2.2　摩擦接触问题的描述

2.2.1　控制方程

考虑如图2.1（a）所示的含有裂纹的岩体区域Ω，岩体域的边界Γ由应力边界Γt、位移边界ΓD和裂纹边界Γc组成，即Γ=Γt∪ΓD∪Γc。为边界Γu上施加的已知位移，为在边界Γt上施加的已知力。闭合裂纹面的受力情况如图2.1（b）所示，图中的p、t分别为裂纹边界Γc上的法向和切向接触力。为了表述方便，今后不再区分法向和切向接触力，统一用表示。

岩体区域内满足以下平衡方程和边界条件：

式中：σ为柯西应力张量；b为体力；n为Γt和上的单位外法线矢量；和分别为边界ΓD、Γt上的已知的位移和面力；为裂纹面的接触力。

考虑岩体满足小位移和小变形条件，则应变和位移满足的几何方程为

考虑岩体为线弹性材料，应力应变满足胡克定律：

式中：C为弹性矩阵。

2.2.2　小变形下的接触问题

裂纹体受压时，裂纹面由于压力的作用可能会引起裂纹的闭合，在闭合裂纹面上则需引入裂纹面的接触条件，避免裂纹面发生相互嵌入。考虑二维问题，可能发生接触的两个裂纹面记为和，裂纹面间存在的接触力如图2.1（b）所示。为了系统地分析裂纹面接触条件的施加方法，在裂纹面上建立局部坐标系（见图2.2）。假设为小变形，设上、下裂纹面上接触点对的接触应力表示为pn和pτ；接触点对的位移为和。

裂纹面上接触点对的法向和切向相对位移可以表示为

对于弹性接触问题，裂纹面的接触力和相对位移之间的关系要满足接触不嵌入条件，则满足Coulomb定律的接触力和裂纹面相对位移的关系可以用下列等式和不等表示如下[127，128]：

式中：f为裂纹面间摩擦系数；un≥0表示接触面不发生相互嵌入；pn≤0表示发生接触时裂纹面间的应力为压应力；pn=0时，裂纹面沿法向发生分离；=0时，裂纹面沿切向发生接触滑移；＜0时，裂纹面无滑动，处于黏结状态。

接触问题可描述为求区域内位移场，使得系统的势能达到最小。Lagrange乘子法是求解接触约束最小化问题的主要方法之一，通过引入Lagrange乘子将接触问题转化为无约束问题求解。接触状态有三种：张开、黏结、滑移。法向Lagrange乘子场λn表示当接触发生时迫使un等于零（裂纹面接触不嵌入）的压力，切向Lagrange乘子场λτ表示在黏结区迫使满足黏结条件的切向力。当裂纹面发生摩擦接触时，接触面分为黏结区和滑移区。在滑移区，接触应力满足Coulomb摩擦定律。

应用Lagrange乘子法在裂纹面添加摩擦接触条件时可以导出三个方程：

（1）第一个方程是内外力的虚功必须等于零，即

（2）第二个方程是接触不嵌入条件，即

（3）第三个方程是黏结条件，即

在式（2.13）和式（2.14）中，接触压力必须是压应力，即λn≤0。

2.2.3　增广型Lagrange乘子法求解接触问题

接触力的虚功方程和约束方程依赖于Lagrange乘子（λn、λτ）插值场，为了构造Lagrange乘子的插值场，本章采用线段-线段（砂浆法）的方法处理裂纹段，如图2.3所示，以裂纹和单元边界交点、裂尖点、裂纹交叉点和裂纹拐点为结点划分裂纹段单元，图中△为裂纹和单元边界交点，●为裂尖点，■为裂纹拐点，○为裂纹交叉点。根据裂纹与单元边界交点、裂尖点、裂纹拐点和裂纹交叉点处值构造Lagrange乘子场的插值。在含裂尖点的裂纹段，假设Lagrange乘子相同，即产生均匀的接触力。不含裂尖的裂纹段，Lagrange乘子呈线性变化，则Lagrange乘子场的插值可表示为：

式中：M1（ζ）=，M2（ζ）=，ζ为裂纹面上的局部坐标。

考虑插值得到的Lagrange乘子，式（2.12）的虚功方程用矩阵形式可表示为

式中：K和F为整体的劲度矩阵和荷载列阵；u为结点位移；λn和λτ为法向和切向Lagrange乘子列阵。

约束方程式（2.13）和式（2.14）用矩阵形式可表示为：

由式（2.17）和式（2.18）中的积分方程可得到Cn和Cτ。

根据虚功方程和约束方程的矩阵形式，假设裂纹面满足黏结接触条件，则系统的控制方程为：

式（2.19）的最后一行对应于黏结接触条件。对于满足滑移条件的点，式（2.19）的最后一行用下式代替

由控制方程式（2.19）可以看出，引入了Lagrange乘子以后，不仅增加了系统的求解规模，而且在控制矩阵中出现了零主元，增加了方程的求解难度。为此，Simo[129]借鉴罚函数法和Lagrange乘子法的优点，提出了求解摩擦接触问题的增广型Lagrange乘子法（在Lagrange乘子场中增加罚函数项），采用增量迭代法求解，Lagrange乘子的存在也避免了罚函数法罚因子过大而引起方程的病态。增广型Lagrange乘子的表达形式为：

式中：和为法向和切向增广型的Lagrange乘子；En和Eτ为法向和切向罚因子，罚因子应选取稍大些值，以反应裂纹面间的接触，但过大的罚因子会造成劲度矩阵的病态，罚因子过小时又无法表示裂纹面间的接触不嵌入，通常选为材料弹性模量的102～105倍之间。

摩擦接触是高度非线性的，需要迭代求解。在上述增广型Lagrange乘子法中，通过反复的非线性迭代，直至迭代收敛，收敛时增广型Lagrange乘子的控制方程的解逼近于真实的接触约束力。

假设结构产生一个虚位移v，其虚功方程可以表示为

式中：u为满足位移边界条件的真实位移场函数，u和结构的虚位移v满足：

裂纹面的相对位移为uc=v+-v-，式（2.23）可以改写为

把增广型Lagrange乘子场代入式（2.26），可得