2.1 纳米磁性粒子的研究方法

在20世纪40年代第二次世界大战期间，蒙特卡罗方法由美国研制原子弹的 “曼哈顿计划”的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城——摩纳哥的Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国数学家布丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。除了物理方法，另外可以用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从（0，1）上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。

一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。通常蒙特卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特卡罗积分。

蒙特卡罗方法是一种用随机过程来描述粒子运动的一种方法，对分析粒子在磁场下凝聚特点是很有帮助的，Satoh A^［70］首先用团簇运动蒙特卡罗方法研究了磁性流体和胶体分散体系的凝聚行为，同时他们对二维以及三维的铁磁性粒子团聚形成大量链状团聚行为进行了研究^{［71，72］}，他在普通蒙特卡罗方法的基础上让粒子产生团簇运动，认为凝聚的粒子可以一起运动，得到了好的收敛性。Rotariu等人^［73］最近用普通蒙特卡罗方法研究了超顺磁携带粒子（SCP）的凝聚行为，在模拟过程中认为粒子一旦碰撞到一起就不再分离，也不再运动。在本文的模拟过程中，我们采用了Cluster-moving蒙特卡罗方法模拟在二维情况下超顺磁携带粒子在均匀磁场下的凝聚行为，认为粒子一旦碰撞到一起就不再分离，并且一起运动。