第一章 数学运算

第一节 解题方法

数学运算部分不是单纯地考查特定数据的加、减、乘、除运算能力，而是通过题目中的数字或文字表述，将某些逻辑关系隐藏其中，来考查大家“理解和把握事物间量化关系的能力”。考生需要剔除掉题目中的冗余信息，侧重分析题目的骨架和关键节点，并利用一些基本的数学知识（如数字特性、几何特性等）和一些常用的方法（如赋值法、方程法等），构建出一个或多个等量关系，然后结合选项得出正确结果。

接下来我们就看一下怎么在题目中挖掘出隐藏的量化关系，进而利用常用的方法列出等式，从而得出正确答案。

例1（2020江苏B）梳理甲、乙两个案件的资料，张警官单独完成，分别需要2小时、8小时；王警官单独完成需要1小时、6小时。若两人合作完成，需要的时间至少是（　）。

A．3小时

B．4小时

C．5小时

D．6小时

解析 标记量化关系。“至少”。

本题考查工程问题。设甲案件的总量为2，乙案件的总量为24，则张警官的效率分别是1、3；王警官的效率分别是2、4，相对效率之比分别为1∶3和1∶2，可知张警官更擅长梳理乙案件的资料。让张警官去梳理乙案件，王警官梳理甲案件需要1小时，此时乙案件还剩24-3=21的工作量，两人合作需要21÷（3+4）=3（小时）。一共需要1+3=4（小时）。因此，选择B选项。

例2（2019江苏A）某工程队承担一项工程，由于天气原因，工期将延后10天。为了按期完工，需增加施工人员。若增加4人，工期会延后4天；若增加10人，工期将提前2天。假设每人工作效率相同，为确保按期完工，则工程队最少应增加的施工人员数是（　）。

A．6

B．7

C．8

D．9

解析 标记量化关系。“延后”“增加”“提前”“相同”“最少”。

本题考查工程问题，用方程法解题。赋值每人的效率为1，设原来有x人，则效率为x，用y天能完成，那么正常工期为（y-10）天。可列方程组：xy①=（x+4）×（y-6）②=（x+10）×（y-12）③，联立①和②可得xy=xy+4 y-6 x-24→2 y-3 x=12④；联立①和③可得xy=xy+10 y-12x-120→5y-6x=60⑤，联立④和⑤, ⑤-2×④得y=36，代入y=36可得x=20，那么正常工期36-10=26（天），工程总量为20×36=720，要想按工期完成，至少需要=27+（人），即至少需要28人，那么至少应增加28-20=8（人）。因此，选择C选项。

例3（2019江苏B）警校某班学生分两个小组在甲、乙两地间进行野外负重拉练。已知去程两个小组的速度分别是5千米/小时、4千米/小时，返程两个小组的速度都下降了20%。若两个小组的出发时间相差54分钟，但同时返回到出发点，则甲、乙两地间的距离是（　）。

A．20千米

B．16千米

C．12千米

D．8千米

解析 标记量化关系。“下降”“相差”“同时”。

本题考查行程问题，属于基本行程类，用方程法解题。设两地的距离为S千米，则由题意有，解得S=8。因此，选择D选项。

例4（2017国家）某抗洪指挥部的所有人员中，有的人在前线指挥抢险。由于汛情紧急，又增派6人前往，此时在前线指挥抢险的人数占总人数的75%。如该抗洪指挥部需要保留至少10%的人员在应急指挥中心，那么最多还能再派多少人去前线？（　）

A．10

B．11

C．8

D．9

解析 第一步，标记量化关系。“增派”“占”“至少”“最多”。

第二步，列式计算。有的人在前线指挥抢险。由于汛情紧急，又增派6人前往，此时在前线指挥抢险的人数占总人数的75%。设总人数为3x，则最初去前线的人为2x，根据已知条件，可以列出，解得x=24，则总人数为3×24=72（人），目前已经去前线的人为2×24+6=54。现在要求保留至少10%的人在应急指挥中心，则需要保留人数至少为72×10%=7.2（人），即8人，则还能再增派72-54-8=10人，故答案选A。

对于数学运算题，我们通常先识别量化关系（找能够列式子的量化关系词语，如“共”“多”等）；然后进行转化（将言语转化为数学式子，相当于言语理解的同义替换）；最后将等量关系列式计算。

例5（2016国家）某单位组建兴趣小组，每人选择一项参加。羽毛球组人数是乒乓球组人数的2倍，足球组人数是篮球组人数的3倍，乒乓球组人数的4倍与其他三个组人数的和相等。则羽毛球组人数等于（　）。

A．足球组人数与篮球组人数之和

B．乒乓球组人数与足球组人数之和

C．足球组人数的1.5倍

D．篮球组人数的3倍

解析 第一步，标记量化关系。“是”“相等”。

第二步，翻译。“羽毛球组人数是乒乓球组人数的2倍”→乒乓球组人数×2=羽毛球组人数；“乒乓球组人数的4倍与其他三个组人数的和相等”→乒乓球组人数×4=羽毛球组人数+足球组人数+篮球组人数。

第三步，找等量关系立式计算。等量关系是两个式子共通的“乒乓球组人数”。列式：乒乓球组人数×4=羽毛球组人数×2=羽毛球组人数+足球组人数+篮球组人数。观察和“羽毛球组人数”相关的式子，可得：羽毛球组人数=足球组人数+篮球组人数。故答案选A。

对于数学运算，正确的读题方法是先看设问和选项范围，带着问题去读题，带着目标去搜集信息。千万不要把设问和选项抛在后面，其实它们才是读题“钥匙”。数量关系题是围绕“关系”进行“数量”运算，提问是探究未知数和已知量“关系”的指路明灯，而选项则是简化“数量”运算的重要法门。每种题型都有自己相对应的特定解法和技巧，本节我们先介绍考试中应用最广泛的代入排除法、赋值法、数字特性法和公式法。

一、代入排除法

代入排除法。顾名思义，就是将选项“代入”题干判定正误或者根据题干信息“排除”错误选项的方法。它主要适用于选项信息充分，以及固定题型和不定方程。我们来看下面的具体例题。

（一）选项信息充分

选项信息充分就是选项中给了两个或者两个以上的数据，这时我们优先考虑代入排除法。

例1（2019江苏A）一只密码箱的密码是一个三位数，满足3个数字之和为19，十位上的数比个位上的数大2。若将百位上的数与个位上的数对调，得到一个新密码，且新密码数比原密码的数大99，则原密码数是（　）。

A．397

B．586

C．675

D．964

解析 本题考查多位数问题，用代入排除法解题。根据十位上的数字比个位上的数字大2，发现四个选项都满足，根据百位上的数字与个位数字对调，新密码比原密码大99可得，只有B选项586对调后得到685，且685-586=99满足题意。因此，选择B选项。

例2（2015国家）小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁？（　）

A．25,32

B．27,30

C．30,27

D．32,35

解析 选项给了两个数据，符合选项信息充分，可以考虑用代入排除法进行解题。

第一步，标记量化关系。“比”“和”。

第二步，代入排除。小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。该句表明：小王比小李大3岁。排除A、C两项。D项代入后不符合“小李的弟弟比小李小2岁……1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15”，排除。故答案选B。

（二）固定题型

固定题型主要包括星期日期问题和年龄问题，遇到这两种题型，可以优先考虑用代入排除法进行解题。

例3（2013国家）根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是（　）。

A．周一或周三

B．周三或周日

C．周一或周四

D．周四或周日

解析 星期日期问题，可以用代入排除法进行解题。

第一步，标记量化关系。“工作日”。

第二步，代入排除。由于8月有31天，若8月1日为周一，则容易看出8月份一共会有23个工作日，不满足条件，故排除A、C两项；若8月1日为周三，计算可以发现8月份会有23个工作日，不满足条件，故排除B项。故本题选择D。

（三）不定方程

不定方程是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到限制的方程（未知数多却能做出来必有技巧）。如3x+5y=99，这个等式中未知数有2个，但是只有1个方程，我们就把这个等式称为不定方程，严格来说这个方程是解不出来的，但是我们可以借助选项来进行解答，将选项代入，符合题干要求就是正确答案，不符合的排除即可，所以以后在题目中遇到不定方程，可以优先考虑用代入排除法。

例4（2017江西）老张购进一批商品，共20件。销售时每件合格的商品可以赚50元，不合格的商品一件亏20元。他卖出的这20件商品中有几件是不合格的，那么卖出这批商品可能赚（　）。

A．690元

B．720元

C．780元

D．850元

解析 第一步，标记量化关系。“共”“赚”“亏”。

第二步，列方程。先设不合格的产品有x件（x一定是正整数），卖出这批商品可能赚y元，则合格的产品有（20-x）件，商品共赚y=50×（20-x）-20x=1000-70x，得到一个不定方程。

第三步，利用代入排除法。代入A选项，即y=1000-70x=690,7x=310, x不是整数，排除；代入B选项，即y=1000-70x=720，解得x=4，满足条件。C、D两项代入后，x同样不是整数。故答案选B。

二、赋值法

我们把一个未知数设为x，那么就是利用方程法进行解题，如果把这个未知数赋值为一个特定的值，比如50,100这样的具体值，那么就是赋值法，赋值的时候可以对未知数赋任何值。可以使用赋值法的主要有以下两种情况：

一是满足A=B×C的形式。例如工作总量=工作效率×工作时间，路程=速度×时间，溶剂=浓度×溶液，而且至多知道其中一个量的时候，可以用赋值法。例如现需要购买两种调料加工成一种新调料，两种调料的价格分别为20元/千克、30元/千克，如果购买这两种调料所花钱一样多，问每千克新调料的成本是多少？这道题满足总价=单价×数量，而且只告诉单价，这时就可以赋值，而且在赋值时，为了简化计算，我们可以优先赋值不变量，即总价，其次优先赋值公倍数，即赋总价为60元/千克，这时就可以快速解出答案。

二是题目中没有任何具体值，可以使用赋值法进行解题。例如某街道常住人口与外来人口之比为1∶2，已知该街道下辖的甲、乙、丙三个社区人口比为12∶8∶7。其中，甲社区常住人口与外来人口比为1∶3，乙社区为3∶5，问丙社区常住人口与外来人口比为多少？这道题没有任何具体值，我们就可以赋值甲、乙、丙社区的人口分别为12、8、7，然后根据题干中的量化关系得出丙社区常住人口与外来人口的比值。

在赋值的时候主要有以下两种方式：设份数，赋整数。

（一）设份数

当题目中出现分数，例如做一项工作花费了所有材料的，这时我们可以设总材料为5份，这样就避免在计算的时候出现分数，可以简化计算过程。

例1（2015国家）甲、乙、丙、丁四人共同投资一个项目，已知甲的投资额比乙、丙二人的投资额之和高20%，丙的投资额是丁的60%，总投资额比项目的资金需求高。后来丁因故临时撤资，剩下三人的投资额之和比项目的资金需求低，则乙的投资额是项目资金需求的（　）。

A．

B．

C．

D．

解析 题目中出现了分数，可以设份数进行解题。

第一步，标记量化关系。“比”“是”“比”“比”。

第二步，甲的投资额比乙、丙二人的投资额之和高20%，丙的投资额是丁的60%，总投资额比项目的资金需求高。根据剩下三人之和“比”资金需求低，设项目资金需求为12，则甲、乙、丙三人的投资额为；由“比”项目的资金需求高，可得总投资额为。丁的投资额为16-11=5，丙为5×60%=3。

第三步，计算。根据甲“比”乙、丙投资之和高20%，可得甲=（乙+丙）×（1+20%），结合甲+乙=11-3=8，解得乙=2，故乙投资额是资金需求的。故答案选A。

（二）赋整数

假设华华买东西花的钱是图图的2倍，为了便于计算，我们可以赋值图图花的钱是1，则华华花的钱为2，如果华华买东西花的钱是图图的1.5倍，这时为了得到整数，简化计算，我们就赋值图图花的钱为2，则华华花的钱为3，这就是赋整数，下面我们通过例题进一步学习这种解题技巧。

例2（2018江苏B）编制一批“中国结”，甲乙合作6天可完成；乙丙合作10天可完成；甲乙合作4天后，乙再单独做5天可完成，则甲、乙、丙的工作效率之比是（　）。

A．3∶2∶1

B．4∶3∶2

C．5∶3∶1

D．6∶4∶3

解析 赋值工作总量为30，得甲乙效率为5，乙丙效率为3，解得乙的效率为2，解得甲的效率为3，丙的效率为1，甲乙丙三者效率为3∶2∶1。因此，选择A选项。

例3（2018江苏A）手工制作一批元宵节花灯，甲、乙、丙三位师傅单独做，分别需要40小时、48小时、60小时。如果三位师傅共同制作4小时后，剩余任务由乙、丙一起完成，则乙在整个花灯制作过程中所投入的时间是（　）。

A．24小时

B．25小时

C．26小时

D．28小时

解析 我们可以赋值工作总量为240，则甲的效率为6，乙的效率为5，丙的效率为4，三个师傅共同制作4小时可以完成（6+5+4）×4=60。则剩余任务为180，由乙、丙一起完成，乙、丙一起完成效率为5+4=9，需要（小时）。因此，乙投入的总时间为4+20=24（小时）。因此，选择A选项。

例4（2016国家）某浇水装置可根据天气阴晴调节浇水量，晴天浇水量为阴雨天的2.5倍。灌满该装置的水箱后，在连续晴天的情况下可为植物自动浇水18天。小李6月1日0:00灌满水箱后，7月1日0:00正好用完。问6月有多少个阴雨天？（　）

A．10

B．16

C．18

D．20

解析 第一步，标记量化关系。“为”“灌溉”“用完”。

第二步，赋值。晴天浇水量为阴雨天的2.5倍。灌满该装置的水箱后，在连续晴天的情况下可为植物自动浇水18天。赋值阴天浇水量为2，则晴天浇水量为5；根据“灌满”，可知总量为5×18=90。

第三步，列方程。设阴雨天为x，则晴天为30-x天（6月30天）。根据“用完”，可得90=2x+5×（30-x），解得x=20天。故答案选D。

例5（2016国家）某集团有A和B两个公司，A公司全年的销售任务是B公司的1.2倍。前三季度B公司的销售业绩是A公司的1.2倍，如果照前三季度的平均销售业绩，B公司到年底正好能完成销售任务。问如果A公司希望完成全年的销售任务，第四季度的销售业绩需要达到前三季度平均销售业绩的多少倍？（　）

A．1.44

B．2.4

C．2.76

D．3.88

解析 第一步，标记量化关系。“是”“正好”。

第二步，赋值。A公司全年的销售任务是B公司的1.2倍。前三季度B公司的销售业绩是A公司的1.2倍。假设B公司全年任务40，每季度完成10；则A公司全年任务是40×1.2=48，前三季度完成30÷1.2=25，第四季度需完成48-25=23。

第三步，列式。第四季度的销售业绩是前三季度平均销售业绩的23÷（25÷3）=2.76（倍）。故答案选C。

三、数字特性法

数字特性法，顾名思义，就是运用题干中蕴含的“数字（通常是未知数）”的“特性”去解题的方法。它不是直接去计算最终结果，而是考虑最终计算结果的某种“数字特性”，从而排除错误选项。当题目中出现较多分数、百分数、比例、倍数、余数或平均数时，优先考虑数字特性法。数字特性主要包括倍数特性和奇偶特性。

（一）倍数特性

假设已知A∶B=3∶5，这个式子还可以写成A=0.6B=60%B=B，无论是哪种表达形式，都可以得出A是3的倍数，B是5的倍数，将上面的式子一般化，最终都可以化解成（m, n互质）的形式，这时我们可以得出A是m的倍数，B是n的倍数，除此之外，还可以得出A+B是m+n的倍数，A—B是m—n的倍数。所以当题目中出现比例、分数、小数以及百分数等情形时，都可以考虑用倍数特性进行解题。

例1（2017国家）某超市购入每瓶200毫升和500毫升两种规格的沐浴露各若干箱，200毫升沐浴露每箱20瓶，500毫升沐浴露每箱12瓶。定价分别为14元/瓶和25元/瓶。货品卖完后，发现两种规格沐浴露的销售收入相同，那么这批沐浴露中，200毫升的最少有几箱？（　）

A．3

B．8

C．10

D．15

解析 第一步，标记量化关系。“每箱”“每箱”“相同”“最少”。

第二步，设200毫升和500毫升沐浴露的箱数分别为x、y，根据销售收入“相同”可得，20×14×x=12×25×y，化简得，即x是15的倍数，y是14的倍数。

第三步，根据“最少”可知，x的最小值为15。故答案选D。

（二）奇偶特性

（1）横向看上面的式子，可以得到如果两个数的和是偶数，那么差也是偶数；如果和是奇数，那么差也是奇数，即和差同性。

（2）从上面的等式我们还可以得到如果两个数的和或差是偶数，则两数奇偶相同；和或差是奇数，则两数奇偶相反，即奇反偶同。

此外还有，奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数。

奇偶特性主要应用于ax+by=c（不定方程）中。

例2（2012国家）超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？（　）

A．3

B．4

C．7

D．13

解析 第一步，标记量化关系。“每”“每”“共”。

第二步，列方程。设大、小包装盒各有x、y个，由大盒“每个”装12个，小盒“每个”装5个，可知12x+5y=99。其中99为奇数，则12x与5y奇偶性相反，12x为偶数，故5y为奇数，其尾数为5。此时12x尾数为9-5=4，可得x=2或x=7。

第三步，代入验证。当x=2时，y=15，符合“共”十多个盒子，此时15-2=13。故两种包装盒相差13个。故答案选D。

例3（2016国家）20人乘飞机从甲市前往乙市，总费用为27000元。每张机票的全价票单价为2000元，除全价票之外，该班飞机还有九折票和五折票两种选择。每位旅客的机票总费用除机票价格之外，还包括170元的税费。则购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比（　）。

A．两者一样多

B．买九折票的多1人

C．买全价票的多2人

D．买九折票的多4人

解析 第一步，标记量化关系。“总”“九折”“五折”“还”。

第二步，设购买全价、九折、五折的人数分别为x、y、z人，可得：x+y+z=20。由“九折”“五折”“还”可列方程：2000x+1800y+1000z+170×20=27000。

第三步，消去z，可得5x+4y=18。根据奇偶特性解得x=2, y=2，即两者一样多。故答案选A。

四、公式法

做数学题肯定离不开公式，牢记公式对做题大有帮助，出错的几率也会降低不少，公式是数学运算中必须要记忆并加以熟练运用的内容之一，不过数学公式有很多，在公务员考试中常考查的就是其中一部分，这些是必须要掌握的，其他的理解记忆即可。

（一）漂流时间的公式

漂流时间等价于流水行船中船速为0时所需要的时间，假设顺流的时间为t顺，速度为v顺，逆流时间为t逆，速度为v逆，则, ，所以, 。

例1（2013江苏）长江上游的A港与下游S港相距270千米，一轮船以恒定速度从A港到S港需6.75小时，返回需9小时。如果一只漂流瓶从A港顺水漂流到S港，则需要的时间是？（　）

A．84小时

B．50小时

C．54小时

D．81小时

解析 第一步，标记量化关系。“需”、“需”。

第二步，代入公式。（小时）。故答案选C。

（二）错位排列型的公式

有三位厨师分别做了三道菜，现在三位厨师分别品尝别人做的菜（不尝自己的），那么可能有多少种不同的情况呢？这就是典型的错位排列问题，接下来就来看看它的特征和公式吧。

错位排列题型具备两个关键特征：一是n组事物原来是一一对应的；二是调整后对应关系全部改变。这种题型的答案是固定的，在公考行测中，常考的主要有以下5个：D1=0, D2=1, D3=2, D4=9, D5=44，其中Dn代表n个元素错位排列。

常见表现形式有：鸟和鸟笼（2只鸟不飞回自己的鸟笼，则只有1种情况）、车和车位（3辆车不停在自己原来的车位上，则有2种情况）、人和作品（4个人不看自己的作品，则共有9种情况）……

例2（2017国家）某集团企业5个分公司分别派出1人去集团总部参加培训，培训后再将5人随机分配到这5个分公司，每个分公司只分配1人。问5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司的概率（　）。

A．低于20%

B．在20%—30%之间

C．在30%—35%之间

D．大于35%

解析 第一步，标记量化关系。“有且仅有”“概率”。

第二步，根据“5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司”，可知有4个人没有返回原来的分公司，即这4个人符合错位排列。

第三步，代入公式。符合情况的共有=5×9=45（种）可能。5人随机分配到5个分公司有=120（种）可能。所求概率为45÷120=37.5%。故答案选D。

（三）空瓶换酒型的公式：

若m个空瓶可换n瓶酒，如果有t个空瓶则最多能喝多少瓶酒？这就是空瓶换酒的模型。

如果具备两个关键特征即可代入公式：一是题干默认允许“借瓶再还瓶”（即并未明确指出不可以）；二是关键字“空瓶”“换酒”。核心公式：N瓶=1瓶酒=1瓶+1酒，得（N-1）瓶=1酒。

例3（2012联考）12个啤酒空瓶可以免费换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶，最多可以免费喝到的啤酒为（　）。

A．10瓶

B．11瓶

C．8瓶

D．9瓶

解析 第一步，标记量化关系。“最多”。

第二步，利用公式，，即可换9瓶酒。故答案选D。

（四）过河型的公式：【上浮取整】

m个人从一端至另一端，每次可过去n个人，但需要回来a个人，则所有人全部抵达另一端共需过多少次河？这就是过河的模型。

具备两个关键特征即可代入公式：一是“从一端至另一端”；二是“过去n份，但需要回来a份”。这种类型的题变化较多，最常见考查形式是两种：一是过河，每次过去n个人但需要a个人划船回来；二是过桥，每次过去n个人但需要a个人送灯等物品回来。

例4（2019江苏C）某镇政府有工作人员104人，他们在清明节前去烈士陵园缅怀革命先烈，需全部坐船渡过一条河。已知大船可载客12人，小船可载客5人，大船和小船不论坐满与否，都按满载算。若大船渡一次70元，小船渡一次30元，则他们渡河最节省的方案是（　）。

A．7只大船和4只小船

B．2只大船和16只小船

C．6只大船和2只小船

D．1只大船和20只小船

解析 本题考查经济利润问题中的最值优化类，用代入排除法解题。大船可载12人，小船可载5人，共104人，代入A选项，7只大船4只小船可载7×12+4×5=104（人），共需费用70×7+30×4=610（元）；代入B选项，2只大船16只小船可载2×12+16×5=104（人），共需费用70×2+30×16=620（元）；代入C选项，6只大船2只小船可载6×12+2×5=82＜104（人），直接排除；代入D选项，1只大船20只小船可载1×12+20×5=112＞104（人），共需费用70×1+30×20=670（元）。对比可得A选项可载全部104人且花费最少。因此，选择A选项。

例5 41个学生要坐船过河，渡口处只有一只能载4人的小船（无船工），他们要全部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？（　）

A．23

B．24

C．27

D．26

解析 第一步，标记量化关系。“至少”。

第二步，“坐船过河”和“无船工（需1人划船回来）”。

第三步，代入公式。次数是，上浮取整是14次；需渡河2×14-1=27（次）。故答案选C。

（五）鸡兔同笼型的公式：鸡有只，兔有只

鸡兔同笼，共有m个头，n只脚，则鸡有多少只？兔有多少只？这就是鸡兔同笼的模型。那么这种题型怎么解呢？假设今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

（1）我们假设现在全部为鸡，每只鸡有2只脚，共有2×35=70只脚，少了94-70=24只脚；

（2）我们需要知道少的脚哪去了？因为我们把兔子看成了鸡，而兔子有4只脚，所以少算了兔子的脚，每只兔子少算了2只脚，因此就是兔子的数目；

（3）算出兔子12只，则鸡有35-12=23只。

通过上面的例子我们可以得出解决鸡兔同笼题型的方法：

（1）假设全部为鸡，共2m只脚，少了n-2m只脚；

（2）每只兔子少了2只脚，所以就是兔子的数目；

（3）鸡的数目为。

如果题目具备两个关键特征即可代入鸡兔同笼的公式：一是两物混杂；二是有多（盈）有少（亏）。

这种题型是公式法中考查最多、考查最灵活的题型，最好的应对策略不是背诵公式，而是借助鸡兔同笼问题体会盈亏思想，才能举一反三，以不变应万变。

例6（2016联考）某餐厅设有可坐12人和可坐10人两种规格的餐桌共28张，最多可容纳332人同时就餐，问该餐厅有几张10人桌？（　）

A．2

B．4

C．6

D．8

解析 两种不同规格的桌子混合在一起，符合鸡兔同笼模型。

第一步，标记量化关系。“共”“最多”。

第二步，假设28张桌子都是10人桌，则应有280人，现有332人，差了52人，说明有52÷2=26张12人桌，所以有2张10人桌。故答案选A。

第二节 方程与不等式问题

方程和不等式是反映事物间量化关系的基本形式，其中，方程表示等量关系，而不等式表示比较关系。在数学运算中，可能会涉及一元（即含一个未知数）方程或多元方程（组）。对于很多文字应用题，如和差倍比问题、盈亏问题、鸡兔同笼问题等，列方程是最基本的解题方法，除此以外，对于我们将要介绍的其他题型，如行程问题、比例问题、费用问题、容斥问题等都可以利用方程法来解决；而不等式往往会结合数字特性来解决。

解题思路

1．找等量关系

常见表示等量关系的词：“总量”“共”“等于”“比……多/少”“是……倍”等。

2．设未知数

（1）设所求量（简单题目）;（2）设中间变量（未知量个数较多时）;（3）设Nx（当出现分数、百分数、比例、倍数特征，N为最小公倍数）

3．解方程

（1）基本方程

①有分母先去分母；②有括号就去括号；③需要移项就进行移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1。

（2）基本方程组

①代入消元法；②加减消元法；③整体消元法。

（3）不定方程（组）

①代入排除法：只求一个量时，优先使用。

②数字特性法：奇偶特性、倍数特性、尾数特性。求和或求差时，优先使用。

③配系数法：将方程两边同时乘或除某个数，再经过加减得到所求方程的结果。

一、一元方程

一元方程主要用于只设一个未知数就能列方程求解的数学题型，多为一次方程。这种方法的技巧在于选择合理的未知数，一般应设题目所求量为未知数。

例1（2019江苏A）某银行为一家小微企业提供了年利率分別为6%、7%的甲、乙两种贷款，期限均为一年。若两种货款的合计数额为400万元，企业需付利息总额为25万元，则乙种贷款的数额是（　）。

A．100万元

B．120万元

C．130万元

D．150万元

解析 第一步，本题考查基础计算题，用方程法解题。

第二步，设乙种贷款的数额为x万元，则甲种贷款的数额为（400-x）元。根据两种贷款利息总额为25万。可列方程7%x+6%×（400-x）=25，解得x=100。即乙种贷款100万元。因此，选择A选项。

例2（2018江苏A）某高校组织省大学生运动会预选赛，报名选手中男女人数之比为4∶3，赛后有91人入选，其中男女之比为8∶5。已知落选选手中男女之比为3∶4，则报名选手共有（　）。

A．98人

B．105人

C．119人

D．126人

解析 设男选手人数为4x，则女选手人数为3x，总选手数为7x。赛后有91人入选，其中男女比例为8∶5，则入选的人中有56人为男选手，35人为女选手。那么落选的男选手有（4x-56）人，落选的女选手有（3x-35）人，落选的男女之比为3∶4，可列方程，十字相乘得16x-224=9x-105，化简得7x=119，则报名选手共有119人。因此，选择C选项。

二、多元方程

多元方程，这里是指设两个及以上未知数列方程求解的数学运算题型。一个多元一次方程不能求出唯一的解，因此多元方程问题往往以方程组的形式解题，而求解方程组的重要思想是消元，于是在实际解题过程中，通过适当放大和缩小题目中的条件，然后从等价关系中找到所求量成为快速解题的思路。

例（2017江苏A）A、B两个容器装有质量相同的酒精溶液，若从A、B中各取一半溶液，混合后浓度为45%；若从A中取、B中取溶液，混合后浓度为40%。若从A中取、B中取溶液，则混合后溶液的浓度是（　）。

A．48%

B．50%

C．54%

D．60%

解析 设A、B容器中酒精溶液的浓度分别为x和y。由于A、B中的酒精溶液质量相同，且都是按比例取溶液，故可用赋值法，假设溶液质量都为100。根据题干条件，列方程组：

，解得x=30%, y=60%。则待求的混合溶液的浓度为（20×30%+80×60%）÷（20+80）=54%。故本题选择C。

三、不定方程

不定方程，通常是给出的方程数小于未知数个数的方程或方程组，在没有别的限定条件下是有多个解的。但是这类题目往往限定了方程的解是整数，因此方程的解通常只有几个可能（如果题目所求是方程的解，选项对应的就只有4种可能），因此在明确了方程之后，通过奇偶特性、整除特性以及数字的大小范围，缩小正确选项的范围后，再代入排除是常规解题思路。

例（2016国考）20人乘飞机从甲市前往乙市，总费用为27000元。每张机票的全价票单价为2000元，除全价票之外，该班飞机还有九折票和五折票两种选择。每位旅客的机票总费用除机票价格之外，还包括170元的税费。则购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比（　）。

A．两者一样多

B．买九折票的多1人

C．买全价票的多2人

D．买九折票的多4人

解析 全价票单价为2000元，设有x人购买；九折票单价为1800元，设有y人购买；五折票单价为1000元，设有z人购买，则有x+y+z=20,2000x+1800y+1000z+170×20=27000，化简可得x+y+z=20,10x+9y+5z=118，要知x与y的关系，将z消去，可得5x+4y=18，只有x=y=2的时候，等式成立。因此，本题选A。

四、不等式

不等式问题是给出未知数的大小关系，求未知数或未知数的范围。在备考的过程中需要掌握不等式的一些性质，并加以灵活运用。

①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；

②传递性：如果x＞y, y＞z，那么x＞z；

③加法原则：如果x＞y，而z为任意实数或整式，那么x+z＞y+z；

④乘法原则：如果x＞y, z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y, z＜0，那么xz＜yz；

⑤除法原则：如果x＞y, z＞0，那么x÷z＞y÷z；如果x＞y, z＜0，那么x÷z＜y÷z；

⑥如果x＞y, m＞n，那么x+m＞y+n；

如果x＞y＞0, n＞0时xn＞yn, n＜0时xn＜yn。

例（2018江苏A）小李为办公室购买了红、黄、蓝三种颜色的笔若干支，共花费40.6元。已知红色笔单价为1.7元、黄色笔为3元、蓝色笔为4元，则小李买的笔总数最多是（　）。

A．9支

B．20支

C．21支

D．22支

解析 花费的总钱数40.6元是一定的，那么要使买的笔总数最多，则应该尽量购买单价低的笔，所以尽量多买红笔，其次买黄笔。设购买红笔x支，黄笔y支，蓝笔z支。三种笔共花费40.6元，可列方程1.7x+3y+4z=40.6。3y和4z均为整数，所以1.7x的小数部分是6，根据尾数技巧，可知x的尾数为8。要尽量多买红笔，所以应该使x值尽可能大，x最大取18（因为x=28时，1.7×28＞40.6），此时方程为3y+4z=40.6-1.7×18=10，利用奇偶特性解不定方程，y为偶数，则y=2，那么z=1。第三步，共可购买18+2+1=21支笔。因此，选择C选项。

第三节 比例问题

比例问题，是涉及比例关系的文字应用题的合称，比如工程问题中的效率、溶液问题中的浓度、牛吃草问题中的牛吃草效率与长草效率之比、钟表问题中时间与角度的比例等。工程问题是比例问题中的重点题型，溶液问题和牛吃草问题时有考查，钟表问题则考查较少。

一、工程问题

工程问题公式：工程量=效率×时间。

由此可得：当时间相同时，工程量之比等于效率之比。

工程问题一般采用赋值法或根据基本公式设未知数寻找等量关系列方程。若题目当中给出时间信息，则赋工作总量，根据总量和时间求出效率，然后研究效率的分配方式（合作、干扰、撤出、交替等）。为了便于计算，总量赋成时间的最小公倍数。如果题目中出现效率的比例或倍数关系，一般可以考虑将效率赋成具体数值，然后根据公式直接进行求解或者找等量关系列方程。

（一）不同效率型

例1 甲、乙两人用相同工作时间共生产了484个零件，已知生产1个零件甲需5分钟、乙需6分钟，则甲比乙多生产的零件数是（　）。

A．40个

B．44个

C．45个

D．46个

解析 解法一：第一步，本题考查工程问题，属于条件类。

第二步，由题可知，甲、乙生产一个零件的时间之比为5∶6，则效率之比为6∶5（总量一定，效率与时间成反比）。共生产484个，可得甲比乙多生产的零件数为（个）。

因此，选择B选项。

解法二：第一步，本题考查工程问题，属于条件类。

第二步，设甲、乙相同的工作时间为t分钟，可得方程，解得t=1320。

第三步，甲比乙多生产的零件数为（个）。

因此，选择B选项。

例2（2019国考）某工厂有4条生产效率不同的生产线，甲、乙生产线效率之和等于丙、丁生产线效率之和。甲生产线月产量比乙生产线多240件，丙生产线月产量比丁生产线少160件。问乙生产线月产量与丙生产线月产量相比：（　）

A．乙少40件

B．丙少80件

C．乙少80件

D．丙少40件

解析 设乙每月生产x件，则甲每月生产x+240件；设丙每月生产y件，则丁每月生产y+160件。由甲、乙效率之和等于丙、丁效率之和：（x+240）+x=y+（y+160），解得：y-x=40，乙月产量比丙少40件。因此，选择A选项。

（二）同时合作型

例3若将一项工程的和依次分配给甲、乙、丙、丁四家工程队，分别需要15天、15天、30天和9天完成，则他们合作完成该项工程需要的时间是（　）。

A．12天

B．15天

C．18天

D．20天

解析 第一步，本题考查工程问题，属于时间类。

第二步，甲需要15天完成工程的16，则甲完成整个工程要（天），同理乙、丙、丁完成整个工程分别需要60、90、36天，故赋值工作总量为180（90、60、90、36的公倍数），那么甲队工作效率为180÷90=2，同理乙、丙、丁的工作效率分别为3、2、5。

第三步，甲、乙、丙、丁四队合作完成该项工程需要（天）。

因此，选择B选项。

例4（2019国考）有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2天的工作量与甲、丙共同工作1天的工作量相同。A工程如由甲、乙组共同工作3天，再由乙、丙组共同工作7天，正好完成。如果三组共同完成，需要整7天。B工程如丙组单独完成正好需要10天，问如由甲、乙组共同完成，需要多少天？（　）

A．不到6天

B．6天多

C．7天多

D．超过8天

解析 根据题意，2乙=甲+丙，3（甲+乙）+7（乙+丙）=7（甲+乙+丙），整理后得到三人之间的效率关系为3乙=4甲，5乙=4丙，则可以赋值甲的效率为3，乙的效率为4，则丙的效率为5，则B的工作量为丙10天完成的工作量即为50，则甲乙合作的天数为50÷（3+4）≈7.1，因此，选择C选项。

（三）先后合作型

例5 甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是5∶4∶6。先由甲、乙两人合做6天，再由乙单独做9天，完成全部工程的60%。若剩下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是（　）。

A．9

B．11

C．10

D．15

[解析] 赋值甲、乙、丙三人的效率分别为5、4、6，则已完成的工作量为6×（5+4）+4×9=90，占总量的60%，则总量为90÷60%=150，剩下的工作量为150-90=60，丙还需要60÷6=10（天）。

当工程问题中出现“效率之比”这样的条件，我们往往对效率进行赋值。

（四）加入撤出型

例6（2017联考）某件刺绣产品，需要效率相当的三名绣工8天才能完成；绣品完成50%时，一人有事提前离开，绣品由剩下的两人继续完成；绣品完成75%时，又有一人离开，绣品由最后剩下的那个人做完。那么，完成该件绣品一共用了（　）。

A．10天

B．11天

C．12天

D．13天

解析 根据题意，每名绣工每天的效率为。三名绣工完成50%时，用了8÷2=4（天）。两名绣工完成75%-50%=25%时，用了（天）。一名绣工完成1-75%=25%时，用了（天）。总共用了4+3+6=13（天），故选D。

例7（2018国考）工程队接到一项工程，投入80台挖掘机。如连续施工30天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有10天时间无法施工，工期还剩8天时，工程队增派70台挖掘机并加班施工。问工程队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时？（　）

A．2.5

B．3

C．1.5

D．2

[解析] 令每台挖掘机的工作效率为1，得工程总量为80×30×10=24000。有10天时间未施工，工期还剩8天的时候，说明总共施工了30-10-8=12（天），已经完成工作量80×12×10=9600，剩余工作量24000-9600=14400；剩余工作量要在8天内完成，每天需要工作的时间为14400÷（70+80）÷8=12（小时），每天多干2小时。

（五）提前延迟型

例8 某项工程由工作效率相同的甲、乙两工程队承担。若甲、乙两队合作，工期可提前5天；若两队先合作6天，余下的由甲队独做，恰好也能按工期完成。则该工程的工期是（　）。

A．14天

B．15天

C．16天

D．18天

[解析] 假设两队的效率都为1，工期为T，工程总量为A，则：

（六）交替合作型

例9（2019联考）甲、乙两个工程队共同参与一项建设工程。原计划由甲队单独施工30天完成该项工程三分之一后，乙队加入，两队同时再施工15天完成该项工程。由于甲队临时有别的业务，其参加施工的时间不能超过36天，那么为全部完成该项工程，乙队至少要施工多少天？（　）

A．30

B．24

C．20

D．18

[解析] 甲队单独施工30天可以完成该项工程的，则甲队单独施工90天可以完成该项工程，而甲队施工30天后，乙队加入，同时施工15天可完成该项工程，可列方程90甲=30甲+（甲+乙）×15，解得乙=3甲，即甲乙效率之比为1∶3，赋值甲队的效率为1，乙队的效率为3，工程的总量为1×90=90。要使乙队施工天数尽可能少，则甲队施工天数应该尽可能多，甲队施工时间不能超过36，则让甲队施工36天，完成1×36=36，该项工程还剩90-36=54，乙队需要（天）。因此，选择D选项。

例10 三个工程队完成一项工程，每天两队工作、一队轮休，最后耗时13天整完成了这项工程。问如果不轮休，三个工程队一起工作，将在第几天内完成这项工程？（　）

A．6天

B．7天

C．8天

D．9天

[解析] 赋值三队效率都为1，工作量=2×13=26,26÷3=8…2，因此将在第9天内完成。因此选择D选项。

“交替合作型”工程问题，是最新考查的重点题型，也是考生易错的难点题型。由于合作的“交替性”，不能简单地使用基础公式进行计算，而要注重其工作的“周期性”。

二、溶液问题

溶液问题公式：浓度=溶质÷溶液，溶液=溶质+溶剂。

两溶液混合，质量分别为M1、M2，浓度分别为c1、c2，混合后溶液浓度为c，则有公式：M1c1+M2c2=（M1+M2）c。如果已知混合前和混合后的浓度，还可以求出混合的溶液之比：

对于挥发和稀释的溶液问题，抓住过程中的规律，如按比例变化或者溶质不变，以此为突破口解题，在只涉及比例关系的题目中可以适当给溶质或溶剂赋值。

例（2019江苏A）现有浓度为12%和24%的盐水各若干克，将其混合后加入50克水，配制成了浓度为18%的盐水600克，则原12%和24%的盐水质量之比是（　）。

A．6∶5

B．1∶1

C．5∶6

D．4∶7

解析 第一步，本题考查溶液问题，用方程法解题。

第二步，混合后加入50克水后配置成盐水600克，则12%和24%的盐水共600-50=550（克），设浓度为12%的盐水有x克，则浓度为24%的盐水有（550-x）克。可列方程：12%x+24%×（550-x）=600×18%，解得x=200，即浓度为12%的盐水有200克，那么浓度为24%的盐水有550-200=350（克），两者之比为200∶350=4∶7。因此，选择D选项。

三、牛吃草问题

核心公式：Y=（N-X）×T。

其中：“Y”代表现有存量（如“原有草量”）; “N”代表使原有存量减少的变量（如“牛数”）; “X”代表存量的自然增速（如“草的生长速度”）; “T”代表存量完全消失所需时间。

常考模型有牛吃草、抽水机抽水、检票口检票、资源开发。解题时往往根据题干中已知的数字信息列方程组：，通过求解方程组得到题目的答案。

例（2013国考）某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）（　）

A．25

B．30

C．35

D．40

解析 牛吃草问题。设原有河沙量为y，每月新增河沙量为x，故；解得。因为连续不断的开季采，所以开采量等于新增的沙量，即最多可供30人进行连续不间断的开采。故本题选择B。

四、钟表问题

时钟表盘分为12个大格，每格30°，时针转速为0.5°/分钟，分针转速为6°/分钟。分针每分钟追时针5.5°。

时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

时针与分针呈某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。

无论是标准表还是坏表，转速都是匀速的，只是速度不同而已。

快慢钟问题的参照物为标准时间，快慢钟问题一般采用比例法解题。根据条件可以得出标准钟与快慢钟的速度之比，此比例即为两钟运行过的时间长度（相当于行程问题中的路程）之比。

例1（2016国考）李主任在早上8点30分上班之后参加了一个会议，会议开始时发现其手表的时针和分针呈120度角，而上午会议结束时发现手表的时针和分针呈180度角。问在该会议举行的过程中，李主任的手表时针与分针呈90度角的情况最多可能出现几次？（　）

A．4

B．5

C．6

D．7

解析 8:30后时针和分针第一次呈120度角约在9:05左右，而12:00之前最后一次呈180度角约在11:25左右。9:05至10:00时针和分针呈90度角只有1次；10:00至11:00时针和分针呈90度角有2次；11:00至11:25时针和分针呈90度角只有1次。因此会议举行过程中时针和分针呈90度角最多出现4次。本题选择A项。

例2（2014江苏A）小张的手表每天快30分钟，小李的手表每天慢20分钟，某天中午12点，两人同时把表调到标准时间，则两人的手表再次同时显示标准时间最少需要的天数为（　）。

A．24

B．36

C．72

D．144

解析 由题意可知，再次显示标准时间12点，需要12个小时，因此小张的手表需要12÷0.5=24（天），小李的手表需要（天）,24和36的最小公倍数为72。因此72天以后都显示标准时间。本题选C。

第四节 计数问题

计数问题中的容斥原理问题是集合论的简单应用；而排列组合问题则是经典的应用问题，条件丰富多变，且存在很多实用技巧；概率问题很多时候是和排列组合问题结合在一起考查的。

一、容斥原理问题

1．核心公式

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|

2．推论公式

（1）两集合：

满足条件1的个数+满足条件2的个数-都满足的个数=总数-都不满足的个数

（2）三集合：

至少满足1个条件的个数=只满足1个条件的个数+恰好满足2个条件的个数+满足3个条件的个数

满足条件1的个数+满足条件2的个数+满足条件3的个数=只满足1个条件的个数+2×恰好满足2个条件的个数+3×满足3个条件的个数

根据题目给出的条件选用合适的公式，结合方程法解题是容斥原理问题的核心。

例1（2019江苏A）市电视台向150位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况，其中108人看过甲频道，36人看过乙频道，23人既看过甲频道又看过乙频道，则受调査观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是（　）。

A．17

B．22

C．29

D．38

解析 本题考查容斥原理中的二集合容斥原理，用公式法解题。设受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数为x，根据二集合容斥原理公式可列方程：108+36-23=150-x，解得x=29。因此，选择C选项。

例2（2015国考）巡检员小刘负责甲、乙、丙三个机房的巡检工作，甲、乙和丙三个机房分别需要每隔2天、4天和7天巡检一次。3月1日，小刘巡检了3个机房，问他在整个3月有几天不用做机房的巡检工作？（　）

A．12

B．13

C．14

D．15

解析 方法一：根据三集合容斥原理的标准公式可知，需要工作的天数为每隔2天巡检的天数+每隔4天巡检的天数+每隔7天巡检的天数-同时巡检甲、乙的天数-同时巡检甲、丙的天数-同时巡检乙、丙的天数+同时巡检甲、乙、丙的天数=11+7+4-3-2-1+1=17（天）。故休息的天数为31-17=14（天）。因此，选题C选项

方法二：枚举法。如下图所示。

容易看出空白格的为14天。因此，选择C选项。

二、排列组合问题

1．排列与组合公式

（1）排列：与顺序有关。

排列公式：。

（2）组合：与顺序无关。

组合公式：。

2．分类与分步

分类：是指完成一件事，需要划分几个类别，各类别内的方法可以独立完成该事。

分步：是指完成一件事，需要分为几个步骤，每个步骤内的方法只能保证完成该步。

3．加法原理与乘法原理

加法原理：分类完成的事件，将完成该事件的各类别方法总数相加。

乘法原理：分步完成的事件，将完成该事件的各步骤的方法数直接相乘。

如果题目要求几个元素相邻，可以用捆绑法：先将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。

如果题目要求几个元素不相邻，或者不在头、尾，可以用插空法：先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙。

如果题目要求一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少一个元素，可以用插板法：将比所需分组数目少1的板插入元素之间的空隙形成分组。

如果题目需要分类的情形很多，而与之相反的情形较少，可以反向思考问题。

例1（2018国家）某企业国庆放假期间，甲、乙和丙三人被安排在10月1号到6号值班。要求每天安排且仅安排1人值班，每人值班2天，且同一人不连续值班2天。问有多少种不同的安排方式？（　）

A．30

B．36

C．15

D．24

解析 第一步，分析题干，本题考查排列组合，使用枚举法。

第二步，枚举具体排列方式。从10月1号到6号值班人员分别如下：

甲、乙、丙、甲、乙、丙

甲、乙、丙、甲、丙、乙

甲、乙、丙、乙、甲、丙

甲、乙、丙、乙、丙、甲

甲、乙、甲、丙、乙、丙

以甲、乙为前两天的一共有5种安排方式，而前两天的安排方式可以为甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙共6种，所以总共的排列方式有5×6=30种。因此，选择A选项。

例2 某单位组织志愿者参加公益活动，有8名员工报名，其中2名员工超过50岁。现将他们分成3组，人数分别为3、3、2，要求2名超过50岁的员工不在同组，则不同的分组方案共有（　）。

A．120种

B．150种

C．160种

D．210种

解析 第一步，本题考查排列组合问题，属于基础排列组合。

第二步，根据要求2名超过50岁的员工不在同组，有以下2种情况：

①分别在2个三人组，有（种）情况；

②分别在1个三人组，1个二人组，有（种）情况。

第三步，不同分组的方案共有90+120=210（种）。因此，选择D选项。

三、概率问题

核心公式：

单独概率=满足条件的情况数÷总的情况数。

总体概率=满足条件的各种情况概率之和（互相排斥的情况）。

总体概率=满足条件的每个步骤概率之积（步骤相互独立）。

某条件成立的概率=1-该条件不成立的概率。

“A成立”时“B成立”的概率=A、B同时成立时的概率÷A成立的概率。

对于一般的概率问题，直接分析满足条件的情形种数与所有可能的情形总数，两者相除即得概率。在分析情形种数和所有可能总数时需用排列组合知识计算。对于分步、分类、条件概率问题则具体题目具体分析。

例1（2019江苏A）将一根绳子任意分成三段，则此三段能构成一个三角形的概率是（　）。

A．

B．

C．

D．

解析 第一步，本题考查概率问题，需结合几何性质解题。

第二步，设线段长度为a，任意分成三段长分别为x, y和a-x-y，显然有x＞0, y＞0, a-x-y＞0，将这三个约束条件画到（x, y）二维平面坐标系上，这三条直线围成了一个直角三角形即为可行域，其面积为。

第三步，根据三角形性质：任意两边之和大于第三边，也就是下面三个不等式得同时成立：

第四步，把上面三个不等式也画在平面直角坐标系中，可以看到可行域为图中灰色的小三角形，其面积为，占整个三角形的。故此三段能构成三角形的概率为。因此，选择A选项。

例2（2018江苏A）某市公安局从辖区2个派出所分别抽调2名警察，将他们随机安排到3个专案组工作，则来自同一派出所的警察不在同一组的概率是（　）。

A．2/3

B．1/4

C．1/3

D．1/2

解析 概率=满足条件的情况数÷总情况数。满足条件的情况如下：4名警察中选择3名分别安排到3个专案组共有种方式，剩余的1名警察不能跟自己同一派出所的一组，只能从另外2个小组中选择1组，有种安排方式。则共有种。第三步，总情况数如下：4名警察中选择3名分别安排到3个专案组共有种方式，剩余的1名警察随意安排到一组，有种方式。则共有种。那么概率为。因此，选择A选项。

例3（2019国家）小张和小王在同一个学校读研究生，每天早上从宿舍到学校有6:40、7:00、7:20和7:40发车的4班校车。某星期周一到周三，小张和小王都坐班车去学校，且每个人在3天中乘坐的班车发车时间都不同。问这3天小张和小王每天都乘坐同一趟班车的概率在（　）。

A．3%以下

B．3%～4%之间

C．4%～5%之间

D．5%以上

解析 概率=满足事件数÷总事件数，总事件数为：小张和小王坐班车的总情况数，为4×3×2×4×3×2，满足事件数为：小张和小王乘坐同一趟班车的情况数为4×3×2，所以答案为1/24略大于4%，因此，选择C选项。

第五节 最值问题

最值问题是数学运算中最能考查思维能力的题型之一。其中抽屉原理题型相对固定，对最不利情形的构造是关键，在最不利情形上加1即可推出答案。其他最值问题分析需要分类考虑或者从问题的反面来解决问题。

一、抽屉原理

题型判定：若题目中出现“至少（最少）……保证”，则确定是抽屉原理的题目。

解题思路主要分为两步：确定是抽屉原理的题目后，第一，分析清楚“最糟糕”或“最不利”的是什么；第二，在最不利的基础上加1。

解题方法：答案=最不利的情形+1。

例（2013国考）某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员？（　）

A．17

B．21

C．25

D．29

解析 抽屉原理。根据已知条件，四项培训，每名党员参加且只能参加两项培训，所以每名党员均有（种）选择，最不利情形是每种选择都有4人选择，故总人数至少为6×4+1=25（人）。故本题选择C。

二、构造设定

当题干中出现“最大”“最多”“至多”“最小”“最少”“至少”等字样时，我们通常考虑“构造设定法”，即通过分析题目中的各个数量之间的关系，并通过“大小或多少”关系构造出符合题目所需求的极端情况，通过简单计算即可求解。

特征：最……最……；排名第……最……

方法：按条件构造一个满足题目要求的情形。

例1（2018国考）将一块长24厘米、宽16厘米的木板分割成一个正方形和两个相同的圆形，其余部分弃去不用。在弃去不用的部分面积最小的情况下，圆的半径为多少厘米？（　）

A．

B．4

C．

D．8

解析 第一步：本题考查几何构造；

第二步：根据分割成“正方形”和两个“相同”的圆，要所弃面积“最小”，由于正方形没有丢弃的面积，所以要正方形的面积最大。则可将木板按如下图示分割：

由此圆半径为厘米。

因此，选择B选项。

例2（2017江苏A）在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分120分。按得分排名，前5名的平均分为115分，且得分是互不相同的整数，则第三名得分至少是（　）。

A．112分

B．113分

C．115分

D．116分

解析 第一步，本题考查最值问题，属于数列构造。

第二步，设第三名为x分，总分一定的情况下，为使x至少，则其他名次的分数尽可能高。由于得分是互不相同的整数，则前两名最高为120、119分，后两名最高为x-1、x-2。

第三步，根据题意可列方程：115×5=120+119+x+x-1+x-2，解得x=113。

因此，选择B选项。

三、反向构造

题型判定：题中给出多个集合，问题是“至少……都……”，那么就属于多集合反向构造。

解题方法：一般先反向求和，再做差。

例（2018国考）书法大赛的观众对5幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在选择不超过2幅作品时才为有效票。5幅作品的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。问本次投票的有效率最高可能为多少？（　）

A．65%

B．70%

C．75%

D．80%

解析 第一步，简单分析题干，本题考查反向构造。

第二步，赋值观众100人，那么5幅作品得票数分别是69、63、44、58、56，共290票。想要投票有效率“最高”，即有效投票人数最高，反向构造则无效投票人数最少。根据“不超过”，令所有有效投票观众都投2幅作品，无效人数都投5幅作品时多余票数290-100×2=90所对应的人数应该最少。因此无效人数为90÷（5-2）=30人，投票有效人数为100-30=70人，有效率是70%。

因此，选择B选项。

第六节 费用问题

费用问题与实际生活结合紧密，考查方式比较灵活。利润折扣问题涉及成本、收入、折扣等，是费用问题的重点题型。分段计费时有考查，而方案优化将逐渐成为考查的趋势。

一、利润折扣

核心公式：

售价=成本+利润，利润=售价-成本

利润率=利润÷成本=（售价-成本）÷成本=售价÷成本-1

成本=售价÷（1+利润率）

注：“售价”是实际售出价格，“定价”是期望价格。

遇到涉及折扣的问题，如果没有给出具体的售价和销售额，可以抓住题目中的等量关系，研究出变化前后的情形及其差异，结合赋值和列表来分析解题。

例（2018江苏A）一款手机按2000元单价销售，利润为售价的25%。若重新定价，将利润降至新售价的20%，则新售价是（　）。

A．1900元

B．1875元

C．1840元

D．1835元

解析 题干中涉及售价、利润等，属于基本概念型经济利润问题。手机按2000元的单价销售，利润为售价的25%，则利润为500元，那么手机的成本价为1500元。重新定价后，利润为售价的20%，那么成本为售价的80%，重新定价后手机的成本保持不变仍为1500元，所以售价为（元）。因此，选择B选项。

二、分段计费

对于分段计费的题目，需找准分段点，按区间各自计算，结合列表分析。

例（2016联考）某地居民用水价格分二级阶梯，户年用水量在0-180（含）吨的水价5元/吨；180吨以上的水价7元/吨。户内人口在5人以上，每多1人，阶梯水量标准增加30吨。老张家5人，老李家6人，去年用水量都是210吨。问老李家的人均水费比老张家少约多少元？（　）

A．12

B．35

C．47

D．60

解析 根据题意可知，老张家有5人，老李家有6人，则老张家的户年用水量在0-180（含）吨的，水价为5元/吨，超过180吨的，水价为7元/吨；老李家的户年用水量在0-210（含）的，水价为5元/吨，超过180吨的，水价为7元/吨。两家去年用水量都是210吨，则老张家的水费为180×5+（210-180）×7=1110（元），人均水费为1110÷5=222（元）；老李家的水费为210×5=1050（元），人均水费为1050÷ 6=175（元）。222-175=47（元），所以老李家的人均水费比老张家少47元，故本题选C。

三、方案优化

对于方案优化的题目，先计算出购买目标在不同购买方式下的价格，比较之后进行购买。

例（2018国考）枣园每年产枣2500公斤，每公斤固定盈利18元。为了提高土地利用率，现决定明年在枣树下种植紫薯（产量最大为10000公斤），每公斤固定盈利3元。当紫薯产量大于400公斤时，其产量每增加n公斤将导致枣的产量下降0.2n公斤。问该枣园明年最多可能盈利多少元？（　）

A．46176

B．46200

C．46260

D．46380

解析 解法一：由于紫薯每增加n公斤多盈利3n，而此时枣少盈利18×0.2n=3.6n，可见紫薯产量不应大于400公斤，即400公斤。因此枣园明年的利润为2500×18+3×400=46200。

解法二：设枣园明年的利润为y元，则y=18×（2500-0.2n）+3×（400+n），化简得y=46200-0.6n；

由y=46200-0.6n可知随着n值的增加，y值不断减小，所以n应该尽可能取小值，故让n=0。当n=0时，y=46200，则枣园明年的利润最多为46200元。

因此，选择B选项。

第七节 行程问题

一、基本行程问题

核心公式：路程=速度×时间。

由此公式进一步可得：路程的比例=速度的比例×时间的比例。

由此可得三条推论：

当时间相同时，路程之比等于速度之比；

当速度相同时，路程之比等于时间之比；

当路程相同时，速度之比等于时间反比。

等距离平均速度公式：v1与v2所经历的路程相同，则平均速度。

火车过桥公式：桥长+车长=火车速度×过桥时间。

从行程问题基本公式出发，针对路程、速度、时间三项，先看题目待求量，然后返回题目中寻找其余两个量，根据基本公式列方程，是解决基本行程问题、相遇追及问题和流水行船问题的常规方法。在较复杂的行程题目中，也可以借助画图来寻找相应的等量关系。

例1（2018江苏B）甲乙丙分别骑摩托车、乘大巴、打的从A地去B地。甲的出发时间分别比乙、丙早15分钟、20分钟，到达时间比乙、丙都晚5分钟。已知甲、乙的速度之比是2∶3，丙的速度是60千米/小时，则AB两地间的距离是（　）

A．75千米

B．60千米

C．48千米

D．35千米

解析 本题考查行程问题。根据路程一定，速度和时间成反比，可得甲乙走完全程的时间之比是3∶2。由“甲的出发时间比乙早15分钟，到达时间比乙晚5分钟”可知甲走完全程的时间比乙多20分钟，即甲走完全程的时间是60分钟。由条件“甲的出发时间比丙早20分钟，到达时间比丙晚5分钟”，可知甲走完全程的时间比丙多25分钟，故丙走完全程的时间是60-25=35分钟，且丙的速度是60千米/小时，故AB两地的距离是千米。因此，选择D选项。

例2（2018江苏C）“和谐号”高速列车从甲地出发向相距1300千米的乙地行驶。列车分别以250千米/小时和300千米/小时的平均速度在两种不同路况的路段上行驶，4.5小时恰好走完全程，则这两种路段的里程数之差是（　）。

A．600千米

B．700千米

C．800千米

D．1050千米

解析 标记“相距”“速度”“时间”，考查行程问题。设以250千米/小时和300千米/小时行驶的时间分别为x小时和y小时，则可列式，250x+300y=1300①; x+y=4.5②。令①-②×250=50y=175，则300y=1050,250x=1300-1050=250，可得300y-250x=1050-250=800千米。因此，选择C选项。

二、相遇追及问题

核心公式：

相遇距离=（速度1+速度2）×相遇时间；

追及距离=（速度1-速度2）×追及时间。

对于两人从两地相向出发相遇后到达另一地再返回相遇的问题（必须是两者都到达另一地返回），如果用S1、S2表示两次相遇地点分别距离某起点的距离，S表示两点间的距离，则第一次相遇两人分别走过S1, S-S1，第二次相遇两人分别走过S+（S-S2）, S+S2。根据速度之比等于路程之比，S1∶（S-S1）=（2S-S2）∶（S+S2），有如下公式：

同理所得两边型公式：S=3S1-S2（S1、S2指的是两次相遇地点分别距离两个起点的距离，S表示两点间的距离）。

例（2018江苏A）甲乙两车分别以96千米/小时、24千米/小时的速度在一长288千米的环形公路上行驶。如果甲乙两车在同一地点、沿同一方向同时出发，甲每次追上乙时甲减速1/3，而乙增速1/3，则当甲乙速度相等时甲所行驶的路程是（　）。

A．950千米

B．960千米

C．970千米

D．980千米

解析 甲的初始速度为96，乙的初始速度为24，在第一次相遇后，甲的速度变为64，乙的速度变为32，第二次相遇后，甲乙速度都变为，只需计算出甲、乙第二次相遇时，甲走过的路程即可。第一次相遇用时为t1，则288=（96-24）×t1, t1=4（小时），这段时间内甲走的路程为96×4=384（千米）；第一次相遇到第二次相遇用时为t2，则288=（64-32）×t2, t2=9（小时），这段时间内甲走的路程为64×9=576千米。那么甲走行驶的总路程为384+576=960（千米）。因此，选择B选项。

三、间歇变速问题

对于出现行进中速度变化的问题，根据运动物体的运动轨迹寻找相应的等量关系，一般考虑找关于时间的等量关系。而对于在行进中出现休息时间的问题，可以将行进和休息的时间看成一个整体来考虑平均速度，但是在追及前后要具体分析。

例（2016国考）A地到B地的道路是下坡路。小周早上6:00从A地出发匀速骑车前往B地，7:00时到达两地正中间的C地。到达B地后，小周立即匀速骑车返回，在10:00时又途经C地。此后小周的速度在此前速度的基础上增加1米/秒，最后在11:30回到A地。问A、B两地间的距离在以下哪个范围内？（　）

A．小于30公里

B．30—40公里

C．40—50公里

D．大于50公里

解析 利用行程问题基本公式：路程=速度×时间。已知C为中点，6点出发，7点到达C，则8点到达终点；则返回过程中前一半路程所用时间为2小时，设速度为v千米/小时；后一半路程所用时间为1.5小时，速度为（v+3.6）千米/小时（1米/秒=3.6千米/小时），则有2v=1.5（v+3.6），解得v=10.8，则全程为4v=4×10.8=43.2（千米）。因此，本题选C。

四、流水行船问题

核心公式：

流水行船问题：顺流航程=（船速+水速）×顺流时间；

逆流航程=（船速-水速）×逆流时间。

电梯运动问题：电梯梯级=（人速+电梯速度）×沿电梯运动方向到达时间；

电梯梯级=（人速-电梯速度）×逆电梯运动方向到达时间。

流水行船与扶梯上下本质上是一类题目，只不过扶梯上下型题目中电梯的总级数即为总路程，每人每秒走过的电梯级数即为速度。

例（2014江苏C）甲、乙两船分别从上游和下游同时出发，甲顺流而下，乙逆流而上，相遇时甲、乙走过的路程之比为3∶1，两船相遇后各自立即掉头沿原路返回，甲、乙各自返回到出发点所用时间之比为5∶1。设船速和水流速度均不变，则甲船速度与乙船速度的比值是（　）。

A．

B．

C．

D．

解析 设甲船、乙船、水的速度分别为V甲、V乙、V水，相遇时甲、乙走过的路程之比是3∶1，走过的时间相同，那么甲、乙速度之比也是3∶1，返回到出发点所用时间之比是5∶1，那么甲、乙速度之比为3∶5，即（V甲+V水）∶（V乙-V水）=3∶1,（V甲-V水）∶（V乙+V水）=3∶5，解得V甲∶V乙=9∶7。正确答案为C。

第八节 几何问题

几何问题有两类，一类是考查利用平面几何和立体几何的原理运算或空间想象能力，如面积、体积计算等；另一类是考查结合几何知识的计数问题，如植树、方阵、染色问题等。立体几何是几何问题中的重点题型，而几何计数又是几何问题中的难点问题。

一、平面几何问题

周长公式：

C正方形=4a; C长方形=2（a+b）; C圆=2πR

面积公式：

S正方形=a2; S长方形=ab; S圆=πR2；

1．等量最值原理

周长相同的平面几何图形，越接近于圆，面积越大；

面积相同的平面几何图形，越接近于圆，周长越小。

2．等比放缩特性

若一个平面几何图形尺度变为原来的N倍，则周长变为原来的N倍，面积变为原来的N2倍。

3．三角形三边关系

在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方。

规则的几何问题一般直接运用公式进行求解，某些时候需要列方程。不规则的几何问题，可以通过等量转化、割补平移、替代等方法，将不规则的图形转化为规则的图形进行求解。

例1（2019江苏A）平行四边形ABCD如下图所示，E为AB上的一点，F、G分别是AC和DE、DB的交点。若AB=3AE，则四边形BEFG与ABCD的面积之比是（　）。

A．2∶7

B．3∶13

C．4∶19

D．5∶24

解析 第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用赋值法解题。

第二步，题干没给出具体数值，可以采用赋值法解题。赋值AB=3，平行四边形ABCD的高为4，则AE=1；由于△AEF相似于△CDF，则两个三角形的高之比为AE:DC=1∶3，可知△AEF的高为。△ABG与△CDG全等，则△ABG的高为4÷2=2。

第三步，四边形BEFG面积=△ABG面积-△AEF面积=。四边形ABCD面积=3×4=12，两者之比为。因此，选择D选项。

例2（2018江苏A）如图，在长方形ABCD中，已知三角形ABE、三角形ADF与四边形AECF的面积相等，则三角形AEF与三角形CEF的面积之比是（　）。

A．5∶1

B．5∶2

C．5∶3

D．2∶1

解析 解法一：三角形ABE、三角形ADF与四边形AECF的面积相等，则三者各占长方形ABCD面积的。连接辅助线AC，则三角形ACD的面积为长方形的。

三角形ADF与三角形ACD的高相同，都为AD，三角形高相同，底边之比等于面积之比，则FD∶CD=2∶3，所以CF=CD，同理CE=BC，因此三角形CEF的面积为长方形面积的，则三角形AEF的面积为长方形面积的，所以两者面积之比为5∶1。

解法二：赋值长方形的长为6，宽为3，则长方形的面积为18。三角形ABE、三角形ADF与四边形AECF的面积相等，则三者的面积各为6。那么FD的长为4, CF长2，同理CE的长为1，则三角形CEF的面积为1，三角AEF的面积为6-1=5，则两者的面积之比为5∶1。因此，选择A选项。

二、立体几何问题

1．等量最值原理

表面积相同的立体几何图形，越接近于球，体积越大；

体积相同的立体几何图形，越接近于球，表面积越小。

2．等比放缩特性

若一个立体几何图形尺度变为原来的N倍，则表面积变为原来的N2倍，体积变为原来的N3倍。

例（2016国考）将一个8厘米×8厘米×1厘米的白色长方体木块的外表面涂上黑色颜料，然后将其切成64个棱长1厘米的小正方体，再用这些小正方体堆成棱长4厘米的大正方体，且使黑色的面向外露的面积要尽量大，问大正方体的表面上有多少平方厘米是黑色的？（　）

A．88

B．84

C．96

D．92

解析 白色长方体可以看做64个小正方体平铺，由4个角，24个棱和36个中间小正方体构成，角上的4个小正方体有4个面被刷成了黑色，棱上的24个小正方体连续的3个面被刷成了黑色，中间的36个小正方体相对的2个面被刷成了黑色；拼成的大正方体有8个角，24个棱和24个单面，拼接时有4个角需用之前棱上的小正方体替换，每替换一次缺一个黑色面，角上共缺了4个；由于4个棱上的正方体替换到了角上，此时棱上又少了4个小正方体，需用对面为黑色的小正方体替换，每替换一次缺一个黑色面，棱上共缺了4个。大正方体的表面积为4×4×6=96（平方厘米），大正方体的表面上共有96-4-4=88（平方厘米）是黑色的。因此，本题选A。

三、几何计数问题

1．剪绳计数

绳子的段数总是比切口数多1。

一根绳子连续对折N次，从中剪M刀，则绳子被剪成（2N×M+1）段。

2．植树问题

单边线形植树：棵数=总长÷间隔+1，总长=（棵数-1）×间隔；

单边环形植树：棵数=总长÷间隔，总长=棵数×间隔；

单边楼间植树：棵数=总长÷间隔-1，总长=（棵数+1）×间隔；

双边植树：只需要把单边植树的数目乘以2即可。

3．方阵问题

M排N列的方阵人数为（M×N）人，最外层人数为2M+2N-4，相邻两圈的人数都满足外圈比内圈多8人。

几何计数问题有些是标准的应用题，如剪绳、植树、方阵问题等，这些问题可以利用经验公式求解。有些则是需要具体分析的问题，如染色问题等。

例（2016国考）某新建小区计划在小区主干道两侧种植银杏树和梧桐树绿化环境。一侧每隔3棵银杏树种1棵梧桐树，另一侧每隔4棵梧桐树种1棵银杏树，最终两侧各栽种了35棵树。问最多栽种了多少棵银杏树？（　）

A．33

B．34

C．36

D．37

解析 由题干可得，一侧每4棵树就有3棵银杏树，而35÷4=8……3，因此35棵树里最多有3×8+3=27（棵）银杏树，同理，另一侧每5棵树就有1棵银杏树，35÷5=7，另一侧最多有1×7=7（棵）银杏树。所以，最多栽种银杏树为27+7=34（棵），本题选择B项。

第九节 初等数学问题

初等数学问题是一类和数的性质紧密结合的问题。约数、倍数、数列与平均数是考查的重点题型。余数问题、多位数问题、星期、日期问题时有考查。运算问题因不能很好体现对分析能力的考查，很少出现。

一、约数倍数问题

约数倍数问题：核心是最大公约数与最小公倍数。最大公约数与最小公倍数描述的是数与数之间的关系，在解题中常有应用。因此，掌握两者的求法是很必要的。

1．最大公约数的求法：

（1）分解质因数法：先分解质因数，然后取相同因数的乘积。例如：2475=32×52×11,630=2×32×5×7，故2475与630的最大公约为32×5=45。

（2）短除法：从小到大依次求出两数的公约数，直至两商互质，然后取所有公约数之积。例如：

即2475与2310的最大公约数为3×5×11=165。

2．最小公倍数的求法：

（1）分解质因数法：先分解质因数，然后取所有不同底数的最高次幂的乘积。

例如：2100=22×3×52×7,990=2×32×5×11，故2100与990的最小公倍数为22×32×52×7×11=69300。

（2）短除法：从小到大依次求出两数的公约数，直至两商互质，然后取所有公约数与最后两商之积。例如：

即2100与990的最小公倍数为2×3×5×70×33=69300

例1（2018江苏B）已知正月初六从某火车站乘车出行旅客人数恰好是正月初五的8.5倍，且恰好比正月初七少9%，则正月初七从该火车站乘车出行的旅客人数至少是（　）。

A．850人

B．1300人

C．1700人

D．3400人

解析 由“……是……的8.5倍，且比……少9%”，得初六人数=初五人数×=初七人数×，根据数字特性，可知初七人数为100、17的倍数。结合选项，人数至少为1700人。因此，选择C选项。

例2（2016国考）某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔2天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？（　）

A．5

B．2

C．6

D．3

解析 “每隔2天”即每3天，“每隔3天”即每4天，因此题中两部门每3×4=12（天）同时为发布日，一个自然月内有31÷12≈2.6（天）或30÷12=2.5（天），因此只有在两部门同时在每月1号开始发布信息的情况下，一个自然月内最多有3天同时为发布日。本题选择D项。

二、数列与平均数问题

公务员考试中，数列与平均数问题是经常考查的题型之一。数列问题经常会考查求数列第N项、数列求和两种类型，而平均数分为算术平均数、加权平均数、调和平均数等，以算术平均数的考查最多。

1．等差数列

（1）通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差

（2）项数公式：

（3）求和公式：和=（首项+末项）×项数=平均数×项数=中位项×项数。（等差数列中平均数=中位项）

（4）对称公式：若m+n=i+j，则am+an=ai+aj

2．平均数

（1）算术平均数：

（2）调和平均数：

（3）加权平均数：，其中，w1, w2, w3, …, wn分别为x1, x2, x 3, …, xn的权（weight）

例（2013国考）小王参加了五门百分制的测验，每门成绩都是整数。其中语文94分，数学的得分最高，外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分，并且是五门中第二高的得分。问小王的物理考了多少分？（　）

A．94

B．95

C．96

D．97

解析 因为“外语是语文和物理的平均数”，所以物理分数必须是偶数，排除B、D两项。若物理为94，那么外语也是94，化学96，数学更高，平均分不可能是94，矛盾。因此，本题选C。

三、余数问题

基本公式：被除数=商×除数+余数（0≤余数＜除数）。

对于一个数除以三个数余数的不同情况，可以根据下列口诀快速得到被除数的表达式：

余同取余：例如，“一个数除以7余1，除以6余1，除以5余1”，可见所得余数恒为1，则取1，被除数的表达式为210n+1；

和同加和：例如，“一个数除以7余1，除以6余2，除以5余3”，可见除数与余数的和相同，取此和8，被除数的表达式为210n+8；

差同减差：例如，“一个数除以7余3，除以6余2，除以5余1”，可见除数与余数的差相同，取此差4，被除数的表达式为210n-4。特别注意前面的210是5、6、7的最小公倍数，此即公倍数做周期。

例（2015江苏A）一群大学生进行分组活动，要求每组人数相同，若每组22人，则多出一人未分进组；若少分一组，则恰好每组人数一样多，已知每组人数最多只能32人，则该群学生总人数是（　）。

A．441

B．529

C．536

D．528

解析 由题干“每组22人，则多出一人未分进组”可知，学生总人数减去1可以整除22。C、D两项的数字减去1后均为奇数，无法整除22，排除。将A、B两项的数字直接代入进行验证：A项的441=22×20+1≠19×19，排除；B项的529=22×24+1=23×23，满足题干所有条件。故本题选B。

四、多位数问题

多位数问题：主要涉及一位数、两位数、三位数等多位数的构造、求值以及判定位置等问题。在这类问题中，考查重点是考生的分析能力，需要考生能够将题目条件迅速转化为相应的数字形式。

1．位值原理

（1）若某数的个位、十位、百位……依次为a, b, c…则该数的值为a×100+b×101+c×102+…；

（2）若某数的个位、十分位、百分位……依次为a, b, c…则该数的值为a×100+b×10-1+c×10-2+…

2．页码问题

（1）三位数页码：页码=（数字+111）÷3-1=数字÷3+36；

（2）四位数页码：页码=（数字+1111）÷4-1=（数字+1107）÷4。

例（2016江苏B）将所有由1、2、3、4组成且没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列，则排在第12位的四位数是（　）。

A．3124

B．2341

C．2431

D．3142

解析 因为是从小到大排列，则需按千位上的数字为1、2、3、4依次进行考虑。当千位上的数字为1时，共有=6（种）可能；当千位上的数字为2时，同样有=6（种）可能。因此，排在第12位的四位数是千位数为2的最大的数字，即2431。故本题选C。

五、星期、日期问题

1．平年闰年基本判定公式

2．大月小月判定公式

3．方法技巧

“隔N天”指的是“每（N+1）天”，但“隔N小时”指的是“每N小时”。

当条件中出现“连续多个日期之和”或“连续某个星期几的日期之和”时，这些日期一般都是等差数列，可以通过计算其“平均数”来定位这些日期的“中位数”从而完成答题。但是需注意可能有“跨月”的情况发生，此时这些日期不再构成等差数列。所以如果按照连续数字的方法得不到正确答案时，应该考虑“跨月”的特殊情况。

如果所有的年都不是闰年，那么每年都是365天，而365÷7=52……1，那么提问“365天之后（即1年之后）星期几”就等同于提问“1天之后星期几”，提问“N年之后星期几”就等同于提问“N天之后星期几”，即把任何一年当作一天。而事实上，闰年跟平年比仅仅多了一个“2月29日”，那么在进行实际计算的时候，我们先假设“一年就是一天”，再计算两个日期之间包含了多少个“2月29日”，再把这些天补上即可。

例（2015江苏B）某年的3月有5个星期一和4个星期二，则该年的国庆节是（　）。

A．星期二

B．星期三

C．星期四

D．星期五

解析 星期日期问题。因为该年的3月有5个星期一和4个星期二，那么3月31日必定是星期一，从4月1日到9月30日共有183天，183÷7=26……1，则9月30日是星期二，所以该年的国庆节是星期三。故本题答案为B。

六、运算问题

运算问题在公务员中考查的比较少。除了一般的等式计算，还有新定义运算，等式计算技巧性比较强，新定义运算按照定义列式计算即可，这部分内容考查很少，不要求掌握。

常用公式：

1．运算律

（1）加法运算律：加法交换律a+b=b+a；

加法结合律a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）

（2）乘法运算律：

乘法交换律：a×b=b×a；

乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）；

乘法分配律：a×（b+c）=a×b+a×c

2．乘法公式

（1）完全平方公式：（a ± b）2=a 2 ±2ab+b 2；

（2）平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；

（3）立方和（差）公式：（a ± b）（a2∓ab+b2）=a3± b3；

（4）多项式平方公式：（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；

（5）二项式定理：（a ± b）3=a 3 ±3a 2 b+3ab 2 ± b 3；

（a ± b）4=a 4 ±4a 3 b+6a 2 b 2 ±4ab 3+b 4

3．裂项相消

（1）两项分母裂项公式：；

（2）三项分母裂项公式：

例（2013江苏C）如果x⊕y=x2+y2，则3⊕1⊕3=（　）。

A．109

B．100

C．120

D．160

解析 原式=（32+12）2+32=100+9=109。所以选择A。

第十节 杂类问题

杂类问题在数学运算中出现较少，但其中的比赛问题、统筹推断问题都是数学运算中的难点题型；年龄问题、过河爬井问题、空瓶换酒问题都有公式可以套用，难度不大。

一、年龄问题

年龄问题经验总结：

（1）每过N年，每个人都长N岁。

（2）两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的。

（3）两个人的年龄倍数关系随着时间推移而变小。

例1（2017国考）某人出生于20世纪70年代，某年他发现从当年起连续10年自己的年龄均与当年年份数字之和相等（出生当年算0岁）。问他在以下哪一年时，年龄为9的整数倍？（　）

A．2006年

B．2007年

C．2008年

D．2009年

解析 解法一：若该人连续10年自己的年龄与当年年份数字之和相等，也就是说，年龄的增长是和年份数字之和的增长同步的，所以这10年一定是在一个年代当中。因为该人出生于70年代（1970—1979），显然年份数字之和不可能与年龄相等。80年代的话，1980年时，年份数字之和是18，而该人年龄不可能达到18岁，也不符合题中条件。所以只能在90年代出现，1990年时，年份数字之和为19，即该人年龄也为19，所以该人生于1971年，正好从1990—1999年10年间，符合年龄和当年年份数字之和相等的条件。将选项代入，可知当2007年时，该人年龄为36岁，是9的整数倍。故本题选B。

解法二：某人连续10年年龄均为当年年份数字之和，根据题意和提问可知，本题考查的意图极有可能是哪一年的年份数字之和是9的整数倍，排除A、C、D，选B。

例2（2011国考）某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁？（　）

A．34

B．36

C．35

D．37

解析 设A、B、C三个部门的人数分别为x、y、z，则，30（x+y）=38x+24y→x∶y=3∶4;34（y+z）=24y+42z→y∶z=4∶5，故A、B、C三个部门的人数之比为3∶4∶5。则该单位全体人员的平均年龄为：（38×3+24×4+42×5）÷（3+4+5）=35（岁）, C项正确。

二、统筹推断问题

统筹推断问题是数学运算中难度最大的题型之一，通常这类题目需要非常快速地分析思考，考试中建议跳过这类题目先做其他题目。

例（2018江苏A）燃气公司欲在某新建楼盘内铺设天然气管道连通所有住宅楼，楼与楼之间可铺设管道的路线如图所示，圆圈表示各住宅楼，线段及线上数字表示路线及其长度（单位：百米），则铺设的管道最短长度是（　）。

A．1800米

B．1850米

C．1950米

D．2000米

解析 要使铺设的管道长度最短，则应该选择最短的路线去铺设。C楼在中间，所以从C楼为中心，铺设管道。从C楼出发到达A、E、D的距离分别为4、3、2.5，还有F、B需要连接，如果直接从C出发，距离为6.5、8，并不是最短的，而应该从A连接F，距离为3，从D连接B，距离为6。所以共计需要铺设的最短距离为4+3+2.5+3+6=18.5（百米）。因此，选择B选项。

三、过河爬井问题

过河爬井问题的关键在于过河需要有人把船划回来，而爬井会滑回去一段距离，这和行程问题中的周期停歇是类似的问题。处理的方法是将来回一次看成完整过程，对于最后一段则仔细分析。

例 某旅游团有37名游客需要到河对岸去野营，现仅有一条船，每次最多载7人（其中需1人划船），往、返一次各需5分钟，如果9时整开始渡河，游客全部渡到河对岸的时间最早是（　）。

A．9点45分

B．9点50分

C．9点55分

D．9点60分

解析过河问题，结合公式，总共需要渡过=6（次），因为“往、返一次各需要5分钟”，最后一次不需要返回来，所以渡河所用总时间为11×5=55（分钟），所以全部到达对岸的时间最早是9点55分，故答案为C。

四、比赛问题

比赛问题经验总结：

N支队伍的比赛所需场次

例1 某高校组织了篮球比赛。其中机械学院队、外语学院队、材料学院队和管理学院队被分在同一个小组，每两队之间进行一场比赛且无平局。结果机械学院队赢了管理学院队，且机械学院队、外语学院队和材料学院队胜利的场数相同，则管理学院队胜了多少场？（　）

A．3

B．2

C．1

D．0

解析 4个队伍两两之间进行比赛，一共有=6（场），机械学院队至少赢了1场，3个队的胜利场次相同，其胜利场数为1或者2，假设胜利场数为1，则管理学院队要赢下6-3×1=3（场）比赛，这与管理学院队输给机械学院队矛盾，因此，3个队都赢了2场，管理学院队赢了6-3×2=0（场）。故本题选D。

例2 某乒乓球俱乐部决定举办一场所有会员间的循环赛，经俱乐部委员会计算，所需比赛场数刚刚超过2000场，即使省略掉委员会委员们之间的比赛，场数仍有2001场，那么这个乒乓球俱乐部有（　）个委员。

A．6

B．7

C．8

D．9

解析 循环赛场次计算公式为，，设总人数为N，委员为x个，则，先忽略委员们的影响，比2001×2=4002大且最近的平方数为642（与40最接近的为36=62,612=3721,622=3844,632=3969,642=4096），求得，比2001多出15场，此为委员们之间的比赛次数，即, x=6。故本题选A。