2.3 微分
2.3.1 微分的概念
例如,正方形金属薄片的面积S是边长x的函数S=x2,当受热后,边长x0有一增量Δx时,面积S相应地有一个增量.
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由上式,ΔS分成两部分,第一部分2x0Δx是Δx的线性函数,即图2-3中带有阴影的两个矩形面积之和;而第二部分(Δx)2是图中带有阴影的小正方形的面积,且当Δx→0时(Δx)2是Δx的高阶无穷小,即
(Δx)2=o(Δx) (当Δx→0)
因此,若边长的增量很微小时,即|Δx|很小时,面积的增量ΔS可近似地用第一部分2x0Δx来代替,即ΔS≈2x0Δx,它们之间相差仅仅是一个Δx的高阶无穷小.
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图 2-3
定义 若函数y=f(x)在点x0的增量可表示为
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+ο(Δx)(A为不依赖于Δx的常数)
则称函数y=f(x)在点x0可微,而AΔx称为f(x)在点x0的微分(differential),记作dy或df,即
dy=AΔx (2.3)
通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记为dx,即dx=Δx.故(2.3)式可写成
dy=f′(x)dx
若以dx除以上式两端,得,即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商.因此,导数又称微商.
下面从几何图形上说明微分的几何意义
定理 函数y=f(x)在点x0可微的充要条件是y=f(x)在点x0处可导,且A=f′(x0),即dy=f′(x0)Δx.
证明
必要性 已知y=f(x)在点x0可微,则Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+ο(Δx)
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故y=f(x)在点x0可导,且f′(x0)=A.
充分性 已知y=f(x)在点x0可导,则.
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故 Δy=f′(x0)Δx+αΔx=f′(x0)Δx+ο(Δx)
即 dy=f′(x0)Δx
注1:函数的增量Δy由两部分构成,第一部分f′(x0)Δx是函数增量的主要部分,是Δx的线性函数;第二部分αΔx是在Δx→0时Δx的高阶无穷小.
注2:在Δx→0时Δy与dy是等价无穷小,故当Δx很小时,有近似公式Δy≈dy.
设函数y=f(x),其曲线见图2-4.对于x点,曲线上有确定的点M(x,y),当自变量x有微小增量Δx时,就得到曲线上另一点M′(x+Δx,y+Δy),由图MQ=Δx,M′Q=Δy,过M点做曲线的切线MT,它的倾角为α,则
tan α=f′(x)
且有 PQ=MQ·tan α=Δxf′(x)
即 PQ=dy
由此得到微分的几何意义:函数y=f(x)在x点的微分等于曲线在该点的切线的纵坐标的增量.
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图 2-4
2.3.2 微分的运算法则
由函数的微分定义dy=f′(x)dx,可以看出,要计算函数的微分,只要计算函数的导数,然后乘以自变量的微分.由此从导数的公式和求导法则,可直接得到微分公式及微分运算法则.
1.微分的基本公式
dc=0 dxa=axα-1dx
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dax=axlnadx dex=exdx
dsin x=cos xdx dcos x=-sin xdx
![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00041006.jpg?sign=1734469568-Ti4YidNHzLCleuPxYKT8kkgH0ZRd9BHa-0-9cf37c7068477b901f3a249f9ce62c26)
dsec x=tan x·sec xdx dcscx=-cotx·cscxdx
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![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00041008.jpg?sign=1734469568-wv0AnJHID2GwxymYFgEDUntmSKomsmbI-0-adb9a64d64fc0aef9b99bf938563cca6)
2.微分的四则运算法则
设u,v都是x的可导函数,则
d(u±v)=du±dv
d(uv)=vdu+udv
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3.复合函数的微分法则
设函数y=f(u)具有导数,若u为自变量时,其微分为
dy=f′(u)du
若u为中间变量,是一个具有导数的函数u=φ(x),则复合函数y=f(φ(x))的微分
dy=yx′dx=f′(u)φ′(x)dx
又由于 du=φ′(x)dx
所以 dy=f′(u)du
由此可见,不论u是自变量,还是中间变量,函数y=f(u)的微分形式dy=f′(u)du保持不变,这一性质称为一阶微分形式的不变性.
例1 已知函数y=x·ln x+ex求dy.
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例2 已知函数y=cos(2x-1),求dy.
解 令u=2x-1,则
dy=dcosu=-sinudu=-sin(2x-1)d(2x-1)=-2sin(2x-1)dx
实际上,也可以利用微分定义求其微分.但在具体运用复合函数微分法则时,中间变量可以不写.
例3 已知函数y=xn·sin x求dy.
解 dy=d(xn·sinx)=xnd(sin x)+sin xd(xn)
=cos x·xndx+nxn-1·sin xdx=(xncos x+nxn-1·sin x)dx
例4 在下列等式的括号中填入适当的函数,使其等式成立.
(1)d( )=xdx (2)d( )=cosωxdx
解 (1)因为d(x2)=2xdx,所以
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![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00042007.jpg?sign=1734469568-dTjQKnGlYahWI62UQs2ejsEfDs8pQAeG-0-f6803cea2c2569f9d083a1f529c5f00f)
(2)因为d(sinωx)=ωcosωxdx,所以
![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00042005.jpg?sign=1734469568-ljxuDZoM54fjJ3W2YOicVq01OwrpmdKj-0-6088e9578236787f14f7dfddf1d34537)
![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00042006.jpg?sign=1734469568-ohlA49Zu3er8csvQpMAJkD1Vi6xKEJXS-0-9bd2b0b2d1dd95123043c35339820855)
*2.3.3 微分在近似计算和误差估计中的应用
微分在许多科学领域与实际计算中是很有用的.下面介绍微分在近似计算中的应用.
前面说过,若函数y=f(x)在x0点处可微,且f′(x0)≠0,当|Δx|很小时,我们有
Δy≈dy=f′(x0)Δx
此式可写为
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx (2.4)
或 f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx (2.5)
在(2.5)式中,令x=x0+Δx,便有
f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x-x0) (2.6)
若f(x0),f′(x0)易计算,则可利用(2.4)式来近似计算函数的增量Δy,利用(2.5)式来计算f(x0+Δx)或利用(2.6)式计算f(x).这种近似计算的实质为用x的线性函数f(x0)+f′(x0)(x-x0)来近似地表示函数f(x).从几何上来看,用曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线来近似地代替切线点邻近部分的曲线.
在(2.6)式中,若取x0=0,则有
f(x)≈f(0)+f′(0)x (2.7)
(2.7)式,当|x|很小时,它就是求f(x)的近似计算公式.由此公式,我们便可得出下面的近似计算公式:当|x|很小时,
ex≈1+x ln(1+x)≈x
sin x≈x(x为弧度) tan x≈x(x为弧度)
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(1+x)n≈1+nx
例5 求tan31°的近似值.
解 令f(x)=tan x,则f′(x)=sec2x取,则
tan x≈tan x0+sec2x0·Δx
![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00043003.jpg?sign=1734469568-lgteVWfk95ParHDOKTOavQPZCIvwqKqS-0-a5e2cd75e609376cb75b3e20ae29339f)
例6 有直径为10cm的金属球,外面镀铜,铜的厚度为0.005cm,求所用铜的体积的近似值.
解 半径为R的球的体积为
由已知条件 R0=5cm,ΔR=0.005cm
![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00043005.jpg?sign=1734469568-CAZxO242iA7sE63NbS4YsC8v6WCuVji2-0-4ef8cf52321e88dddffe42ed3114d987)
即所用铜的体积的近似值为1.57cm3.
例7 计算的近似值.
解 令,|x|=0.05时,|x|很小,可用推导的近似计算公式
![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00043008.jpg?sign=1734469568-3TTBUNhSNB4pezhdYdFYqwZJmqQaAydu-0-070c9c25e0d666b5ac3039ff7e611d17)
![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00043009.jpg?sign=1734469568-jMy7hmHo5vx5VKYaLrbGLte0GxvaWPU9-0-27ae87773cf7f706e4a2435d2880401d)
若直接开平方 ,可见近似计算的结果还是比较精确的.
由于Δy=f′(x)Δx+o(Δx)=dy+o(Δx),因此,函数的增量Δy若用微分dy来近似代替,其误差为Δx的高阶无穷小.若|Δx|足够小,这样近似代替可达到一定精度.
便于讨论,给出误差的几个术语.设某量的精确值为A,它的近似值为a,则|A-a|称为a的绝对误差,而绝对误差与|a|的比值称为a的相对误差.在实际问题中,精确值A往往是无法知道的,因此,绝对误差也无法求得.但我们可知道绝对误差的限度,如,知道|A-a|<δ,则称δ为a的最大绝对误差,称
为a的最大相对误差.
当x0靠近x时,f(x)可用(2.6)式近似计算,即
f(x)≈f(x0)+f′(x0)Δx
因此,当用f(x0)的值近似代替f(x)时,其绝对误差|Δy|≈|f′(x0)Δx|=|f′(x0)||Δx|,相对误差
设测量x产生的最大绝对误差为δx,即|Δx|<δx,y的最大绝对误差为δy,则
δy=|f′(x0)|δx
因为 |Δy|≈|f′(x0)||Δx|≤|f′(x0)|δx
故其最大相对误差为
![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00044003.jpg?sign=1734469568-Bzgv8vwq2zxf7PqREBZyrSDoxLB0iCmf-0-86629f9cf4e80c7f359971c803851012)
例8 多次测量血管直径的平均值为D=0.50mm,绝对误差的平均值为0.04mm,试计算血管截面积,并估计误差.
解 已知血管直径为D的圆面积为,则
由题意 D=0.5mm,ΔD=0.04mm
![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00044006.jpg?sign=1734469568-foL9nwtBrrC7F5wUAXptmODF7HkHroNf-0-f118f48af09136ceb0bec4ae47bc92d6)
S的绝对误差|ΔS|,为
![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00044007.jpg?sign=1734469568-grAaD3muomOLcw7QxaoWHwiN9xU7J3fU-0-27674291c328874608ae1ebe5c7fe29f)
S的相对误差 为
![](https://epubservercos.yuewen.com/B52511/17180251305301906/epubprivate/OEBPS/Images/img00044009.jpg?sign=1734469568-UfObx0WYU6PLiZ6IkKPNAKVzDNSuiYTD-0-a90b0f4117ac93ce2429f8d981599fcf)