引理 VII

在同样的假设下，我说弧、弦和切线彼此的最终比是等量之比。

因为当点B靠近点A时，总认为AB和AD延长到在远处的点b和d，引bd平行于截段BD。又，弧Acb总相似于弧ACB。当点A，B重合时，由上一引理，角dAb消失；且因此有限的直线Ab，Ad和居于它们中间的弧Acb重合，所以相等。因此总与［Ab，Ad和Acb］成比例的直线AB，AD，和居于它们中间的弧ACB消失，且它们最终具有等量之比。此即所证。

系理1 因此，如果通过B引平行于切线的［直线］BF与过A的任意直线交于F，这个BF与消失的弧ACB的最终比为等量之比，因为如果补足平行四边形AFBD，BF比AD总是等量之比。

系理2 如果通过B和A引另外的直线BE，BD，AF和AG与切线AD及其平行线BF相截，则所有线段AD，AE，BF和BG以及弦AB与弧AB彼此的最终比为等量之比。

系理3 因此，这些线段在任何关于最终比的论证中可以相互替换。