3.1 地震反应谱概念与计算

3.1.1 地震反应谱概念

地震反应谱理论基于将一个理想化的单质点、单自由度弹性体系的地震反应来代表结构的地震反应这一简化思想，并同时体现地震动及结构自身动力特性的影响。从概念上来讲，地震反应谱是指单自由度弹性体系最大地震反应与体系自振周期T之间的关系曲线，根据体系地震反应内容的不同，又可分为位移反应谱、速度反应谱及加速度反应谱等三种形式。在结构抗震设计中，通常采用绝对加速度反应谱，简称地震反应谱S_a（T）。T=2π/ω，为体系的自振周期。由单质点系统动力方程式（2 5）的Duhamel（杜哈姆）积分得到地震加速度反应谱的表达

S_a（T）=δ（t）+δ（t）_max=ω∫t0δ（τ）e^{-ξω（t-τ）}sinω（t-τ）dτ max

=2Tπ∫t0δ（τ）e^{-ξω（t-τ）}sin2Tπ（t-τ）dτ max

（3 1）

3.1.2 地震反应谱计算

反应谱是指单质点系对于实际地面运动的最大反应（可用加速度、速度或位移来表示）与体系自振周期之间的函数关系。

由第2章可知，对一给定的实际地面地震动时程曲线δ（t）和体系的自振频率ω（或自振周期T=2π/ω）及阻尼比ξ，通过杜哈姆积分，可以求得体系各反应量的时程（time history）曲线。图3 1上示有承受同一地面运动的三种不同单质点系的位移反应的计算结果。从图可以看出，这三种结构具有相同阻尼比（ξ=0.02），而具有不同自振周期T，它们在同样的地面加速度时程δ（t）作用下，表现出完全不同的地震反应，可以发现它们的峰值和频率特性都不相同。从这些时程曲线的外形来看，当体系自振周期T较长时，反应中长周期的分量较大；当自振周期较短时，反应中短周期的分量较大。用同样的方法可以求得速度δ（t）和加速度δ（t）的这类时程曲线组。

图31 位移反应谱计算（ElCentro地震，1940518）

在工程设计中，人们最关心的是结构的最大反应（最大位移、最大速度和最大绝对加速度，均指绝对值），例如，最大位移为

s_d=|δ（t）|_max=1ω|∫t0δ（τ）e^{-ξω（t-τ）}sinω（t-τ）dτ|_max

（3 2）

式中 s_d———相对位移反应谱。

图3 1上的三条位移反应时程曲线上都可找到各自最大（绝对值）位移反应s_d。对某一范围T值重复进行这种计算（保持ξ不变），就可得到一系列最大位移反应量，将其作为体系自振周期T的函数作图，就得到了相对位移反应谱，如图3 1最下面方框中的曲线所示。按以上方法对速度和加速度做类似的计算，即可得到相对速度反应谱s_v和绝对加速度反应谱s_a。

为了计算和应用的方便，通常将式（33）所示的速度反应谱s_v变换为式（34）所示的伪速度反应谱s_vp：

t

s_v=|∫

δ（τ）e^{-ξω（t-τ）}cosω（t-τ）dτ|_max

（3 3）

0

t

s_vp=|∫

δ（τ）e^{-ξω（t-τ）}sinω（t-τ）dτ|_max

（3 4）

0

则相对位移反应谱s_d，伪相对速度反应谱s_vp，绝对加速度反应谱s_a三者之间具有如下关系

s_a=ωs_vp=ω²s_d

（3 5）

应当指出，伪速度反应谱s_vp与速度反应谱s_v的差别一般是不大的。

上述反应谱还习惯上用反应谱值与地震动的最大值之比来表示，形成无量纲的反应谱，这类反应谱常称为标准反应谱。如将绝对加速度反应谱用s_a与地震动最大加速度|δ（t）|_max的比值来表示，即β=|δ（ta）|max=|δ（t|δ）+（tδ）|_g（mtax）|max

（3 6）

式中 β———结构对地面加速度的放大倍数，称为绝对加速度反应谱系数，也叫动力放大

系数。

图3 2为加速度反应谱（β谱）的一个实例。若结构自振周期T=0，也就是完全刚性的物体，那它必定随着地面一起振动，其与地面的相对加速度等于零，而绝对加速度就等于地震动的最大加速度，因而放大系数β=1；反之，若结构的自振周期T=∞，也就是无限柔性的物体，则其与地面的相对加速度就等于地震动的最大加速度，而绝对加速度反应则等于零，故放大系数β=0。因而，对于β谱而言，所有加速度反应谱的起点均与纵轴相交于1处，超过一定周期值以后，谱值都较小，且逐渐趋于零。

图321975年2月15日辽宁海城地震曲线

反应谱对抗震设计很有用处，它不仅可直接计算单自由度体系的地震最大反应，而且通过振型叠加法可计算多自由度弹性体系的地震最大反应。