引理 XVI

从三个给定的点向第四个未被给定的点引三条斜直线，它们的差或者被给定或者为零。

情形1 令那些给定的点为A，B，C，且第四点为Z，它是应当求的；因为直线AZ，BZ的差给定，点Z位于一双曲线上，其焦点为A和B，且其主轴是那个给定的差。设那个轴为MN。取PM比MA如同MN比AB，并竖立PR垂直于AB，又落下ZR垂直于PR；由这条双曲线的性质，ZR比AZ如同MN比AB。由类似的讨论，点Z位于另一双曲线上，其焦点为A，C，且其主轴为AZ和CZ之间的差，可以引QS，它自身与AC垂直，如果由这条双曲线上的任意点Z往QS上落下成直角的线ZS，这一垂线ZS比AZ如同AZ和CZ之间的差比AC。所以ZR和ZS比AZ的比被给定，并且由此ZR和ZS的相互之比被给定；且因此，如果直线RP，SQ交于T，再引TZ和TA，则图形TRZS的种类被给定，又直线TZ的位置被给定，点Z位于其上某处。直线TA，以及角ATZ亦被给定；又因为AZ和TZ比ZS的比被给定，它们的相互之比亦被给定；因此三角形ATZ被给定，它的一个顶点是点Z。此即所求。

情形2 如果三条线中的两条，设为AZ和BZ，是相等的，因此引直线TZ，使得它平分直线AB；此后如上寻求三角形ATZ。此即所求。

情形3 如果所有三条线相等，点Z位于过点A，B，C的圆的中心。此即所求。

这个引理中的问题亦在由维埃特编订的阿波罗尼奥斯的书《论切触》中被解决。