1.1　数据结构与算法

考点1　算法

1.算法的基本概念

算法是指一系列解决问题的清晰指令。

（1）算法的基本特征。

·可行性：针对实际问题而设计的算法，执行后能够得到满意的结果，即必须有一个或多个输出，即使在数学理论上是正确的，如果在实际的计算工具上不能执行，则该算法也是不具有可行性的。

·确定性：是指算法中每一步骤都必须是有明确定义的。

·有穷性：是指算法必须能在有限的时间内做完。

·拥有足够的信息：一个算法是否有效，还取决于为算法所提供的信息是否足够。

（2）算法的基本要素。

算法一般由两种基本要素构成：

·对数据对象的运算和操作；

·算法的控制结构，即运算和操作时间的顺序。

算法中对数据的运算和操作：算法就是按解题要求从指令系统中选择合适的指令组成的指令序列。因此计算机算法就是计算机能执行的操作所组成的指令序列。不同的计算机系统，指令系统是有差异的，但一般的计算机系统中包括的运算和操作有4类：算术运算、逻辑运算、关系运算和数据传输。

算法的控制结构：算法中各操作之间的执行顺序称为算法的控制结构。算法的功能不仅取决于所选用的操作，还与各操作之间的执行顺序有关。基本的控制结构包括顺序结构、选择结构和循环结构。

（3）算法设计的基本方法。

算法设计的基本方法有列举法、归纳法、递推法、递归法、减半递推技术和回溯法。

2.算法复杂度

算法的复杂度主要包括时间复杂度和空间复杂度。

（1）算法的时间复杂度。

所谓算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。

一般情况下，算法的工作量用算法所执行的基本运算次数来度量，而算法所执行的基本运算次数是问题规模的函数，即：

算法的工作量=f（n）

其中n表示问题的规模。该表达式表示随着问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同。

在同一个问题规模下，如果算法执行所需的基本运算次数取决于某一特定输入时，可以用两种方法来分析算法的工作量：平均性态分析和最坏情况分析。

（2）算法的空间复杂度。

算法的空间复杂度一般是指执行这个算法所需要的内存空间。算法执行期间所需要的存储空间包括以下3个部分：

·算法程序所占的空间；

·输入的初始数据所占的存储空间；

·算法执行过程中所需要的额外空间。

在实际操作中，为了减少算法所占的存储空间，通常采用压缩存储的技术，用于减少不必要的额外空间。

考点2　数据结构的基本概念

1.数据结构的定义

数据结构是指相互有关联的数据元素的集合，即数据的组织形式。

（1）数据的逻辑结构。

所谓数据的逻辑结构，是指反映数据元素之间逻辑关系（即前后件关系）的数据结构。它包括两个要素，数据元素的集合和数据元素之间的关系。

（2）数据的存储结构。

数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式称为数据的存储结构（也称为数据的物理结构）。数据结构的存储方式包括顺序存储方法、链式存储方法、索引存储方法和散列存储方法。而采用不同的存储结构，其数据处理的效率是不同的。因此，在进行数据处理时，选择合适的存储结构是很重要的。

数据结构研究的内容主要包括3个方面：

·数据集合中各数据元素之间的逻辑关系，即数据的逻辑结构；

·在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构；

·对各种数据结构进行的运算。

2.数据结构的图形表示

数据元素之间最基本的关系是前后件关系。前后件关系，即每一个二元组，都可以用图形来表示。用中间标有元素值的方框表示数据元素，一般称为数据结点，简称为结点。对于每一个二元组，用一条有向线段从前件指向后件。

图形表示数据结构具有直观易懂的特点，在不引起歧义的情况下，前件结点到后件结点连线上的箭头可以省略。例如，树型结构中，通常都是用无向线段来表示前后件关系的。

3.线性结构与非线性结构

根据数据结构中各数据元素之间前后件关系的复杂程度，一般将数据结构分为两大类型，即线性结构和非线性结构。

如果一个非空的数据结构满足有且只有一个根结点，并且每个结点最多有一个前件，也最多有一个后件，则称该数据结构为线性结构，又称线性表。如果不满足上述条件的数据结构则称为非线性结构。

真题精选

下列叙述中正确的是_____。

A）程序执行的效率与数据的存储结构密切相关

B）程序执行的效率只取决于程序的控制结构

C）程序执行的效率只取决于所处理的数据量

D）以上三种说法都不对

【答案】A

【解析】在计算机中，数据的存储结构对数据的执行效率有较大影响，如在有序存储的表中查找某个数值比在无序存储的表中查找的效率高很多。

考点3　线性表及其顺序存储结构

1.线性表的基本概念

数据结构中，线性结构又称为线性表，线性表是最简单也是最常用的一种数据结构。

线性表是由n（n≥0）个数据元素a₁，a₂，…，a_n组成的一个有限序列，表中的第一个元素外，有且只有一个前件，除了最后一个元素外，有且只有一个后件。

线性表或者是个空表，或者可以表示为：

（a₁，a₂，…，a_i，…，a_n）

其中，a_i（i=1，2，…，n）是线性表的数据元素，也称为线性表的一个结点。

每个数据元素在不同情况下其具体含义各不相同，它可以是一个数或一个字符，也可以是一个具体的事物，甚至是更复杂的信息。但是需要注意的是同一线性表中的数据元素必定具有相同的特性，即属于同一数据对象。

2.线性表的顺序存储结构

将线性表中的元素逐个存储在一片相邻的存储区域中。这种顺序表示的线性表也称为顺序表。

线性表的顺序存储结构具有以下两个基本特点。

·元素所占的存储空间必须是连续的。

·元素在存储空间的位置是按逻辑顺序存放的。

从上述特点也可以看出，线性表是用元素在计算机内物理位置上的相邻关系来表示元素之间逻辑上的相邻关系。只要确定了首地址，线性表内任意元素的地址都可以方便地计算出来。

3.线性表的插入运算

线性表的插入运算中，在第i个元素之前插入一个新元素，完成插入操作主要有以下3个步骤。

（1）把原来第n个结点至第i个结点依次往后移一个元素位置。

（2）把新结点放在第i个位置上。

（3）修正线性表的结点个数。

如果需要在线性表末尾进行插入运算，则只需在表的末尾增加一个元素即可，不需要移动线性表中的元素。

如果在第一个位置插入新的元素，则需要移动表中所有的元素。

4.线性表的删除运算

在线性表的删除运算中，删除第i个位置的元素，则要从第i＋1个元素开始，直到第n个元素之间共n-i个元素依次向前移一个位置，完成删除运算主要有以下几个步骤。

（1）把第i个元素之后（不包括第i个元素）的n-i个元素依次前移一个位置。

（2）修正线性表的结点个数。

综上所述，如果删除运算在线性表的末尾进行，即删除第n个元素，则不需要移动线性表中的元素。如果要删除第1个元素，则需要移动表中所有的数据。

真题精选

【例1】下列有关顺序存储结构的叙述，不正确的是_____。

A）存储密度大

B）逻辑上相邻的结点物理上不必邻接

C）可以通过计算机直接确定第i个结点的存储地址

D）插入、删除操作不方便

【答案】B

【解析】顺序存储结构要求逻辑上相邻的元素物理地址上也相邻，所以只有选项B叙述错误。

【例2】在一个长度为n的顺序表中，向第i个元素（1≤i≤n＋1）的位置插入一个新元素，需要从后向前依次移动_________个元素。

A）n-i

B）i

C）n-i-1

D）n-i＋1

【答案】D

【解析】根据顺序表的插入运算的定义知道，在第i个位置上插入x，从a_i到a_n都要向后移动一个位置，所以共需要移动n-i＋1个元素。

考点4　栈和队列

1.栈及其基本运算

（1）栈的基本概念。

栈实际上也是线性表，只不过是一种特殊的线性表。在这种特殊的线性表中，其插入运算与删除运算都只在线性表的一端进行。

在栈中，允许插入与删除的一端称为栈顶（top），另一端称为栈底（bottom）。若栈中没有元素称为空栈，栈也被称为“先进后出”表，或“后进先出”表。

（2）栈的特点。

根据栈的上述定义，栈具有以下特点。

·栈顶元素总是最后被插入的元素，也是最早被删除的元素。

·栈底元素总是最早被插入的元素，也是最后才能被删除的元素。

·栈具有记忆作用。

·在顺序存储结构下，栈的插入和删除运算都不需要移动表中其他数据元素。

·栈顶指针top动态反映了栈中元素的变化情况。

（3）栈的顺序存储及其运算。

栈的状态如图1.1所示。

图1.1　栈的状态

根据栈的状态，可以得知栈的基本运算有以下3种。

·入栈运算：在栈顶位置插入一个新元素。

·退栈运算：取出栈顶元素并赋给一个指定的变量。

·读栈顶元素：将栈顶元素赋给一个指定的变量。

2.队列及其基本运算

（1）队列的基本概念。

队列是指允许在一端进行插入，而在另一端进行删除的线性表。允许插入的一端称为队尾，通常用一个称为尾指针（rear）的指针指向队尾元素；允许删除的一端称为排头，通常用一个头指针（front）指向头元素的前一个位置。

因此，队列又称为“先进先出”（FIFO-First In First Out）的线性表。插入元素称为入队运算，删除元素称为退队运算。

队列的基本结构如图1.2所示。

图1.2　队列

（2）循环队列及其运算。

所谓循环队列，就是将队列存储空间的最后一个位置绕到第一个位置，形成逻辑上的环状空间，供队列循环使用。

在循环队列中，用尾指针（rear）指向队列的尾元素，用头指针（front）指向头元素的前一个位置。因此，从头指针（front）指向的后一个位置，直到尾指针（rear）指向的位置之间所有的元素均为队列中的元素。循环队列的初始状态为空，即rear=front。

循环队列的基本运算主要有两种：入队运算与退队运算。

·入队运算是指在循环队列的队尾加入一个新的元素。

·退队运算是指在循环队列的排头位置退出一个元素，并赋给指定的变量。

真题精选

【例1】下列对队列的叙述正确的是_____。

A）队列属于非线性表

B）队列按“先进后出”原则组织数据

C）队列在队尾删除数据

D）队列按“先进先出”原则组织数据

【答案】D

【解析】队列是一种特殊的线性表，它只能在一端进行插入，在另一端进行删除。允许插入的一端称为队尾，允许删除的另一端称为队头。队列又称为“先进先出”或“后进后出”的线性表，体现了“先到先服务”的原则。

【例2】下列关于栈的描述正确的是_____。

A）在栈中只能插入元素而不能删除元素

B）在栈中只能删除元素而不能插入元素

C）栈是特殊的线性表，只能在一端插入或删除元素

D）栈是特殊的线性表，只能在一端插入元素，而在另一端删除元素

【答案】C

【解析】栈是一种特殊的线性表。在这种特殊的线性表中，其插入和删除操作只能在线性表的一端进行。

考点5　线性链表

1.线性链表的基本概念

线性表的链式存储结构称为线性链表。

为了存储线性表中的每一个元素，一方面要存储数据元素的值；另一方面要存储各数据元素之间的前后件关系。为此，在链式存储方式中，每个结点由两部分组成：一部分称为数据域，用于存放数据元素值；另一部分称为指针域，用于存放下一个数据元素的存储序号，即指向后件结点。链式存储结构既可以表示线性结构，也可以表示非线性结构。

线性表链式存储结构的特点是用一组不连续的存储单元存储线性表中的各个元素。因为存储单元不连续，所以数据元素之间的逻辑关系就不能依靠数据元素的存储单元之间的物理关系来表示。

2.线性链表的基本运算

线性链表主要包括以下8种运算：

·在线性链表中包含指定元素的结点之前插入一个新元素；

·在线性链表中删除包含指定元素的结点；

·将两个线性链表按要求合并成一个线性链表；

·将一个线性链表按要求进行分解；

·逆转线性链表；

·复制线性链表；

·线性链表的排序；

·线性链表的查找。

3.循环链表及其基本运算

（1）循环链表的定义。

在单链表的第一个结点前增加一个表头结点，队头指针指向表头结点，在最后一个结点的指针域的值由NULL改为指向表头结点，这样的链表称为循环链表。循环链表中，所有结点的指针构成了一个环状链。

（2）循环链表与单链表的比较。

对单链表的访问是一种顺序访问，从其中某一个结点出发，只能找到它的直接后继，但无法找到它的直接前驱。而且对于空表和第一个结点的处理必须单独考虑，空表与非空表的操作不统一。

在循环链表中，只要指出表中任何一个结点的位置，就可以从它出发访问到表中其他所有的结点。由于表头结点是循环链表所固有的结点，因此，即使在表中没有数据元素的情况下，表中也至少有一个结点存在，从而使空表和非空表的运算统一。

真题精选

下列叙述中正确的是_____。

A）线性链表是线性表的链式存储结构

B）栈与队列是非线性结构

C）双向链表是非线性结构

D）只有根结点的二叉树是线性结构

【答案】A

【解析】根据数据结构中各数据元素之间前后关系的复杂程序，可将数据结构分为两大类型：线性结构与非线性结构。如果一个非空的数据结构满足下列两个条件：①有且只有一个根结点；②每个结点最多有一个前驱，也最多有一个后继，则称该数据结构为线性结构，也叫做线性表。若不满足上述条件，则称之为非线性结构。线性表、栈与队列、线性链表都是线性结构，而二叉树是非线性结构。

考点6　树和二叉树

1.树的基本概念

树是一种简单的非线性结构，直观地来看树是以分支关系定义的层次结构。树是由n（n≥0）个结点构成的有限集合，当n=0时，树称为空树。当n≠0时，树中的结点应该满足以下两个条件：

·有且仅有一个没有前驱的结点称之为根；

·其余结点分成m（m＞0）个互不相交的有限集合T₁，T₂，…，T_m，其中每一个集合又都是一棵树，称T₁，T₂，…，T_m为根结点的子树。

在树的结构中主要涉及下面几个概念。

·每一个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称树的根。

·每一个结点可以有多个后件，称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点。

·一个结点所拥有的后继个数称为该结点的度。

·所有结点最大的度称为树的度。

·树的最大层次称为树的深度。

2.二叉树及其基本性质

（1）二叉树的定义。

二叉树是一种非线性结构，是一个有限的结点集合，该集合或者为空，或者由一个根结点及其两棵互不相交的左右二叉子树所组成。当集合为空时，称该二叉树为空二叉树。

二叉树具有以下特点。

·二叉树可以为空，空的二叉树没有结点，非空二叉树有且只有一个根结点。

·每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树与右子树。

（2）满二叉树和完全二叉树。

满二叉树：除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点，即在满二叉树的第k层上有2^k-1个结点，且深度为m的满二叉树中有2^m-1个结点。

完全二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数都达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。

满二叉树与完全二叉树的关系：满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。

（3）二叉树的主要性质。

·一棵非空二叉树的第k层上最多有2^k-1个结点（k≥1）。

·深度为m的满二叉树中有2^m-1个结点。

·对任何一棵二叉树，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个。

·具有n个结点的完全二叉树的深度k为［log₂n］＋1。

3.二叉树的存储结构

在计算机中，二叉树通常采用链式存储结构，用于存储二叉树中各元素的存储结点由数据域和指针域组成。由于每一个元素可以有两个后件（即两个子结点），所以用于存储二叉树的存储结点的指针域有两个：一个指向该结点的左子结点的存储地址，称为左指针域；另一个指向该结点的右子结点的存储地址，称为右指针域。因此，二叉树的链式存储结构也称为二叉链表。

对于满二叉树与完全二叉树可以按层次进行顺序存储。

4.二叉树的遍历

二叉树的遍历是指不重复地访问二叉树中的所有结点。二叉树的遍历主要是针对非空二叉树的，对于空二叉树，则结束返回。

二叉树的遍历有前序遍历、中序遍历和后序遍历。

（1）前序遍序（DLR）。

首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。

（2）中序遍历（LDR）。

首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。

（3）后序遍历（LRD）。

首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。

真题精选

对如下图中二叉树进行后序遍历的结果为_____。

A）ABCDEF

B）DBEAFC

C）ABDECF

D）DEBFCA

【答案】D

【解析】执行后序遍历，依次执行如下操作：

①按照后序遍历的顺序遍历根结点的左子树；

②按照后序遍历的顺序遍历根结点的右子树；

③访问根结点。

考点7　查找技术

1.顺序查找

顺序查找一般是指在线性表中查找指定的元素。其基本思路是：从表中的第一个元素开始，依次将线性表中的元素与被查找元素进行比较，直到两者相符，查到所要找的元素为止。否则，表中没有要找的元素，查找不成功。

在最好的情况下，第一个元素就是要查找的元素，则比较次数为1次。

在最坏的情况下，顺序查找需要比较n次。

在平均情况下，需要比较n/2次。因此查找算法的时间复杂度为O（n）。

在下列两种情况下只能够采取顺序查找：

·如果线性表中元素的排列是无序的，则无论是顺序存储结构还是链式存储结构，都只能用顺序查找；

·即便是有序线性表，若采用链式存储结构，只能进行顺序查找。

2.二分查找

使用二分法查找的线性表必须满足以下两个条件：

·顺序存储结构；

·线性表是有序表。

所谓有序表，是指线性表中的元素按值非递减排列（即从小到大，但允许相邻元素值相等）。对于长度为n的有序线性表，利用二分法查找元素x的过程如下。

（1）将x与线性表的中间项进行比较。

（2）若中间项的值等于x，则查找成功，结束查找。

（3）若x小于中间项的值，则在线性表的前半部分以二分法继续查找。

（4）若x大于中间项的值，则在线性表的后半部分以二分法继续查找。

这样反复进行查找，直到查找成功或子表长度为0（说明线性表中没有这个元素）为止。

当有序线性表为顺序存储时采用二分查找的效率要比顺序查找高得多。对于长度为n的有序线性表，在最坏的情况下，二分查找只需比较log₂n次，而顺序查找则需要比较n次。

真题精选

下列数据结构中，能用二分法进行查找的是_____。

A）顺序存储的有序线性表

B）线性链表

C）二叉链表

D）有序线性链表

【答案】A

【解析】二分法查找只适用于顺序存储的有序表。所谓有序表是指线性表中的元素按值非递减排列（即从小到大，但允许相邻元素值相等）。

考点8　排序技术

1.交换类排序法

交换类排序法是指借助数据元素的“交换”进行排序的一种方法。本节介绍的冒泡排序法和快速排序法就是属于交换类排序法。

（1）冒泡排序法。

冒泡排序的基本思想。

在线性表中依次查找相邻的数据元素，将表中最大的元素不断往后移动，反复操作直到消除所有逆序。此时，该表已经排序结束。

冒泡排序法的基本过程。

①从表头开始往后查找线性表，在查找过程中逐次比较相邻两个元素的大小。若在相邻两个元素中，前面的元素大于后面的元素，则将它们交换。

②从后向前查找剩下的线性表（除去最后一个元素），同样，在查找过程中逐次比较相邻两个元素的大小。若在相邻两个元素中，后面的元素小于前面的元素，则将它们交换。

③对剩下的线性表重复上述过程，直到剩下的线性表变空为止，线性表排序完成。

假设线性表的长度为n，则在最坏的情况下，冒泡排序需要经过n/2遍从前往后的扫描和n/2遍从后往前扫描，需要比较n（n-1）/2次，其数量级为n²。

（2）快速排序法。

快速排序法的基本思想。

在线性表中逐个选取元素，将线性表进行分割，直到所有元素全部选取完毕，此时线性表已经排序结束。

快速排序法的基本过程。

①从线性表中选取一个元素，设为T，将线性表后面小于T的元素移动到前面，而将大于T的元素移到后面，这样就将线性表分成了两部分（称为两个子表）。T就是处于分界线的位置，将线性表分成了前后两个子表，且前面子表中的所有元素均不大于T，而后子表中的所有元素均不小于T，此过程称为线性表的分割。

②对分割后的子表再按上述原则进行反复分割，直到所有子表为空为止，则此时的线性表就变成有序。

2.插入类排序法

插入排序是指将无序序列中的各元素依次插入已经有序的线性表中。本节将主要介绍简单插入排序法和希尔排序法。

（1）简单插入排序法。

简单插入排序是把n个待排序的元素看成一个有序表和一个无序表，开始时，有序表只包含一个元素，而无序表包含n-1个元素，每次取无序表中的第一个元素插入到有序表中的正确位置，使之成为增加一个元素的新的有序表。插入元素时，插入位置及其后的记录依次向后移动。最后有序表的长度为n，而无序表为空，此时排序完成。

在简单插入排序中，每一次比较后最多移除一个逆序，因此，该排序方法的效率与冒泡排序法相同。一般简单插入排序需要n（n-1）/2次比较。

（2）希尔排序法。

希尔排序法是将整个无序序列分割成若干个小的子序列并分别进行插入排序。

分割方法如下：

①将相隔某个增量h的元素构成一个子序列；

②在排序过程中，逐次减少这个增量，直到h减到1时，进行一次插入排序，排序即可完成。

希尔排序的效率与所选取的增量序列有关。

3.选择类排序法

选择排序是通过每次从待排序序列中选出的最小值是元素，顺序放在已排好序的有序子表的后面，直到全部序列满足排序要求为止。下面就介绍选择类排序法中的简单选择排序法和堆排序法。

（1）简单选择排序法。

进行简单选择排序，首先从所有n个待排序的数据元素中选择最小的元素，将该元素与第一个元素交换，再从剩下的n-1个元素中选出最小的元素与第二个元素交换。重复这样的操作直到所有的元素有序为止。

简单选择排序需要比较n（n-1）/2次。

（2）堆排序法。

堆排序的方法如下：

①将一个无序序列建成堆；

②将堆顶元素与堆中最后一个元素交换。忽略已经交换到最后的那个元素，考虑前n-1个元素构成的子序列，只有左、右子树是堆，可以将该子树调整为堆。这样反复下去做第二步，直到剩下的子序列空为止。

堆排序需要比较的次数为O（nlog₂n）。

真题精选

对于长度为n的线性表，下列各排序法所对应的比较次数中正确的是_____。

A）冒泡排序为n/2

B）冒泡排序为n

C）快速排序为n

D）快速排序为n（n-1）/2

【答案】D

【解析】假设线性表的长度为n，则冒泡排序需要经过n/2遍的从前往后扫描和n/2遍的从后往前扫描，需要比较次数为n（n-1）/2。快速排序法在最坏的情况下，比较次数也是n（n-1）/2。