引理 XX

如果任意的平行四边形ASPQ的两个对角A和P与任意的圆锥截线在点A和P接触；并且那些角中的一个的无限延伸的边AQ，AS与同一圆锥截线在B和C相交；再由交点B和C向圆锥截线上任意的第五个点D引两条直线BD，CD，它们与平行四边形的无限延伸的边PS，PQ交于T和R：边被截下的部分PR与PT彼此之比总按照给定的比。且反之，如果那些截下的部分彼此之比按照给定的比，点D接触过四点A，B，C，D的圆锥截线。

情形1 连结BP，CP并由点D引两直线DG，DE，它们中的前者DG平行于AB且交PB，PQ，CA于H，I，G；另外一条直线DE平行于AC且交PC，PS，AB于F，K，E：则（由引理XVII）矩形DE×DF比矩形DG×DH按照给定的比。但是PQ比DE（或者IQ）如同PB比HB，且由此如同PT比DH；并由更比，PQ比PT如同DE比DH。又PR比DF如同RC比DC，且因此如同（IG或者）PS比DG，再由更比，PR比PS如同DF比DG；由比的结合，矩形PQ×PR比矩形PS×PT如同矩形DE×DF比矩形DG×DH，因此按照给定的比。但是PQ和PS被给定，所以PR比PT之比被给定。此即所证。

情形2 但是，如果PR和PT彼此之比被假定为按照给定的比，由类似的理由回推，得到矩形DE×DF比矩形DG×DH按照给定的比，且因此点D（由引理XVIII）位于经过点A，B，C，P的圆锥截线上。此即所证。

系理1 因此，如果引BC截PQ于r，且在PT上，按照Pt比Pr之比与PT比PR所具有的比相同，取Pt：则Bt是圆锥截线在点B的切线。因为当点D与点B会合时，使得弦BD消失，BT成为切线；且CD和BT与CB和Bt重合。

系理2 且反之亦然，如果Bt为切线，且BD，CD相遇于圆锥截线上任意的点D；PR比PT如同Pr比Pt。反之，如果PR比PT如同Pr比Pt：BD，CD相遇于圆锥截线上的某点D。

系理3 一条圆锥截线不能与另一条圆锥截线在多于四个点相截。因为，如果这是可能的，两条圆锥截线通过五点A，B，C，P，O；直线BD截它们于D和d，且PQ截直线Cd于q。所以PR比PT如同Pq比PT；因此PR和Pq彼此相等，这与假设相悖。