引理 XXVIII

不存在卵形，它的被任意直线割下的面积能一般地由项数和维数（dimensio）有限的方程加以确定^（21）。

设在卵形内任意给定一点，围绕此作为极的点一条直线以均匀的运动持续旋转，且在此期间，在那条直线上一个动点离开极，它总以一个速度前进，速度如同那条直线在卵形内 ［的长度］的平方。那个点的这一运动画出旋转数无穷的螺线。现在，如果卵形由那条直线割下的部分能由有限方程找到，由同样的方程点到极的距离亦被找到，距离与这个面积成比例，且因此螺线的所有点能由有限方程找到：所以任意位置给定的直线与螺线的交点亦能由有限方程找到。但任一无穷延长的直线截螺线于数目无穷的点，且方程，由它两［曲］线的某个相交部分被发现，其同样数目的所有根显示了所有的相交部分，因此升至与交点一样多的维数。因为两个圆相互截于两点，除非用一个二维的方程不能找到一个交点，通过它另一相交部分亦被找到。因为两个圆锥截线可能有四个相交部分，一般地不可能找不到其中一个相交部分，除非通过四维的一个方程，由它所有的相交部分一起被找到。因为如果那些相交部分分别地被找到，因为所有的定律和条件是相同的，计算在每一种情形是相同的，且所以结论总是相同的，因此它必须同时包括且无差别地显示所有的相交部分。由是圆锥截线和三次曲线的相交部分，它可能有六个相交部分，由一个六维方程同时得出，且两条三次曲线的相交部分，它能可有九个相交部分，由一个九维方程同时得出。如果这不必然发生，则我们可以把所有的立体问题约化为平面问题，以及高于立体的问题约化为立体问题。但这里我所说的曲线是在次数上是不可约的。因为，如果方程，由它曲线被定义，能约化成一个较低的次数，则曲线不是单一的，而是由两条，或者更多条曲线的复合，它的相交部分能由不同的计算分别找到。按照同样的方式，直线与圆锥截线的两个相交部分总由一个二维的方程得出，直线与此不可约的三次曲线的三个相交部分由一个三维的方程得出，直线与不可约的四次曲线的四个相交部分由一个四维的方程得出，且如此以至无穷。所以直线和螺线有无数相交部分，由于这条曲线是单纯的且不能约化为多条曲线，这要求方程的维的数目和根的数目无穷，由它所有的交点能同时被显示。因为它们所有的定律和计算是相同的。因为如果自极向那条交线落下一条垂线，且那条垂线与交线同时围绕极旋转，螺线的相交部分相互变换，第一个或者最近的交点，经过一周旋转后成为第二个，经过两周旋转后成为第三个，且如此下去；在此期间方程没有被变化，但那些量的大小的变化除外，由它们交线的位置被确定。所以，由于那些量在每一次旋转后返回到它们的初始的大小，方程返回到初始的形式，且因此一个且同一个方程显示所有的相交部分，且所以它有数目无穷的根，且由方程它们能都被显示。所以，一般地，直线和螺线的相交部分不能通过有限的方程求出，且因此不存在卵形，它被任意的直线割下的面积一般地能由这样的方程显示。

由同样的论证，如果极和点的间隔，螺旋线由点画出，被取作与割下的卵形的周线成比例，能证明周线的长度一般地不能通过一个有限的方程显示。但这里所论及的卵形不是被延伸至无穷的共轭图形相切的图形。

系理

因此，椭圆的面积，它由从焦点向运动的物体所引的半径画出，不能由所给定的时间通过有限的方程得出；且因此，也不能由画出几何上有理的曲线确定。我所说的几何上有理的曲线是所有这样的曲线，它们的所有点由长度的方程定义，亦即，能通过复杂的长度之比确定；且其余的曲线（如螺线，割圆曲线，次摆线）我称之为几何上无理的。由于长度如同或者不如同整数之比（按照《几何原本》的第十卷）是算术上有理的或者无理的。所以我通过一条几何上无理的曲线割下与时间成比例的椭圆的面积如下。