命题XXXI 问题XXIII

一个物体在一条给定的椭圆轨道上运动，对指定的时间求位置。

设椭圆APB的主顶点为A，焦点为S，且O为中心，又设P为要发现的物体的位置。延长OA至G，使得OG比OA如同OA比OS。竖立垂线GH，且以中心O和间隔OG画一圆GEF，它在作为底的尺子GH上方，轮子GEF围绕自身的轴滚动前进，且在此期间它的点A画出次摆线ALI。既成之后，取GK，按照它比轮子的周长GEFG，如同一段时间，在此期间自A前进的物体画出弧AP，比物体在椭圆上运行一周的时间之比。竖立垂线KL交次摆线于L，又引LP平行于KG交椭圆于需求的物体的位置P。

因为以中心O，间隔OA画半圆AQB，且弧AQ交LP，如果需要则延长之，于Q，又连结SQ，OQ。设OQ交弧EFG于F，且向同一条OQ上落下垂线SR。面积APS如同面积AQS，亦即，如同扇形OQA和三角形OQS之间的差，或者如同矩形 OQ×AQ和 OQ×SR之间的差，这就是，由于 OQ被给定，如同弧AQ和直线SR之间的差，且因此（由于给定的比SR比弧AQ的正弦，OS比OA，OA比OG，AQ比GF是相同的，且由分比，AQ－SR比GF－弧AQ的正弦［亦是相同的］）如同弧GF和弧AQ的正弦之间的差GK。此即所证。

但是，由于这一曲线难于画出，应用逼近的方法求解较好。一方面发现某个角B，它比57.29573度的一个角，此角对着等于半径的一条弧，如同焦点之间的距离SH比椭圆的直径AB；另一方面亦发现某一长度L，它比半径按照同一个比的反比。一旦这些被发现，问题可由如下的分析解决。由任意的作图，或者由甚至是猜测，得知物体的位置P，它非常靠近物体的真实位置p。然后，向椭圆的轴上落下纵标线PR，由椭圆的直径的比，外接的圆AQB的纵标线RQ被给定，它是以AO为半径的角AOQ的正弦，并截椭圆于P。由质朴的数值计算近似地发现那个角就足够了。与时间成比例的角亦被知道，亦即，它比四个直角，如同一段时间，在此期间物体画出弧Ap，比物体在椭圆上运行一周的时间。设那个角为N。既取一个角D，它比角B如同角AOQ的正弦比半径；又取一个角E，它比角N－AOQ+D如同长度L比同一长度L减小角AOQ的余弦，当那个角小于直角时；但当它大于直角时，增加那个角的余弦。其次取一个角F，它比角B，如同角AOQ+E的正弦比半径，又取一角G比角N－AOQ－E+F如同长度L比同一长度减小角AOQ+E的余弦，当那个角小于直角时；但当它大于直角时，增加那个角的余弦。再次取一个角H比角B，如同角AOQ+E+G的正弦比半径；又取角I比角N－AOQ－E－G+H，如同长度L比同一长度减小角AOQ+E+G的余弦，当那个角小于直角时；但当它大于直角时，加上那个角的余弦。且如此进行以至无穷。最终取角AOq等于角AOQ+E+G+I+…。再由它的余弦Or和纵标线pr，它比其正弦qr如同椭圆的短轴比长轴，得到物体的修正过的位置p。如果角N－AOQ+D为负的，在各处的E的“+”号必须变为“－”，且“－”号变为“+”。当角N－AOQ－E+F，和N－AOQ－E－G+H得出为负时，角G和I的符号应作同样的理解。但无穷级数AOQ+E+G+I+…收敛得如此迅速，以致很少需要进行到超过第二项E。且计算基于这一定理：面积APS如同弧AQ和自焦点S点到半径OQ上落下的垂线之间的差。

且由没有什么不同的计算，双曲线的问题被解决。设它的中心为O，顶点为A，焦点为S且渐近线为OK。设被割下的面积的量已知，它与时间成比例。设它为A，且猜测直线SP的位置，它割下的面积APS接近真实的面积。连结OP，且自A和P向渐近线［OK］引AI，PK平行于另一条渐近线，且由对数表，面积AIKP被给定，它等于面积OPA，从三角形OPS中减去它，剩下割下的面积APS。应割下的面积A和割下的面积APS的差的二倍2APS－2A或者2A－2APS除以直线SN，它自焦点S垂直于切线TP，得到弦PQ的长度。在A和P之间内接那条弦PQ，如果割下的面积APS大于应割下的面积A，否则朝向点P的相反方向：点Q为物体的更精确的位置。又由持续的重复计算，愈来愈精确的位置被发现。

且由这些计算，我们得到此问题的一个一般的分析解法。但是如下的特别的计算更适合天文学的目的。设AO，OB，OD为椭圆的半轴，且L为其通径，又D为短半轴OD和通径之半 L之间的差；寻找一个角Y，其正弦比半径如同那个差D和轴的半和AO+QD之下的矩形比长轴AB的正方形，又寻找一个角Z，其正弦比半径如同焦点间的距离SH和那个差D之下的矩形的二倍比半长轴AO的正方形的三倍。一旦这些角被发现；物体的位置也由此被确定。取一个角T与时间成比例，在那段时间弧BP被画出，或者等于（正如它被称为）平均的运动；和一个角V，平均运动的第一差，比一个角Y，第一最大差，如同二倍角T的正弦比半径；又一个角X，第二差，比一个角Z，第二最大差，如同角T的正弦的立方比半径的立方。如果角T小于一个直角，取角BHP，它等于平均的运动，等于角T，V，X的和T+X+V；如果角T大于一个直角小于两个直角，取角BHP等于角T，V，X的差T+X－V；且如果HP交椭圆于P，作SP割下与时间近似地成比例的面积。这一实践似乎足够便捷，因为对非常小的角V和X，按照秒，如果令人满意的话，求到两，三个数字就足够了。这一实践对于行星的理论看起来也足够精确。因为甚至在火星自己的轨道上，它的最大的中心差是十度，误差很少超过一秒。但当等于平均运动的角BHP发现之后，真实运动的角BSP和距离SP易于由习知的方法求得。

到目前为止论及在曲线上物体的运动。但是，会发生运动的物体在直线上下降或者上升，且现在我转而阐明属于此类的运动。

第VII部分 论物体的直线上升和下降

命题XXXII 问题XXIV

假设向心力与位置离中心的距离的平方成反比，确定空间，它由直线下落的一个物体在给定的时间画出。

情形1 如果物体不竖直下落，此物体（由命题XIII系理1）画出其焦点与力的中心重合的圆锥截线。设那条圆锥截线为ARPB，其焦点为S。首先，如果图形为一个椭圆；在它的长轴AB上画半圆ADB，又直线DPC经过下落物体垂直于轴；再作DS，PS，面积ASD与面积ASP成比例，且因此亦与时间成比例。保持轴AB持续减小椭圆的宽度，则面积ASD总保持与时间成比例。那个宽度被减小以至无穷：现在轨道APB与轴AB，且焦点S与轴的端点B重合，物体在直线AC上下落，面积ABD变得与时间成比例。且因此空间AC被给定，物体由位置A竖直下落，在给定的时间画出这一空间，只要面积ABD取得与时间成比例，且由点D往直线AB上落下垂线DC。此即所求。

情形2 如果那个图形RPB为双曲线，对同样的主直径AB画直角双曲线^（22）（hyperbola rectangula）BED；且因为面积CSP，CBfP，SPfB比面积CSD，CBED，SDEB，一个对一个，按照高度CP，CD的给定的比；又面积SPfB与时间成比例，在此期间物体P的运动经过弧PfB；面积SDEB亦与同样的时间成比例。减小双曲线RPB的通径以至无穷并保持横截径，则弧PB与直线CB，且焦点S与顶点B，以及直线SD与直线BD重合。因此，面积BDEB与时间成比例，在此期间物体C竖直下落画出直线CB。此即所求。

情形3 由类似的论证，如果图形RPB为一条抛物线，且由同样的主顶点B画出另一条抛物线BED，它在前一抛物线，即物体P在其周线上运动的抛物线的通径减小并缩为零，曲线变为直线CB期间，总它保持给定；抛物弓形BDEB与时间成比例，在此期间那个物体P或者C落向中心S或者B。此即所求。