命题XXIII 问题XV

画出一条轨道，它经过四个给定的点，并与一条位置给定的直线相切。

情形1 设切线HB，切点B，且其他三点C，D，P被给定。连结BC，并引PS平行于直线BH，以及PQ平行于直线BC，补足平行四边形BSPQ。作BD截SP于T，且CD截PQ于R。此后，引任意的tr平行于TR，从PQ，PS上所截下的Pr，Pt分别与PR，PT成比例；再作Cr，Bt交于d，（由引理XX）它总落在要画的轨道上。

既围绕极B转动大小给定的角CBH，又围绕极C转动任意向两方延伸的半径DC。标记点M，N，在那里角的股BC截那条半径，当它的另一股与同一半径交于点P和D时。然后作无穷直线MN，设那条半径CP或者CD与角的股BC的总交在这条直线上，且［角的］另一股BH与半径的交点画出所要的轨道。

因为如果在前一问题的作法中，点A靠近点B，直线CA与CB将重合，且线AB在最终位置成为切线BH；因此在那里的作法变得与这里描述的相同。所以股BH与半径的交点画出经过点C，D，P，且与直线BH在B相切的一条圆锥截线。此即所作。

情形2 设给定的四个点B，C，D，P位于切线HI之外。两两连结给定的点，直线BD，CP交于G，且交切线于H和I。切线在A被截，使得HA比IA，如同CG和GP之间的比例中顶与BH和HD之间的比例中项之下的矩形比DG和GB之间的比例中顶与PI和IC之间的比例中项之下的矩形；则A为切点。因为，如果平行于直线PI的HX截轨道于任意点X和Y：则（由《圆锥截线》）点A所在的位置，使得HA_quad.比AI_quad.按照来自矩形XHY比矩形BHD之比，或者矩形CGP比矩形DGB之比，和来自矩形BHD比矩形PIC之比的复合比。但是在找到切点A之后，轨道按照第一种情形被画出。此即所作。

然而点A可能既取在点H和I之间，又取在它们之外；［在这种情况］照样画出两道轨道。