1.3 LS-DYNA软件中常用状态方程介绍

状态方程是表征流体内压力、密度、温度等热力学参量的关系式，主要用来描述气体和液体的热力学性质。固体介质在强冲击作用下内部应力超过材料屈服强度数倍或几个数量级时，固体会呈现出流体弹塑性特性，即介质既具有固体的弹塑性，又具有流体的可压缩性和流动性，为了能描述介质的这种特性，可将应力分解为控制体积变形的流体静压和控制塑性变形的应力偏量，即：

σ_ij=-pδ_ij+s_ij

式中，σ_ij为应力张量，s_ij为应力偏量，s_ij由材料的本构模型计算，而p=-σ_ii/3，为流体静压，由状态方程计算。

迄今为止还没有一种状态方程能满意地应用于所有工程分析，因此不断有新的状态方程被提出。LS-DYNA有16种状态方程，如*EOS_LINEAR_POLYNOMIAL、*EOS_GRUNEISEN、*EOS_MURNAGHAN、*EOS_IGNITION_AND_GROWTH_OF_REACTION_IN_HE、*EOS_JWL、*EOS_IDEAL_GAS、*EOS_TABULATED等，此外，用户还可以自定义状态方程。

1.3.1 ＊EOS_IDEAL_GAS

*EOS_IDEAL_GAS理想气体状态方程是最简单的状态方程之一，其压力定义为：

P=ρ(C_p-C_v)T

C_p=C_p0+C_LT+C_QT²

C_v=C_v0+C_LT+C_QT²

式中，C_p和C_v分别为比定压热容和比定容热容。

理想气体状态方程非常适用于低密度气体，特别是压力很低、温度较高的情况。当Z=Pv/RT严重偏离1时，就偏离理想气体状态，理想气体状态方程也就不再适用。

1.3.2 ＊EOS_LINEAR_POLYNOMIAL

*EOS_LINEAR_POLYNOMIAL线性多项式状态方程，介质中的压力为：

P=C₀+C₁u+C₂u²+C₃u³+(C₄+C₅u+C₆u²)E

式中，E为单位体积内能，u为相对体积，C₀、C₁、C₂、C₃、C₄、C₅、C₆为常数，C₀用于定义初始压力，C₁是体积黏性，材料密度变化不大时C₁=ρC²，u=ρ/ρ₀-1。

线性多项式状态方程可用于模拟理想气体，此时：

对于单原子理想气体，仅有平移能，比热容比γ=5/3是理论上限。对于双原子理想气体，有平移能和旋转能，γ=1.4。分子越复杂，有越多的能量存储为振动能和旋转能。

标准状况下不同气体的比热容比见表1-5。

1.3.3 ＊EOS_GRUNEISEN

LS-DYNA中的*EOS_GRUNEISEN状态方程定义压缩状态下材料的压力为：

定义材料膨胀时的压力为：

P=ρ₀C²u+(γ₀+au ) E

式中，C为u_s-u_p曲线的截距（声速）；S₁、S₂、S₃为u_s-u_p曲线斜率的系数；γ₀为GRUNEISEN系数；a为对γ₀的一阶体积修正；u=ρ/ρ₀-1。

其中的参数C、S₁、S₂、S₃可以通过材料冲击波速度D与质点速度μ_p的关系曲线（D-μ_p曲线）得到。大量实验表明，大多数金属材料，冲击波速度D-μ_p关系可描述为直线关系D=C+S₁μ_p，即S₂、S₃等于零。通过不同速度飞片的高速碰撞实验，得到材料的D-μ_p数据集合，拟合可得材料的冲击特性参数C和S₁。

1.3.4 ＊EOS_JWL

JWL状态方程通常用来描述炸药爆炸产物压力：

式中，P是爆轰产物的压力；E为单位体积内能；V为相对体积；A、B、R₁、R₂、ω为常数，其值通常通过炸药圆筒实验确定。其中，方程式右端第一项在高压段起主要作用，第二项在中压段起主要作用，第三项代表低压段，如图1-5所示。

在LS-DYNA和AUTODYN软件中，标准JWL状态方程还可以添加能量释放扩展选项，在用户定义的时间间隔内释放额外的能量。温压炸药就具有这种后燃烧特性，爆炸后金属添加物（如铝粉）与大气中的氧气接触燃烧，产生比传统高能炸药更高的爆炸能量。

1.3.5 ＊EOS_IGNITION_AND_GROWTH_OF_REACTION_IN_HE

该模型为Lee-Tarver点火增长模型，未反应炸药中的压力用下面的公式表示：

爆炸产物中的压力用下面的公式表示：

以上两式中，P_e、P_p是压力，V_e、V_P和T_e、T_p是相对体积和温度，r₂为负值表示未反应炸药可以承受拉力。假定压力平衡：P_e=P_p，温度平衡：T_e=T_p，未反应炸药和爆炸产物的体积可加：V=(1-F)V_e+V_p。

反应速率方程为：

式中，F为炸药反应度，t为时间，freq、grow1、grow2、ccrit、frer、eetal、es1、ar1、em、es2、ar2和en为常数。其中ccrit是临界压缩度，用来界定点火界限。压缩度小于ccrit时炸药不点火，不发生爆轰。或者说，当冲击波足够强使炸药达到一定压缩度时才能点火，从而为炸药起爆规定了一个必要条件。大多数条件下，快反应项压力指数em=1，点火和快反应项的燃耗阶数frer=es1=2/3，表示向内的球形颗粒燃烧。参数freq和eetal控制了点火热点的数量，点火项是冲击强度和压力持续时间的函数。grow1和ar1控制了热点早期的反应生长，grow2和en确定了高压下的反应速率。对于ZND结构假设的爆轰波，公式的第一项代表部分炸药在冲击压缩下被点火；第二项代表炸药中的高能炸药成分RDX快速反应产生CO₂、H₂O和N₂等气体产物；第三项代表在主要反应后相对缓慢的扩散控制反应，对于含铝炸药它代表铝粉与爆炸产物间的氧化反应。此种反应率方程计算过程中，需设定反应度F的几个极值F_mxig、F_mxGr和F_mnGr，以便使三项中的每一项在合适的F值时开始截断：当F＞F_mxig时，点火项取为零；当F＞F_mxGr时，快反应项取为零；当F＜F_mnGr时，慢反应（燃烧项）取为零。