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。有限单元法最早可追溯到20世纪40年代。Courant第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。现代有限单元法的第一个成功的尝试是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”，使人们认识到它的功效。20世纪50年代末60年代初，中国的计算数学刚起步不久，在对外隔绝的情况下，冯康带领一个小组的科技人员走出了从实践到理论，再从理论到实践的发展中国计算数学的成功之路。当时的研究解决了大量的有关工程设计应力分析的大型椭圆方程计算问题，积累了丰富而有效的经验。冯康对此加以总结提高，做出了系统的理论结果。1965年冯康在《应用数学与计算数学》上发表的论文《基于变分原理的差分格式》，是中国独立于西方系统后创立了有限元法的标志。有限元法常应用于流体力学、电磁力学、结构力学计算，使用有限元软件ANSYS、COMSOL等进行有限元模拟，在研究设计阶段代替实验测试，节省成本。

前面提到的采用简化模型后的方程组或封闭的流体力学基本方程组用数值方法求解。电子计算机的出现和发展，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性。数值方法可以部分或完全代替某些实验，节省实验费用。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。解决流体力学问题时，现场观测、实验室模拟、理论分析和数值计算几方面是相辅相成的。实验需要理论指导，才能从分散的、表面上无联系的现象和实验数据中得出规律性的结论。反之，理论分析和数值计算也要依靠现场观测和实验室模拟给出物理图案或数据以建立流动的力学模型和数学模式；最后，还须依靠实验来检验这些模型和模式的完善程度。此外，实际流动往往异常复杂（例如湍流），理论分析和数值计算会遇到巨大的数学和计算方面的困难，得不到具体结果，只能通过现场观测和实验室模拟进行研究。

连续方程：