第四章 四维的世界

1.时间是第四维度

四维的概念总是笼罩着诡秘和猜疑。我们这些只有长、高和宽的生命怎敢谈论四维空间呢？集结我们三维人的全部智力去设想更高的第四维度，现实吗？

一个四维的正方体或球体是什么样的呢？当我们说“想象”一头鼻子喷火、长着长长的尾巴、满身鳞片的巨龙，或一架带有游泳池、机翼上建着一对网球场的超级客机时，你会自然地在脑海中描绘出这些东西的样子。而你绘出的这些图片的背景，仍是我们熟悉的，所有物体，包括我们自身都处在其中的三维空间。如果这就是“想象”一词的含义，那么在三维空间的背景下想象四维空间，这件事自然是不可能的，就好像我们也不可能将一个三维物体压到平面上一样。

且慢，从某种意义上来说，我们其实可以通过把它们画下来的方式，将三维物体“挤”到平面上。不过，不论是用何种方式，我们都不会通过水压机这样的物理方法来实现，而是通过几何“投射”，或者说，“造影”的形式来完成。

如图24，你就能立刻明白这两种将物体（以马为例）挤压到平面上的方式的区别。

错误的和正确的将三维物体“挤压”到二维平面的方法。

用类比的方法我们可以说，我们虽然不能将四维物体完全“压进”三维空间里，但我们能将四维物体“投影”到我们只有三维的空间里。不过有一点你需要明白，如同三维物体的平面投影是二维的一样，四维的超物体投影到我们的正常空间后也应该是由立体形状来表示的。

为了更好地理解这个问题，我们先来设想一下居住在平面上的二维生命是如何看待三维立方体的——既然身为更高级的三维生命体，我们应该能够轻易地想到这一点。我们可以从第三个方向（相对于二维平面而言）居高临下地观察这些二维的世界。

将立方体“压进”平面的唯一途径是用图25所示的方法——将其“投影”到平面上。旋转立方体，观测它不同形式的投影，如此我们的二维朋友们就能够多多少少得到一些“三维立方体”这种神秘的物体的性质。他们无法“跳出”他们所在的平面以我们的方式来看待这个立方体，只能观测它的投影，例如，他们可能会说，这个立方体有八个顶点和十二条边。请看图26，你会发现，你与正在检视立方体在平面上的投影的可怜的二维生命，处在完全相同的境地。事实上，图片里这个正被一家人惊诧地研究着的古怪的复杂结构，正是四维超立方体在我们普通的三维空间中的投影。[1]

二维生命正诧异于一个三维立方体在他们所处的表面上投下的影子。

一位来自四维的访客！这是一个四维超立方体的直接投影。

仔细检查这个物体，你会很快发现，它和困扰着图25中的阴影生物的物体有着一样的性质：普通的立方体在平面上的投影呈现出两个正方形，其中一个正方形位于另一个的内部，它们顶点与顶点相连；而超立方体在普通空间中的投影也是由两个立方体构成的，同样是一个在另一个的内部，同样是顶点与顶点相连，这两种情况是类似的。数一数，你会很容易发现，超立方体总共有16个顶点、32条边和24个面。好一个正方体，不是吗？[2]

现在我们来看看四维球体长什么样。为了搞明白这个，我们不得不把目光转到一个更熟悉的例子上，也就是普通的球体在平面上的投影。

例如，设想一个透明的地球仪，表面绘有大洲和海洋，将其投射到一面白墙上（图27）。

地球仪的平面投影。

在投影中，两个半球显然会重叠在一起，并且从投影的角度看，你会认为纽约（美国）到北京（中国）的距离很短，但这只是假象而已。事实上，投影上的每个点都表示实际在球面上两个相对的点。一架从纽约飞往北京的航班，如果是在投影的球面上移动，那么它就要先到达平面投影的边缘，再以相同的路径返回。尽管两条航线在投影图像上是重叠的，但其实它们位于地球仪上相对的两面，所以即使相遇也不会发生碰撞。

这就是普通的球体在平面上投影的一些性质。

再发挥一下想象力，你就能够想出四维超球体投影到三维空间中的样子了。

普通球体在平面上的投影是两个重叠放置的扁平的圆盘（点对点），它们的外沿相连，由此可以联想出，超球体的空间投影也一定是两个球体互相贯穿，并且外表面相连。但我们已经在前一章讨论过这种特别的结构了，当时是作为与封闭球面类似的封闭三维空间的例子而提出的。因而我们在这里要补充的是，四维球体的三维投影只不过是我们讨论过的，两个外表皮完全长在一起了的连体双胞胎苹果而已。

以此类推，用类比的方法我们就可以找出四维物体的许多其他性质，尽管我们无论如何都不可能在我们的物理空间中“想象出”四个独立的方向。

但如果你再多思考一下你会明白，根本没必要把第四个方向看得太过神秘。事实上，用一个我们每天都要用到的词就可以表示，并且也确实就是物理世界的第四个独立方向。没错，就是我们所说的“时间”。它和空间一起，经常被我们用来描述周围发生的事件。当我们谈论宇宙中发生的任何事情，无论是与朋友在街上的邂逅，还是遥远恒星的爆炸，我们都不会只说它在何地发生，还会加上它在何时发生。也就是说，我们在三个表示空间位置的方向要素的基础上，还加上了“时间”这一事实。

如果你进一步思考，你会轻易地发现，每个物理实体都有四个维度——三个维度属于空间，另一个维度是时间。所以你居住的屋子就是从长度、宽度、高度和时间上伸展的，时间的伸展自其建成之日起，至烧毁之日终。当然也可能是被某个拆迁公司拆毁，或因年久失修而坍塌。

不过，时间方向与空间的三维方向不尽相同。时间间隔由钟表测量，滴答声表示秒，叮咚声表示小时，而空间间隔是用尺子测量的。你可以用同一把尺子测量长度、宽度和高度，却不能把尺子变成钟表来测量时间的流逝。同样地，当你在空间中前进、右转或者向上时，你还可以返回原处，但你无法返回到某个时间点，你只能是被它强行地从过去带向未来。不过即使存在着上述区别，我们仍可以将时间看作描述物理世界事件的第四个维度，只是要注意，它和其他三个维度是有区别的。

当选择时间作为第四维度的时候，我们会发现，将本章开头提到的四维物件具象化就更容易了。还记得吗？那个由四维立方体投影而成的，有16个顶点、32条边和24个面的奇怪图形。也难怪图26里的人们会诧异地盯着这个几何怪物了！

然而，从我们全新的视角来看，一个四维立方体其实就是在一段时间内存在的普通的立方体（图28）。

假设你在5月1日用12根铁丝创造了一个立方体，一个月后拆掉它，那么现在，它的每一个顶点都可以被视为一条在时间方向上伸展了一个月的线。你可以在每个顶点上放一本日历，每天翻一页，以显示时间的推进。

现在再去数四维形体的边的数量就容易多了。此时，你有12条在一开始就存在的空间棱，还有8条由8个顶点在时间上延伸而成的“时间棱”，以及在它被拆掉之时存在的12条空间棱[3]，总共32条边。以此类推，我们还可以数出总共有16个顶点——5月1日有8个空间顶点，6月1日也有8个。用同样的方法也可以数出面的个数，这一点就留给我们的读者作为练习了。不过要记住，其中一些面是立方体原本就有的面，而另一些是随着原立方体的棱在5月1日到6月1日的时间里伸展出来的“半空间半时间”的面。

这里所说的有关四维立方体的内容自然也可以应用在别的几何体上，或者任何有生命的、没有生命的物体上。

甚至，你可以把自己想象成一个四维形体，一根从出生那一刻开始在时间上延展，直到自然生命终结之时才停止的橡胶棒。可惜的是我们不能在纸上绘出四维物体的样貌，所以在图29中，我们尝试着用二维的阴影人来解释这一观点——取与他所居住的二维平面相垂直的空间方向作为时间方向，这样一来，图片展示的就是阴影人整个生命周期中的一小段。

如果是整个生命周期的话，用来表示的橡胶棒应当长得多。这根橡胶棒在婴儿时期很细，随着年岁的增长而不断变化，最终在死亡之时固定不变（因为死人不会动呀），随后开始分解。

更准确地说，这个四维的棒是由大量独立的纤维聚集而成的，每一束都包含独立的原子。在整个生命周期中，大多数纤维都聚拢在一起，只有少数会脱落，如剪掉的头发和指甲。由于原子是坚不可摧的，因此人体死后的分解过程应该视为是独立的纤维丝在各个方向上逐渐游离的过程（构成骨骼的纤维除外）。

在四维时空的几何学语言中，表示每个单独物质微粒的历史的线，被称为“世界线”[4]。同样，组成某个物体的一系列世界线可以被称为“世界束”。

图30表示的是太阳、地球和一颗彗星的世界线的天文学实例。[5]如前面的例子所表述的，我们将时间轴垂直于二维空间的平面（地球轨道的平面）。太阳的世界线表示为与时间轴平行的直线，因为我们将太阳视为静止的。[6]以接近正圆的轨道运转的地球的世界线螺旋环绕在太阳的世界线周围，彗星的世界线也是如此，只不过它时而靠近太阳，时而远离。

从几何学的视角看待四维空间，我们可以看到，宇宙的拓扑学图景和历史都融入了一幅协调的图画当中，当我们思考每个原子、动物和星星的运动时，我们只需研究一团纠缠的世界线就可以了。