命题XXIX 问题XXI

画出种类给定的一条轨道，它被四条位置给定的直线所截的部分的顺序、种类和比例给定。

设要画的一条轨道，它与曲线FGHI相似，且它的部分与那条曲线的部分FG，GH，HI相似并成比例，位于位置给定的直线AB和AD，AD和BD，BD和CE之间，第一部分位于第一组直线之间，第二部分位于第二组之间，第三部分位于第三组之间。作直线FG，GH，HI，FI，画出（由引理XXVII）不规则四形fghi，它与不规则四边形FGHI相似，且它的角f，g，h，i与那些位置给定的直线AB，AD，BD，CE接触，每个角按所说的顺序。然后围绕这个不规则四边形画出与曲线FGHI相似的轨道。

这个问题亦可如下作出。连结FG，GH，HI，FI，延长GF至V，并连结FH，IG，且使角FGH，VFH等于角CAK，DAL。AK，AL与直线BD交于K和L，由此引KM，LN，由其中的KM作角AKM等于角GHI，且它比AK如同HI比GH；又由LN作角ALN等于角FHI，且它比AL如同HI比FH。向直线AD，AK，AL的那些方向引AK，KM，AL，LN，使字母CAKMC，ALKA，DALND与字母FGHIF转回的顺序相同；再作MN交直线CE于i。使角iEP等于角IGF，又设PE比Ei如同 FG比GI；再经P引PQf，它与直线ADE所含的角PQE等于角FIG，又交直线AB于f，再连结fi。在直线CE，PE的那些方向引PE和PQ，使字母PeiP和PEQP与字母FGHIF有相同的环形顺序，且如果在直线fi上以相同的字母顺序作与不规则四边形FGHI相似的不规则四边形fghi，又外接轨道的种类给定，问题得解。

论求轨道到此为止。尚余下确定在已找到的轨道上物体的运动。

第VI部分 论在给定的轨道上求运动

命题XXX 问题XXII

一个物体在一条给定的抛物线轨道上运动，在指定的时间求位置。

系理1 因此GH比AS，如同时间，在此期间物体画出弧AP，比一段时间，在此期间物体画出顶点A和在轴上由焦点S竖立的垂线之间的弧。

系理2 且如果圆ASP持续通过运动的物体P，点H的速度比物体在顶点A所具有的速度如同3比8；且因此直线GH比一条直线，物体以它在顶点A的速度由自己从A到P的运动时间能画出它，也按照同样的比。

系理3 因此，反过来，能求时间，在此期间物体画出任意指定的弧AP。连结AP，并在它的中点竖立一条垂线，交直线GH于H。