第一章　有理数

第一节　有理数及相关概念

学习目标

1. 掌握有理数的概念，能对有理数进行分类.

2. 掌握数轴、相反数、绝对值的概念并能灵活应用.

3. 借助数轴理解相反数、绝对值的几何意义；初步理解数形结合和分类讨论思想.

知识精讲

1. 正数和负数.

（1）正数：像3，1.6%，这样大于0的数叫作正数.

（2）负数：像-3，-2.5%，-2.5这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫作负数.

注：正数前面的“+”号一般省略不写，而负数前面的“-”号不能省略.

2. 有理数：整数与分数统称有理数.

3. 有理数的分类：

注：① 小学学过的π不是有理数，而是无理数.

② “四非”：即非负数、非负整数、非正数、非正整数. （不要丢掉“0”）

③ “0”既不是正数也不是负数.

④

4. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.

注：数轴的三要素是原点、正方向、单位长度.

5. 相反数：只有符号不同的两个数叫作互为相反数. 特别地，0的相反数是0.

注：① 若a与b互为相反数，则a+b=0，反之也成立.

②若两个数互为相反数，则这两个数位于原点的两侧，且到原点的距离相等.

③-a不一定是负数. +a代表a本身（不一定是正数）.

6. 绝对值.

（1）绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离. 数a的绝对值记作|a|.

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

注：① 任何一个数a的绝对值都是非负数，即|a|≥0.

② 即“非负为本身，负数为相反”.

7. （1）倒数：若a与b的乘积等于1，则称a与b互为倒数；反之，若a与b互为倒数，则a·b=1.

注：① 0没有倒数；中a≠0.

② 求带分数的倒数时要先将其变成假分数，然后再求倒数.

③ 求小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数.

※（2）负倒数：若a与b的乘积是-1，则称a与b互为负倒数. 反之，若a与b互为负倒数，则a·b=-1.

注：※本知识点课标不做要求.

方法提炼

1. 比较有理数大小的常用方法.

（1）代数法：正数大于非正数，零大于一切负数.

（2）数轴法：数轴上右边的数比左边的数大.

（3）绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小.

（4）特殊值法：给题目中的字母一个特定的值，然后代入求值，进而比较大小.

（5）作差法：（a-b>0⇔a>b；a-b=0⇔a=b，a-b<0⇔a<b）

2. 数学思想.

（1）初步理解分类讨论的思想. 分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结果，最后综合各类结果得到整个问题的解答. 实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.

（2）体会数形结合思想. 本章中的“数”就是有理数，“形”就是数轴，由于任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，因此运用数形结合思想可解决与数轴有关的问题.

典例精析

例题1. 下列说法中正确的个数是（　）.

（1）|a|一定大于0；（2）-a一定是负数；（3）|-m|的倒数一定是；（4）-|a|-1一定是负数；（5）若a·b=0，则a，b均为0；（6）若|x|=|y|，则x与y相等或互为相反数；（7）若|x|+|y|=0，则x，y中至少有一个为0.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【思路点拨】　|a|≥0，-|a|-1<0，∴（1）错误，（4）正确. a可以表示正数、0和负数，∴-a不一定是负数，∴（2）错误. |-m|的倒数为，且m≠0，∴（3）错误. a·b=0，a，b至少有一个为0，∴（5）错误. 两数相等或互为相反数，则这两个数的绝对值相等，∴（6）正确. |x|+|y|=0，则x=y=0，∴（7）错误.