1.2 位移 速度 加速度

描述机械运动，不仅要有能反映物体位置变化的物理量，也要有反映物体位置变化快慢的物理量。下面一一介绍。

1.2.1 位矢

在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做位置矢量，简称位矢。位矢为从坐标原点指向质点所在位置的有向线段，用矢量表示，以直角坐标为例，。设某时刻质点所在位置的坐标为（x，y，z），则x，y，z分别为沿着3个坐标轴的分量，如图1-3所示。

位矢的大小可由关系式得到。位矢在各坐标轴的方向余弦是

1.2.2 位移

设在直角坐标系中，A，B为质点运动轨迹上任意两点。t1时刻，质点位于A点，t2时刻，质点位于B点，则在时间Δt=t2-t1内，质点位矢的长度和方向都发生了变化，质点位置的变化可用从A到B的有向线段来表示，有向线段称为在Δt时间内质点的位移矢量，简称位移。由图1-4可以看出，，即，于是

应当注意：位移是表征质点位置变化的物理量，它只表示位置变化的实际效果，并非质点经历的路程。如图1-4所示，位移是有向线段，是矢量，它的量值是割线AB的长度。

而路程是曲线AB的长度Δs，是标量。当质点经历一个闭合路径回到起点时，其位移是零，而路程不为零。只有当时间Δt趋近于零时，才可视作与Δs相等。

1.2.3 速度

若质点在Δt时间内的位移为，则定义与Δt的比值为质点在这段时间内的平均速度，写为

其分量形式为

由于是矢量，Δt是标量，所以平均速度也是矢量，且与方向相同。此外，把路程Δs和Δt的比值称作质点在时间Δt内的平均速率。平均速率是标量，等于质点在单位时间内通过的路程，而不考虑其运动的方向。

如图1-5所示，当Δt→0时，P2点将向P1点无限靠拢，此时，平均速度的极限值叫做瞬时速度，简称速度，用符号“”表示，即

速度是矢量，其方向为：Δt→0时位移的极限方向，即，沿着轨道上质点所在的切线并指向质点前进的方向。考虑到位矢在直角坐标轴上的分量大小分别为x，y，z，所以速度也可写成

即

速度的量值为

Δt→0时，的量值可以看作和Δs相等，此时瞬时速度的大小等于质点在P1点的瞬时速率。

1.2.4 加速度

由于速度是矢量，因此，无论是速度的数值大小还是方向发生变化，都代表速度发生了改变。为了表征速度的变化，引进了加速度的概念。加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。

如图1-6所示，t时刻，质点位于P1点，其速度为；在t+Δt时刻，质点位于P2点，其速度为；则在时间Δt内，质点的速度增量为。定义质点在这段时间内的平均加速度为

平均加速度也是矢量，方向与速度增量的方向相同。

Δt→0时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，简称加速度，用符号“”表示，即

在直角坐标系中，加速度在3个坐标轴上的分量ax、ay、az分别为

加速度可写为

其数值大小为

加速度方向为：当Δt趋近于零时，速度增量的极限方向。由于速度增量的方向一般不同于速度的方向，所以加速度与速度的方向一般不同。这是因为，加速度不仅可以反映质点速度大小的变化，也可反映速度方向的变化。因此，在直线运动中，加速度和速度虽然在同一直线上，却可以有同向和反向两种情况。例如质点做直线运动时，速度和加速度之间的夹角可能是0°（速率增加时），即同向；也可能是180°（速率减小时），即反向。

从图1-7可以看出，当质点做曲线运动时，加速度的方向总是指向曲线的凹侧。如果速率是增加的，则之间呈锐角，如图1-7（a）所示；如果速率是减小的，则之间呈钝角，如图1-7（b）所示；如果速率不变，则之间呈直角，如图1-7（c）所示。

实际情况中，大多数质点所参与的运动并不是单一的，而是同时参与了两个或者多个运动。此时总的运动为各个独立运动的合成结果，称为运动叠加原理，或称运动的独立性原理。

运动学中通常解决的问题有以下两种。

（1）已知质点的运动方程，求轨迹方程和质点的速度以及加速度。

（2）已知质点运动的加速度，求其速度和运动方程。

【例1-1】　已知一质点的运动方程为x=2t，y=18-2t2，其中，x，y以m计，t以s计。求：（1）质点的轨道方程并画出其轨道曲线；（2）质点的位置矢量；（3）质点的速度；（4）前2s内的平均速度；（5）质点的加速度。

解：（1）将质点的运动方程消去时间参数t，得到质点轨道方程为，质点的轨道曲线如图1-8所示。

（2）质点的位置矢量为

r=2ti+（18-2t2）j

（3）质点的速度为

v=r=2i-4tj

（4）前2s内的平均速度为

（5）质点的加速度为

a=-4jm·s-2

【例1-2】　一质点沿x轴正向运动，其加速度为a=kt，若采用国际单位制（SI），则式中数k的单位是什么？当t=0时，v=v0，x=x0，试求质点的速度和质点的运动方程。

解：因为a=kt，所以。故k的单位为

又因为，所以有dv=ktdt，做定积分有