命题XXI 问题XIII

对于给定的一个焦点画一条轨道，它通过给定的点并与位置给定的直线相切。

设焦点S，点P和切线TR被给定，需求另一焦点H。往切线上落下垂线ST，并延长它至Y，使得TY等于ST，则YH等于主轴。连结SP，HP，且SP是HP和主轴之间的差。按照这种方式，如果给定更多的切线TR，或更多的点P，总能找到由所说的点Y或P到焦点所引的同样数目的线YH或PH，它们或者等于轴，或者它们以给定的长度SP不同于轴；于是它们或者相等，或者有给定的差，且由此，由上面的引理，另外一个焦点H被给定。同时拥有了两个焦点和轴的长度（它或者为YH，或者，如果轨道为椭圆，为PH+SP；若不然，轨道为双曲线，为PH－SP）也就有了轨道。此即所求。

当轨道为双曲线时，在这个轨道的名下我没有包括相对的双曲线［分支］。因为物体在自己的持续运动时不可能迁移到相对的双曲线［分支］上。

在给定三个点的情形可如此便捷地求解。设B，C，D为给定的点。连结BC，CD，并延长至E，F，使得EB比EC如同SB比SC，且FC比FD如同SC比SD。在画出的EF及其延长上落下成直角的直线SG，BH，又在无限延长的GS上取GA比AS和Ga比aS如同HB比BS；则A为轨道的顶点，且Aa为其主轴：轨道，依照GA大于、等于、或者小于AS，而为椭圆，抛物线或者双曲线；点a在第一种情形与点A落在线GF的同一侧；在第二种情形它远离以至无穷；在第三种情形它落在线GF的另一侧。因为如果向GF上落下垂线CI，DK；则IC比HB如同EC比EB，这就是，如同SC比SB；又由更比，IC比SC如同HB比SB或者如同GA比SA。且由类似的论证可证KD比SD是按照相同的比。所以点B，C，D在关于焦点S如此画出的圆锥截线上，使得由焦点S到截线上每个点所引的直线比由相同的点落到直线GF上的垂线按照那个给定的比。

最杰出的几何学家拉伊尔，在他的《圆锥截线》卷VIII，命题XXV中给出此问题的解法，方法上与此没有大的差异。

第V部分 论当焦点未被给定时求轨道

引理 XVII

如果由给定的圆锥截线上的任意点P，以给定的角向内接于那条圆锥截线的任意不规则四边形ABCD的无限延长的四边AB，CD，AC和DB引相同数目的直线PQ，PR，PS和PT，一条直线对一边：则向两对边所引［的直线］的矩形PQ×PR，比向另两对边所引［的直线］的矩形PS×PT按照给定的比。

情形1 首先我们假设向对边所引的线与其余边中的某一边平行，设为PQ和PR平行于边AC，且PS和PT平行于边AB。再设上面对边中的两边，设为AC和BD，彼此平行。则直线，它平分那些平行的边，是圆锥截线的一条直径，它也平分RQ。设O为一点，在此处RQ被平分，PO是属于那条直径的纵标线。延长PO至K，使得OK等于PO，则OK是属于那条直径异侧的纵标线。由于点A，B，P和K在圆锥截线上，且PK以给定的角截AB，所以（由阿波罗尼奥斯的《圆锥截线》卷III，命题17，19，21和23）矩形PQK比AQB按照给定的比。但QK和PR相等，由于相等的线OK，OP以及OQ，OR的差相等，由此矩形PQK和PQ×PR也相等；所以矩形PQ×PR比矩形AQB，这就是比矩形PS×PT按照给定的比。此即所证。

情形2 现在我们假设不规则四边形的对边AC和BD不平行。作Bd平行于AC，既交直线ST于t，又交圆锥截线于d。连结Cd截PQ于r，并作DM平行于PQ，截Cd于M且截AB于N。现在，由于三角形BTt，DBN相似，Bt或者PQ比Tt如同DN比NB。这样Rr比AQ或者PS如同DM比AN。所以，前项乘以前项且后项乘以后项，矩形PQ乘以Rr比矩形PS乘以Tt，如同矩形NDM比矩形ANB，且（由情形1）如同矩形PQ乘以Pr比矩形PS乘以Pt，又由分比，如同矩形PQ×PR比矩形PS×PT。此即所证。

情形3 最后我们假设四条直线PQ，PR，PS，PT不与边AC，AB平行，而对它们有任意的倾角。代替它们，引Pq，Pr平行于AC；且Ps，Pt平行于AB；因为三角形PQq，PRr，PSs，PTt的角给定，PQ比Pq，PR比Pr，PS比Ps，和PT比Pt为给定的比；因此复合比PQ×PR比Pq×Pr，PS×PT比Ps×Pt ［为给定的比］。但是，由前面的证明，Pq×Pr比Ps×Pt为给定的比；所以比PQ×PR比PS×PT ［为给定的比］。此即所证。