命题XXXV 定理XI

对同样的假设,我说图形DES的面积,它由不定的半径SD画出,等于一个面积,它能由一个物体围绕中心S,在半径等于图形DES的通径之半的轨道上均匀地运行,在相同的时间画出。

因为设想一个物体C在下落中在极短的时间段画出短线Cc,且在此期间另一个物体K围绕中心S运行,在圆OKk上均匀地画出弧Kk。竖立垂线CD,cd交图形DES于D,d。连结SD,Sd,SK,Sk,并引Dd交轴AS于T,又向它[Dd]落下垂线SY。

情形1 现在如果图形DES为圆或直角双曲线,它的横截直径(23)(transversa diameter)AS被平分于O,则SO为通径之半,又因为TC比TD如同Cc比Dd,且TD比TS如同CD比SY,由错比,TC比TS如同CD×Cc比SY×Dd。但是(由命题XXXIII系理1)TC比TS如同AC比AO,如果依点D,d会合时线段所取的最终比计算。所以AC比AO或者SK如同CD×Cc比SY×Dd。再者,下落物体在C的速度比物体以间隔SC围绕中心S画出一个圆的速度,按照AC比AO或者SK的二分之一次比(由命题XXXIII)。且这个速度比物体画出圆OKk的速度按照SK比SC的二分之一次比(由命题IV系理6),再由错比,第一个速度比最后一个速度,这就是,短线Cs比弧Kk,按照AC比SC的二分之一次比,亦即按照AC比CD之比。所以CD×Cc等于AC×Kk,且因此AC比SK如同AC×Kk比SY×Dd,由是SK×Kk等于SY×Dd,则 SK×Kk等于 SY×Dd,亦即,面积KSk等于面积SDd。所以在生成两小块面积的小部分KSk和SDd的每一时间的小部分,如果它们的大小减小且数目增加以至无穷,得到等量之比,且所以(由引理IV系理)同时生成的总面积总相等。此即所证

情形2 但是,如果图形DES为抛物线,如同上面发现CD×Cc比SY×Dd如同TC比TS,这就是,如同2比1,且因此 CD×Cc等于 SY×Dd。但下落物体在C的速度等于一个速度,(由命题XXXIV)以它[物体]能均匀地画出间隔为 SC的一个圆。且这个速度比一个速度,以它[物体]能画出半径为SK的一个圆,这就是,线段Cc比弧Kk(由命题IV系理6)按照SK比 SC的,亦即,按照SK比 CD的二分之一次比。所以 Sk×Kk等于 CD×Cc,且因此等于 SY×Dd,这就是,面积KSk等于面积SDd,如同上面。此即所证