第4章　阻尼器减震结构的计算分析

4.1　阻尼比计算

4.1.1　阻尼分析

使自由振动的振幅稳定地减小的作用称为阻尼。振动体系的能量可由各种机制耗散，经常是多于一种的机制同时呈现。消能减震结构的阻尼比由主体结构阻尼比ζl、消能部件附加给结构的有效阻尼比ζd以及结构滞回消能等效阻尼比组成。

1.结构固有阻尼

主体结构阻尼即结构（固有）等效黏滞阻尼，源于材料重复弹性变形的热效应以及固体变形时的内摩擦，包括钢连接中的摩擦、混凝土微裂缝的张开与闭合、结构自身与像填充墙那样的非结构构件之间的摩擦。但在实际建筑中，要识别或用数学描述这些能量耗散机理中的每一项几乎是不可能的。

因此，实际结构中的阻尼通常用高度理想化的方法描述。出于多种目的，单自由度结构的实际阻尼可满意地理想化为一个线性黏滞阻尼器或减震器。阻尼系数的选择，一般令其所耗散的振动能量与实际结构中的所有阻尼机理组合的能量耗散相当。因此，这种理想化称为等效黏滞阻尼。

对于多自由度结构，直接根据结构的大小、结构构件的尺寸以及所用结构材料的阻尼特性来计算阻尼矩阵的系数是不切实际的。因此，通常用振型阻尼比的数值确定阻尼，这对于具有经典阻尼的线性体系分析已经足够了。然而，由于具有非经典阻尼体系的线性分析以及非线性结构的分析都需要阻尼矩阵，因此需要根据振型阻尼比建立结构阻尼矩阵。

在进行多自由度结构振型阻尼比估算时，最有用而又很难得到的数据是在结构强烈振动但是还没有进入非弹性范围的时候。在结构较小运动时确定的阻尼比不代表在结构运动较大幅值时的阻尼；另外一方面，在地震中经历显著屈服时记录到的结构运动所提供的阻尼比将包括由于结构材料的屈服引起的能量耗散。这些阻尼比在运动分析时是没有用的，因为在屈服时耗散的能量将通过非线性的力—变形关系分开来考虑。在积累足够的大量数据库之前，阻尼比的选择取决于所得到的任何数据和专家意见。

建议的阻尼比可以直接应用于具有经典阻尼的结构线弹性分析。对于这类体系，当变换到无阻尼体系的固有振型时，运动方程将成为非耦合的，所估计的振型阻尼比可以直接应用于每一个振型方程。

如果待分析的体系包括两个或两个以上具有明显不同阻尼水平的部分，那么经典阻尼假设将不再适用。结构—土体系统就是这样的一个例子。

经典阻尼假设对于具有特殊耗能装置的结构或者在基础隔震系统之上的结构也不适用，即使结构自身具有经典阻尼。体系的非经典阻尼矩阵首先采用经典阻尼矩阵的方法，根据适合结构的阻尼比，通过计算结构自身（没有特殊装置或隔震器）的经典阻尼矩阵来建立；然后再包括耗能装置或者隔震器的阻尼贡献，从而得到整个体系的阻尼矩阵。

《建筑消能减震技术规程》（JGJ 297—2013）的3.3.3、3.3.4条文说明中规定：“……当结构处于弹性状态时，主体结构阻尼比ζl为一定值（混凝土结构为0.05、钢结构为0.02/0.03）”。

2.消能减震器附加阻尼

《建筑消能减震技术规程》（JGJ 297—2013）的3.3.3、3.3.4条文说明中规定：“消能减震结构由于消能器的存在，增加了结构的总阻尼比ζ。因此，消能部件附加给结构的有效阻尼比的计算是消能减震结构体系设计中的关键问题。当ζ计算过高时，会高估消能器的耗能能力，消能器将不能有效地保护主体结构，使结构设计偏于不安全；当ζ计算过低时，消能器不能发挥其应有的作用，将增加经费投入。因此，需合理地计算消能器附加给结构的阻尼比，使结构设计安全又经济。”

液体黏滞阻尼器阻尼力的来源是通过在装置内设硅油，缸筒内活塞随着结构的运动而运动时，活塞头向一端运动，内设硅油受到挤压，对活塞产生反向黏滞力。同时，硅油从活塞头上的小孔向活塞头的另一端流去，使活塞的受力逐步减少。在活塞的往复运动中液体起黏滞阻尼作用，耗散地震风振能量，从而对结构起到减震控制作用。

3.结构滞回阻尼

《建筑消能减震技术规程》（JGJ 297—2013）的3.3.3、3.3.4条文说明中规定：“……当主体结构进入塑性状态后，部分结构构件发生塑性变形，阻尼比相对于弹性状态有所提高，主体结构阻尼比ζl应重新计算，并考虑结构构件塑性变形的影响。”

自20世纪60年代以来，已经进行了数百次试验来确定地震条件下结构的力—变形特性。结构在地震中将经历往复变形的振荡运动，在此条件下对结构构件、组合构件、缩尺结构模型和小型足尺结构进行模拟循环试验。试验结果表明，结构的循环力—变形特性取决于结构材料和结构体系。以下力—变形图表示了由于非弹性特性而产生的循环变形下的滞回环特性（见FEMA），抗震结构必须在往复重复荷载循环下保持强度和刚度。

（1）悬臂梁的往复弯曲循环

实验室测试得到的饱满滞回曲线如图4-1所示，相当接近简易模型的结果[注：圆角（鲍辛格效应）；正斜率（应变硬化）；工作结束（测量区域内循环）]。

（2）短粗钢支撑轴向载荷循环

实验室试验表明，在连续循环中的强度和刚度退化，如图4-2所示。需注意，随着循环次数增加，曲线斜率和材料强度降低。

（3）混凝土梁的受弯循环

实验室测试显示轻度的捏塑滞回，如图4-3所示。需注意的是，捏塑减少了内部环路的面积（即消耗更少的能量）；重新加载斜率的改变会带来捏塑的外形变化，这是由于裂缝的开启和关闭；螺栓连接、铆接或钉接会导致类似的效果。

4.1.2　阻尼比计算原理

1.线弹性单自由度系统阻尼比计算原理

我国现行《建筑抗震设计规范》（GB 50011）及《建筑消能减震技术规程》（JGJ 297—2013）中关于附加阻尼比的计算方法都源于单自由度体系估算阻尼比的“每周共振能量损失法”。因而，这里首先说明一下该方法的益处。

对于一个单自由度结构的反应分析，假定体系的质量m、刚度k、固有圆频率ω是已知的，对该体系利用每周共振能量损失法。确定黏滞阻尼比的这种方法是基于相对位移反应的稳态振幅测量。这种反应是由谐振荷载所引起的，荷载幅值为p0，激振频率为包含体系固有频率而跨越较宽范围的离散值。

考虑在稳态谐振条件下作用在质量上的力，力的平衡要求惯性力、阻尼力、弹簧力之和等于所作用的荷载。在复平面上它们与作用荷载以向量表示，如图4-4所示。

图4-4中，因为θ=90°时荷载恰好与阻尼力平衡。因此，如果把一加载循环中荷载和位移之间的关系画出，则这个图也可称为阻尼力—位移图，如图4-5所示。如果体系真的具有线性阻尼，则曲线为一椭圆，如图4-5中虚线所示。在这种情况下，阻尼系数可直接用最大阻尼力与最大速度由下式来确定：

或

ξ=p0/（2mω2ρ）　　（4-2）

如果阻尼不是前面假定的线性黏滞阻尼，而是非线性黏滞形式，则由上述处理所获得的作用力—位移图形状将不是椭圆，而是如图4-5中实线所示的不同形状的曲线。在这种情况下，即使所作用的仍然是纯谐波荷载，反应也将不再是谐波反应。然而，每周的能量输入等于每周阻尼能量损失ED，而求图中作用力—位移曲线所包含的面积可获得这个ED。这就允许对相应的位移幅值计算等效黏滞阻尼比，当将它作为线性黏滞阻尼形式使用时，与真实试验情况每一循环损失相同的能量。也即，这个等效阻尼比与椭圆形的作用力—位移图形相关联，并与非椭圆图形具有相同的面积ED。这个能量等价要求：

ED=（2π/ω）Pavg=（2π/ω）（ξeqmω3ρ2）　　（4-3）

或

ξeq=ED/（2πmω2ρ2）=ED/（2πkρ2）　　（4-4）

式（4-4）的形式更便于应用。

如果结构是线弹性的，则用这样的方法所获得的静力—位移图将如图4-6所示，而刚度即等于直线的斜率。

而应变能为

因而

2.多自由度系统影响阻尼比的因素

等效附加阻尼比存在不唯一、不确定性。

（1）FEMA356规定

隔震与消能：非线性时程分析中，不允许用整体结构阻尼代替消能装置中的黏滞效应。

（2）FEMAP-1050-1规定

振动阻尼和附加黏滞阻尼的影响都是取决于振幅的，而且它们对总体有效阻尼的相关贡献随着结构屈服后响应的量而变化。

（3）我国《建筑抗震设计规范》规定

消能减震结构的总阻尼比应为结构阻尼比和消能部件附加给结构的有效阻尼比的总和；多遇地震和罕遇地震下的总阻尼比应分别计算。

“附加给结构的有效阻尼比”仅仅计算了对应于结构基频的附加阻尼比，FEMA 450指出，在应用“等效侧向力”的线性分析方法时，装有消能部件的结构对设计地震的反应需从两部分振型模态计算而来：结构基频模态和其余模态。“其余模态”就是近似计入了多个高阶振型的影响。高阶振型的影响不仅对楼层层间位移的计算很重要，而且，特别是对用速度型阻尼器消能的结构来说，对楼层层间速度的计算也有很重要的影响。因而影响速度型阻尼器的设计。当然，当使用“振型分解法”时，高阶振型的影响可以直接计入。

因此评价阻尼装置的效果不能单纯依靠阻尼比的数值；在非线性分析中，使用有效阻尼来评价减震装置的效果；评价减震效果最好的方式：最大位移和基底剪力。

3.非线弹性多自由度系统阻尼比计算的修改及扩展应用

将非线性黏滞阻尼等效为线性黏滞阻尼如图4-7所示。

当每周共振能量损失法用于非简谐共振激励条件的多自由度、非线弹性体系时，会产生一定误差，也会有一定限制条件。例如：用于多自由度体系的基频振型（非线弹性体系也近似地采用相应的线弹性体系的“振型”），当等效阻尼比随振幅、频率等变化时（特别是非线弹性体系经受较大振动时）可采用分段线性化，或等效平均阻尼比的方法。

因此，将前述的每周共振能量损失法应用到实际消能减震结构中所需要做的修正，至少应包括如下方面：

（1）能量计算中单自由度结构的位移需转换成多自由度结构的振型位移（如基频振型），并进一步转换成结构物控制点（如建筑物顶层）位移。

（2）线弹性结构的最大线性反应位移转换成弹塑性结构的最大非线性反应位移。

（3）弹塑性结构不同的滞回环、形状特点（如滞回环的饱满度、刚度退化、屈服强度的降低、捏塑和滑移效应）对非线性反应位移的影响。

（4）考虑屈服后的动力P-Δ及负刚度影响。

则

其中

C0：考虑多自由度结构的顶点位移和等效单自由度结构位移的区别。

C1：考虑结构中最大的弹性和非弹性位移幅值的不同，位移应该相对稳定并有完整的滞回曲线，且位移基于非线性单自由度的双线性滞回模型的平均响应。

C2：对最大位移响应，考虑重要的捏塑、刚度退化和强度退化。

C3：对表现负的屈服后刚度的框架结构，动力P-Δ效应可能导致位移的大幅增加。

因为有诸多的近似取舍，在结构设计中使用等效阻尼比要十分小心。在最终的设计中最好采用基于非线性模型的直接积分等方法。

对于等效黏滞阻尼，从装置层面来说，位移型装置不能用速度型装置代替。许多简化程序允许在结构上存在这样的替换，这就为整体结构找到了一个模糊的等效阻尼比，这种方法在初步设计中用处有限，而且在最终设计的任何情况下都不应使用。

分析消能减震结构的总阻尼的目的是预测破坏、增加阻尼、减少变形和损伤。FAMA 274提到：将消能装置引入到建筑框架中的主要目的是降低框架的位移和破坏。这就要求基于性能的设计需要对可能发生在结构中的破坏进行量化。“破坏指数”必须进行校准，这样它才能预测和量化在所有性能水平下的破坏。虽然层间位移角和非弹性组件的变形可以有效测定破坏情况，但是响应的主要特征丢失了。许多不同的测定破坏的措施都取决于（地震动）持续时间。

4.1.3　阻尼比计算

1.中国规范的消能部件附加阻尼比计算

按照《建筑消能减震技术规程》（JGJ 297—2013），消能部件设计及附加阻尼比应满足的规定如下：

（1）消能部件的设计参数应符合下列规定：

①位移相关型阻尼器与斜撑、支墩等附属构件组成消能部件时，消能部件的恢复力模型参数应符合下式规定：

Δupy/Δusy≤2/3　　（4-9）

式中　Δupy——消能部件在水平方向的屈服位移或起滑位移（m）；

Δusy——设置消能部件的主体结构层间屈服位移（m）。

②黏弹性阻尼器的新弹性材料总厚度应符合下式规定：

tv≥Δudmax/[γ]　　（4-10）

式中　tv——黏弹性阻尼器的新弹性材料总厚度（m）；

Δudmax——沿消能方向阻尼器的最大可能的位移（m）；

[γ]——黏弹性材料允许的最大剪切应变。

③速度线性相关型阻尼器与斜撑、墙体（支墩）或梁等支撑构件组成消能部件时，支撑构件沿阻尼器消能方向的刚度应符合下式规定：

Kb≥6πCD/T1　　（4-11）

式中　Kb——支撑构件沿阻尼器消能方向的刚度（kN/m）；

CD——阻尼器的线性阻尼系数[kN/（m/s）]；

T1——消能减震结构的基本自振周期（s）。

（2）消能部件附加给结构的实际有效刚度和有效阻尼比，可按下列方法确定：

①位移相关型消能部件和非线性速度相关型消能部件附加给结构的有效刚度可采用等价线性化方法确定。

②消能部件附加给结构的有效阻尼比可按下式计算：

式中　ζd——消能减震结构的附加有效阻尼比；

Wcj——第j个消能部件在结构预期层间位移Δuj下往复循环一周所消耗的能量（kN·m）；

Ws——消能减震结构在水平地震作用下的总应变能（kN·m）。

③不计及扭转影响时，消能减震结构在水平地震作用下的总应变能可按下式计算：

Ws=∑Fiui/2　　（4-13）

式中　Fi——质点i的水平地震作用标准值（一般取相应于第一振型的水平地震作用即可，kN）；

ui——质点i对应于水平地震作用标准值的位移（m）。

④速度线性相关型阻尼器在水平地震作用下所往复一周所消耗的能量可按下式计算：

式中　T1——消能减震结构的基本自振周期（s）；

Cj——第j个阻尼器由试验确定的线性阻尼系数[kN/（m·s）]；

θj——第j个阻尼器的消能方向与水平面的夹角（°）；

Δuj——第j个阻尼器两端的相对水平位移（m）。

当阻尼器的阻尼系数和有效刚度与结构振动周期有关时，可取相应于消能减震结构基本自振周期的值。

⑤非线性黏滞阻尼器在水平地震作用下往复循环一周所消耗的能量可按下式计算：

Wcj=λ1FdjmaxΔuj　　（4-15）

式中　λ1——阻尼指数的函数；

Fdjmax——第j个阻尼器在相应水平地震作用下的最大阻尼力（kN）。

⑥位移相关型和速度非线性相关型阻尼器在水平地震作用下往复循环一周所消耗的能量可按下式计算：

Wcj=∑Aj　　（4-16）

式中　Aj——第j个阻尼器的恢复力滞回环在相对水平位移Δuj时的面积（kN·m）。

（3）采用振型分解反应谱法分析时，结构有效阻尼比可采用附加阻尼比的迭代方法计算。

（4）采用时程分析法计算阻尼器附加给结构的有效阻尼比时，阻尼器两端的相对水平位移Δudj、质点i的水平地震作用标准值Fi、质点i对应于水平地震作用标准值的位移ui，应采用符合《建筑消能减震技术规程》第4.1.4条规定的时程分析结果的包络值。分析出的阻尼比和结构地震反应的结果应符合《建筑消能减震技术规程》第4.1.4条的规定。

（5）采用静力弹塑性分析方法时，计算模型中阻尼器宜采用《建筑消能减震技术规程》第4章给出的恢复力模型，并由实际分析计算获得阻尼器附加给结构的有效阻尼比，不能采用预估值。位移相关型阻尼器可采用等刚度的杆单元代替，并根据阻尼器的力学特性于该杆单元上设置塑性铰，以模拟位移相关型阻尼器的力学特性。

（6）消能减震结构在多遇和罕遇地震作用下的总阻尼比应分别计算，消能部件附加给结构的有效阻尼比超过25％时，宜按25％计算。

2.对中国规范的消能部件附加阻尼比计算的补充

当阻尼器非线性（α≠1）时，尽管中国规范给出了式（4-16）作为阻尼器耗能的计算公式，但实际操作却很困难。

黏滞阻尼器不产生刚度，其阻尼力仅与速度有关。当阻尼器水平放置时，阻尼器出力为

当阻尼器斜向放置时，阻尼器出力为

式中，θ为阻尼器与水平面的夹角；C0为广义阻尼系数； 为阻尼器两端相对水平速度；α为速度指数，实际工程中取0.2～1.0。

当α=1时，阻尼器表现为线性；当α<1时，阻尼器表现为非线性。

相关文献提出，对于结构的各阶振型，结构减震的阻尼比如下：

式中，ξeff为结构设置阻尼器后的阻尼比；ξ为结构不加阻尼器时的阻尼比，对于混凝土结构一般取0.05；Wj为第j个阻尼器消耗的能量；Ws为结构的最大应变能。

对于非线性黏滞阻尼器，假定阻尼器受到u（t）=u0sin（ωkt）的简谐激励，将式（4-18）在一个周期内对位移积分，可得

式中，C0j为每个阻尼器可提供的阻尼系数； ；Γ（·）为伽玛函数；θj为结构中安置的阻尼器与水平面的夹角；αj为阻尼器的速度指数。

近似认为结构的最大位移应变能与结构的最大动能相等：

式中，mi为第i层的质量；ui为第i层的水平位移；ωk为该激励的振动频率。

将式（4-20）、式（4-21）代入式（4-19），得结构加阻尼器后的附加阻尼比公式为

式中，ηj表示安置阻尼器的第j层中阻尼器的个数；uj表示安有阻尼器楼层的层间位移。

对于线性阻尼器，αj=1，式（4-22）变为

应用中国规范公式计算结构附加阻尼比可以手算，也是中国目前几乎唯一被设计单位认可的计算方法，但是这种方法的最大缺点是其计算的结果与阻尼器的布置位置无关。

3.美国消能部件附加阻尼比计算方法（ASCE 7-10）

每个线性黏性阻尼器的力—速度关系可按下式描述：

式中，Cj为阻尼系数；uDj为阻尼器两端相对位移； 为阻尼器两端相对速度。

阻尼器两端的相对位移和层间位移Δrj的关系是

uDj=fjΔrj　　（4-25）

式中，fj为位移放大倍数，对于传统连接方式，在人字支撑连接时为1，在对角连接时为cosθj，θj为第j个阻尼器与水平面的夹角。

建筑的模态阻尼比可以根据下式计算：

式中，WD为非线性阻尼器在一个周期反应中所消耗的能量。

假设考虑一建筑受简谐振动激励

式中，Droof为顶层位移的振幅；Tm为减震前结构第m阶的周期；{ф}m为减震前结构第m阶楼层的标准化位移矩阵（将顶层位移标准化为1）。

在m阶下减震系统每运动周期所消耗的能量为

其中

фrj=фjm-ф（j-1）m　　（4-29）

式中，фrj为第m阶振型第j个自由度与第j-1个自由度的标准化位移差，而Δrj=Droofфrj。

最大应变能Ws等于最大动能，即

第m阶黏滞阻尼比为

式中，wi为楼层i的重量。

现在考虑非线性黏性阻尼装置的情况，如下：

式中，CNj为阻尼系数；αj为速度指数。

依旧可以由式（4-26）来计算阻尼比，但阻尼比会与顶层位移的振幅相关。假设振动依照式（4-27），则

其中

此时式（4-30）仍然是有效的，因此最终结构第m=1阶的附加阻尼比为

4.美国滞回耗能的等效阻尼比计算

相关计算图式如图4-8～图4-10所示。

从阻尼能和应变能（图4-11）中计算“真实”黏滞阻尼比：

单自由度黏滞阻尼体系经受谐波位移u（t）=u0sin（ωt）时，弹簧和减震器总的净出力为。

一个振动循环消耗的能量是滞回环的内部面积，可通过如下公式计算：

最大位移处，速度为0，系统中的应变能为

谐波谐振中的等效黏滞阻尼为

5.美国消能减震结构的总阻尼比（FEMA P-1050-1）

当分析计算本身需要等效附加阻尼比时，应（可）采用式（4-20）或类似更完善的能量估算公式。当分析计算本身并不需要等效附加阻尼比时（如非线性时程分析），不必外加估算等效附加阻尼比。当评价减震效果时，不必采用等效附加阻尼比作为一个衡量指标，更不应将所谓的“总体结构总阻尼比”（理论混淆，阻尼量随许多因素变动）作为重要或唯一的评价指标。

（1）有效阻尼

在考虑的方向上，结构第m阶振型在设计位移和最大位移下的有效阻尼βmD和βmM应该采用式（4-39）和式（4-40）计算。

式中　βHD——在结构所考虑的方向上，由结构抗力体系的屈服后滞回行为和有效延性需求μD下的阻尼系统单元带来的有效阻尼部分；

βHM——在结构所考虑的方向上，由结构抗力体系的屈服后滞回行为和有效延性需求μM下的阻尼系统单元带来的有效阻尼部分；

βI——在结构抗力体系处于或恰好低于有效屈服位移时，因结构构件固有耗能带来的有效阻尼部分；

βVm——在考虑的方向上，抗力体系处于或恰好低于有效屈服位移时，由阻尼系统的黏滞耗能带来的结构第m阶振型的有效阻尼部分；

μD——在考虑的方向上，抗力体系基于设计地震地面运动的有效延性需求；

μM——在考虑的方向上，抗力体系基于MCER地面运动的有效延性需求。

除非有分析或者试验数据支持其他数值，考虑方向上高阶振型的有效延性需求应按1.0取。

①固有阻尼

固有阻尼βI要基于屈服或屈服前结构抗力体系的材料类型、结构外形、结构特性以及非结构构件的动态响应来确定。除非有分析或者试验数据支持其他数值，结构固有阻尼对所有振型应不高于5％。

②滞回阻尼

结构抗力体系和阻尼系统单元的滞回阻尼应基于试验或分析，或应采用式（4-41）和式（4-42）计算。

式中　qH——滞回环调整系数。

除非有分析或者试验数据支持其他数值，考虑方向上高阶振型的振动阻尼应为0。

抗力体系和阻尼系统单元滞回阻尼的计算，要考虑在地震作用下的多次循环时，减小滞回环面积的捏塑或其他效应。除非有分析或者试验数据支持其他数值，否则用于设计的抗力体系的完整滞回面积的一部分应该等于系数qH，计算公式如下：

式中　TS——由比值SD1/SDS定义的周期，SD1为周期1s时的设计反应谱加速度参数，SDS为短周期范围内的设计反应谱加速度参数；

T1——在考虑的方向上，结构基本振型的周期。

qH的值不应大于1.0，不宜小于0.5。

③黏滞阻尼

结构第m阶振型的黏滞阻尼应采用下列公式计算：

式中　Wmj——模态位移为δim时，在考虑的方向上，第m阶振型第j个减震装置在一个完整动力反应循环内所做的功；

Wm——模态位移为δim时，在考虑的方向上，第m阶振型的最大应变能；

Fim——第i层上第m阶振型的惯性力；

δim——在考虑的方向上，结构第m阶振型第i层刚度中心处的变形。

位移型减震装置的模态黏滞阻尼，应基于与结构有效屈服位移相等的反应幅值。

单个减震装置做功的计算，应考虑关于所研究振型的每个减震装置的方向和参与程度。单个减震装置的做功应按要求折减，考虑销轴、螺栓、节点板、支撑，以及其他连接减震装置和结构单元的构件的弹性。

（2）有效延性需求

分别基于设计地震和MCER地面运动的抗力体系有效延性需求μD、μM，应采用下列公式计算：

式中　D1D——在考虑的方向上，结构顶层刚度中心在基本振型下的设计位移；

D1M——在考虑的方向上，结构顶层刚度中心在基本振型下的最大位移；

DY——结构抗力体系在有效屈服点时，结构顶层刚度中心的位移；

R——响应修正系数；

Cd——挠曲放大系数；

Ω0——超强系数；

Γ1——在考虑的方向上，结构基本振型的参与系数；

CS1——在考虑的方向上，结构基本振型的地震响应系数；

T1——在考虑的方向上，结构基本振型的周期。

设计地震延性系数μD不应超过给定的有效延性需求的最大值μmax。

（3）最大有效延性需求

为了确定滞回环调整系数、滞回阻尼和其他参数，有效延性需求最大值μmax应采用下列公式计算：

当T1D≤TS时：

μmax=0.5[（R/（Ω0Ie））2+1]　　（4-49）

当T1≥TS时：

μmax=R/（Ω0Ie）　　（4-50）

式中　Ie——居住重要性系数；

T1D——在考虑的方向上，达到设计位移时，结构基本振型的有效周期。

当T1<TS<T1D，μmax应通过式（4-49）和式（4-50）的线性插值确定。

（4）总阻尼比的应用

图4-12说明了由于有效阻尼的增加而引起的基本模态设计地震响应的减少（由参数B1D表示）。能力曲线是基本模态非线性反应的谱加速度—位移曲线。由阻尼引起的反应降低应用在了基本振动模态（基于割线刚度）的有效周期内。

因为使用线性分析方法，基本振型的推覆曲线形状是未知的，因此假定了一个理想的弹塑性形状，如图4-13所示。这一理想推覆曲线的目的是在设计地震位移D1D处与实际的推覆曲线共用一个点。理想曲线允许依据设计地震定义全局延性需求μD，作为设计位移D1D和屈服位移DY的比值。这一延性系数用来计算很多设计参数，它不能超过抗力体系的延性能力μmax，μmax是使用传统结构响应计算的。使用线性方法计算的设计案例已经得到了发展，并与非线性时程分析的结果对比良好。

阻尼系统单元是设计用于与基底剪力值VY相一致的基本振型设计地震力的（除了减震装置是用于MCER设计或原型测试）。抗力体系的构件是设计用于已折减的基本振型基底剪力VI的，在线性分析（实际推覆强度未知）时，这里力的折减依据系统超强系数（以Ω0表示）乘以Cd/R。应用比值Cd/R进行折减是必要的，因为标准提供的Cd值都小于R值。当两个参数值相等，且结构在弹性状态下阻尼比为5％时，则不需要调整。由于分析的方法理论基于计算实际楼层位移角和减震装置位移（而不是折减的基底剪力乘以Cd时的弹性状态计算的位移），因此调整是必须的。实际楼层位移角计算后，允许楼层位移角限值要乘以R/Cd后使用。

6.美国消能减震结构设计中的迭代计算

关于阻尼器的“迭代”设计和“降度设计”，FEMA 273介绍了“侧向力方法”（它是用于速度型装置的线性静力方法计算减震效应），步骤如下：

（1）用阻尼修正参数B、BS或B1减小横向荷载V，评估修改后的拟横向荷载V，与重建建筑中假定的有效阻尼对应。

拟横向荷载是横向惯性力的总和，且必须应用到线弹性的模型中以产生位移，该位移应约等于实际结构经受与设计地震一致的地面运动时产生的位移。

（2）使用修正后的V计算横向惯性力Fx。楼层惯性力等于该层的响应加速度乘以它的质量。

（3）使用横向力Fx，并线性分析数学模型，来计算每一层i处的横向位移di。

（4）使用位移δi估计有效阻尼βeff，如下：

式中　Wj——与楼层位移δi一致的一个完整循环里装置j所做的功；

Wk——框架中的最大应变能；

Fi——第i层的惯性力以及遍布所有楼层的总和。

（5）在第（1）到（4）步之间迭代，直到用来计算修正后的等效基底力的有效阻尼的估算值等于随后第（4）步中计算的有效阻尼。

（6）消能装置在高阶振型的阻尼力必须忽略NSP的应用。

4.1.4　附加阻尼比实用计算方法

1.能量平衡阻尼比计算方法在PERFORM-3D软件中的应用

作为临界阻尼的比值，模态阻尼比的概念严格地限定只在线性结构特性中应用。然而，为非线性特性计算一个近似的等效阻尼比也是可能的。如果一个有黏滞阻尼的线性单自由度结构受到恒定振幅的强制正弦振动，则能量会在每个循环中消散。

（1）“弹性”黏滞阻尼

①阻尼矩阵

当指定模态阻尼时，PERFORM使用的阻尼矩阵是基于已经计算了振型形状的振型。可以指定要计算的振型多达50个，但是考虑更多的振型是没必要的，一般情况下，同一结构考虑的振型数量和线性分析的数量一样就够了。PERFORM利用动力学原理，使用振型和周期来计算隐含的阻尼矩阵，矩阵如下所示：

式中，N为有阻尼的振型数量；Tn为振型周期；ξn为振型阻尼比；M为质量矩阵；фn为振型形状。

当使用模态阻尼时，建议增加少量的Rayleigh阻尼。

为了得到分析的每一步的平衡方程的解，结构刚度矩阵被划分了；然而，阻尼矩阵不划分。受刚度矩阵划分影响的阻尼矩阵的所有项包括在刚度矩阵之中（它们是“等式左边项”）。其余系数不包括于刚度矩阵中，但会在每步最后因计算抵抗力而导致平衡失衡时考虑（它们是“等式右边项”）。因为这样，阻尼力引起一些平衡失衡。这些失衡附加于任何由非线性表现引起的失衡。这趋向于增加能量平衡的误差，但经验表明影响通常很小。

②物理解释

考虑模态阻尼的物理意义以及理解线性和非线性结构中模态阻尼之间的差异是很有用的。由于一个线性结构在地震动力荷载下变形的形状持续改变，在此形状能够被分解为多个振型的任何时刻，每一振型在其自然频率上独立振动。如果假定了模态阻尼，每一模态都是独立衰减。几十年的经验已经表明，线性分析中假设模态阻尼是合理的。

原则上这可以扩展到非线性结构。如果结构的表现在线性和良好定义的非线性“事件”（如形成塑性铰）之间，振型可以在每一“事件”（即结构刚度变化的每一时间）重新计算，因此模态阻尼可以假设。

然而，在每一“事件”重新计算振型（实际上是阻尼矩阵）过于耗费时间。因此，当模态阻尼用于一个非线性结构时，假设阻尼矩阵保持恒定。在任何时刻，结构变形的形状仍然包含弹性振型的贡献。然而，与线性情况不同，这些形状的振动的有效周期不是线性周期，形状通常不独立（不解耦），且变形包含的形状不包含线性振型。具有下列影响：

a.振型仍然衰减，有效阻尼系数不变，但有效周期可能已经改变（可能增加），阻尼的量（表示为临界阻尼的比例）通常改变。

b.变形形状中只有对应于线性振型的部分衰减，其他所有变形不衰减。

这不能证明基于线性振型的阻尼模型是无效的，它仅表明物理解释是困难的。这种类型的模型可能是目前可用的模型中最好的。

（2）近似阻尼比

①能量的类型

对于一个动力分析，有如下7种不同类型的能量：

a.质量中的动能。

b.构件中的可恢复应变能。

c.构件中的不可恢复非弹性的能量耗散。

d.αM阻尼器的黏滞能量耗散。

e.构件中的βK阻尼的黏滞能量耗散。

f.模态阻尼的黏滞能量耗散。

g.液体阻尼器组件的黏滞能量耗散。

PERFORM-3D在分析的每一步都计算上述每一个能量（带有如下所述某些近似）。PERFORM-3D也计算结构上的外部做功，对于地震分析其为基底剪力做功，然而实际上计算的是由等效惯性力做的功。PERFORM-3D能量平衡图示意的截图如图4-14所示。

②近似阻尼比

a.概述

作为临界阻尼的百分比，模态阻尼比的概念仅严格地适用于线性结构特性。然而，它能够计算非线性表现的近似等效阻尼比。

b.理论

如果一个带有黏滞阻尼的线性单自由度结构受到一恒定振幅的强迫正弦振动，能量会在每一循环耗散。在一个完整周期内，耗散的能量和对应周期的最大应变能之间的关系为

式中，ξ为阻尼比。

如果一个线性单自由度结构受到地震荷载，应变能将随时间变化，如图4-15（a）所示。每一应变能峰值对应一个半循环。如果知道全部数量的半循环所耗散的能量，阻尼比可按下式计算

式中，N为半循环的数量（应变能峰值）。

对于一个多自由度非线性结构，应变能的变化可能更复杂，如图4-15（b）所示。然而，有效阻尼比可以按下式粗略地估计：

式（4-58）中，假设应变能峰值的均值为平均应变能的2倍。

c.步骤

PREFORM-3D执行了上述理论。

使用“Energy Balance”选项，选择荷载工况并点击“Plot”绘出结构的能量平衡图。我们可以键入定义时间段的数据（从T1到T2）和此范围内应变能峰值的数量。

在能量图中，选择一个应变能波谷并记录相应时间（移动光标到波谷来显示时间）。然后依次向前数若干应变能峰值，并记录在另一个波谷的时间。键入时间和峰值的数量，并点击“Calculate”来显示此段的近似阻尼比，则非弹性能量耗散和黏滞阻尼的四种可能类型（模态、αM、βK及液体阻尼器）的阻尼比便都计算出来了。

2.ATC 40对能量平衡阻尼比计算方法的修改

规范公式用于基底剪力法、振型叠加法、时程分析法时，计算细节有所不同。可以考虑如下修正（ATC 40：Push-over修正性能谱方法）：

（1）按规范公式计算的附加阻尼比是等效的，用来假设在结构将经历地震的多个循环中，结构位移等于最大位移。

（2）很可能只有几个循环的振幅接近最大值，多数循环振幅都较小。

（3）直观地讲，基于一个小于最大值的位移，使用有效周期和阻尼应该更精确。

（4）基于有限的经验，最大值的80％的位移是合理的。

（5）常见的影响为增加周期并减少阻尼，从而增加位移需求。

3.Push-over分析中等效阻尼比的估算

（1）Push-over分析

所有Push-over方法对每个试验点使用一个振动周期，周期取决于结构刚度。这个周期与阻尼比一起，用于键入反应谱来获得谱加速度需求。

FEMA 440给出了三种不同滞回环的有效刚度和阻尼比的计算方程，还有不基于特定滞回环的第四个方程组。用户也可以选择指定值。

在一个带有黏滞阻尼的线性结构中，能量由黏滞阻尼耗散。如果结构随一恒定振幅和周期振动，阻尼比作为临界阻尼的百分比为

对于Push-over方法，这个方程用在能力谱方法中，将非弹性耗散的能量转换为等效阻尼比。方程不用于系数方法或线性化方法。

对于ATC 40能力谱方法，阻尼比是在试验位移处计算的。耗散的能量为滞回环的面积，最大应变能为割线刚度线下的面积或0.5HΔ。对于修正的能力谱方法，阻尼比是在有效位移下计算的。两种情况中，滞回环的面积以及阻尼比取决于能量比。

（2）使用PREFORM-3D进行Push-over分析

如果结构有使用液体阻尼器构件的单元，这些单元对于Push-over分析的刚度为零。因此，它们不生成抵抗力且对性能曲线没有影响。然而，因为液体阻尼器增加阻尼的量，它们能够影响需求曲线以及位移需求。如果有必要，你可以对这些附加阻尼作出解释。此方法非常近似，但对初步设计可能很有用。

应用此方法，要做如下两件主要事情：

①当定义液体阻尼器构件的属性时，要指定“静力pushover”属性（在“ComponentProperties”选项中），默认的属性为零。

②使用能力谱方法，这是明确地考虑阻尼量的唯一方法。其他方法考虑阻尼不明确，且不能考虑液体阻尼器的附加阻尼。

在“Component Properties”选项中设置液体阻尼器构件时，选择“Static Pushover”页，在此页上指定一个黏滞系数C和一个速度指数n。为了计算静力分析中的能量耗散，组件中的力F按下式计算：

这里为变形率，变形率计算如下：

在一个Push-over分析期间，PERFORM-3D计算每个黏滞杆单元在性能曲线上每一点的轴向变形δ。所有这一变形假设集中于液体阻尼器构件，也就是说，在带有阻尼器的构件中弹性杆组件表现得非常刚。PERFORM-3D假设结构为恒定振幅的正弦振动，且振动的周期为当前的正割周期。因此，变形率也以正弦形式变化，且阻尼器中力的变化能够计算（只有n=1时，其为正弦）。因此一个振动循环耗散的能量便可以得出，这个能量为所有黏滞杆构件耗散能量的总和，且由方程（4-59）转化为阻尼比。

绘制带有黏滞杆构件的结构能力曲线时，将液体阻尼器提供的阻尼比绘制在水平轴上。

当计算需求曲线时要考虑附加阻尼比。此阻尼对位移需求的影响能够由在“Details”页中指定的一个值“液体阻尼器的有效性系数”看出。为忽略附加阻尼可指定此系数为0，为使用全阻尼则指定为1。因为方法是近似的，经验表明，系数在0～1之间可以使结果估计的更精确。