2.1 导数的概念
变量、函数还不能从数量关系上完全刻画物质的运动.恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程、运动.”下面我们分析两个实际问题，从中探讨解决问题的基本思想方法，并给出导数的概念.
2.1.1 变化率问题
先考察两个实例.
1.自由落体的瞬时速度
众所周知，自由落体的速度是不断变化的.假如物体在初始时刻是静止的，并且忽略空气阻力的作用，则在时间t内下落的路程为
，其中g=9.81m/s2（自由落体加速度）.
对于匀速运动，利用速度公式
来表示各段时刻的速度.但对于类似自由落体这样的变速运动，由于每一时刻的速度都是不断变化的，因此无法利用上述公式来表示某一时刻的速度，需从另外角度来考虑这个问题.
欲求出自由落体运动在t0时刻的瞬时速度v0，先考察自由落体运动在t0时刻以前或以后的一个时刻t0+Δt，Δt是时间的增量.在t0与t0+Δt即｜Δt｜这段时间内自由落体所经过的路程为
若｜Δt｜很小，在这段时间内，我们将速度近似地看成是均匀的，其平均速度为
可以作为t0时刻的瞬时速度的近似值，显然｜Δt｜越小，这个近似值越精确.于是，自由落体运动t0时刻的瞬时速度v0，就是当Δt无限趋于0（Δt≠0）时，平均速度vΔt的极限，即
2.化学反应的速度
在某一化学反应中，生成某一物质.设该物质的生成量Q与时间t的函数关系为Q=Q（t），为确定t0时刻的反应速度，先考察在t0时刻以前或以后的一个时刻t0+Δt，在t0与t0+Δt即｜Δt｜这段时间内，物质生成量的增量为
ΔQ=Q（t0+Δt）-Q（t0）
化学反应的平均速度为
显然，当Δt→0时，平均速度vΔt的极限，就是t0时刻化学反应的速度v0，即
2.1.2 导数的定义
自由落体运动在某一时刻的瞬时速度问题及化学反应的速度问题，实际上是求函数的增量与自变量的增量之比的极限.许多理论和实际应用上的问题都要求计算这种类型的极限，即函数的变化率问题.
定义1 设函数y=f（x）在x0点的某一邻域内有定义，当自变量x在x0点有增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内），函数y相应有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），若函数的增量与自变量的增量之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在x0点处可导（有导数），该极限值称为函数f（x）在x0点处的导数（derivative）.记为
也可记为
若此极限不存在，则称函数f（x）在x0点不可导.若不可导的原因是，Δx→0时， 
，为了方便起见，称f（x）在x0点的导数为无穷大，记为f′（x0）=∞.
若f（x）在开区间（a，b）上每一点处都可导，就称函数f（x）在开区间（a，b）内可导.
从定义可以看出，f（x）在x点的导数是随x的改变而变化的，当任一x∈（a，b）时，都对应着f（x）的一个确定的导数值f′（x），所以f′（x）可以看成是x的一个新函数，我们称其为原来的函数y=f（x）的导函数，简称导数.记为f′（x），y′，
.
在（2.1）式中，若自变量的增量Δx只从大于0或只从小于0的方向趋于0，有
定义2 如果极限
存在，则称其极限值为函数f（x）在x0点的右导数（derivative on the right）或左导数（derivative on the left），记为 
或 
，且统称为单侧导数.
易证，f（x）在x0点可导的充分必要条件是：函数f（x）在x0点的左导数、右导数都存在且相等，即
.
若函数f（x）在开区间（a，b）内可导，且 
且 
存在，就说函数f（x）在闭区间[a，b]上可导.
例1 已知函数y=x2，求y′.
y=（x+Δx）2-x2=2xΔx+（Δx）22
例2 已知函数
，求y′及y′｜x=1.
即 
，从而 
.
2.1.3 导数的几何意义
为了使我们对“导数是函数在某点的变化率”有一直观的认识，下面用几何图形来说明导数的几何意义.
在平面直角坐标系xOy上，做函数y=f（x）的图形（见图2-1），在横坐标上取一点x0，并给增量Δx，曲线y=f（x）上横坐标为x0和x0+Δx的点分别为M0和M.显然M0点为（x0，f（x0）），M点为（x0+Δx，f（x0+Δx）），从而M0M为割线（secant）.由图2-1，割线M0M的斜率为
图 2-1
当Δx→0时，M点沿曲线y=f（x）趋向于M0点，割线M0M趋向于直线M0T，割线M0M的极限位置M0T叫做曲线y=f（x）在M0点的切线（tangent）.显然，切线M0T的斜率为
由此可见，导数f′（x0）的几何意义：f′（x0）表示曲线y=f（x）在M0（x0，f（x0））处的切线斜率.
过M0点且与切线垂直的直线叫作曲线y=f（x）在M0点的法线.由解析几何知，法线的斜率与切线的斜率互为负倒数.因此，曲线y=f（x）在M0点的切线方程为
y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）
法线方程为
显然，f′（x0）=0，切线方程为y=f（x0），法线方程为x=x0；
f′（x0）=∞，切线方程为x=x0，法线方程为y=f（x0）.
例3 求曲线y=x2在M0（1，1）点处的切线方程与法线方程.
解 由例1，y′=2x，故y′｜x=1=2，所以，曲线y=x2在M0（1，1）处的切线的斜率k1与法线斜率k2分别为：k1=y′｜x=1=2，
因此，切线方程为
y-1=2（x-1）
即 y=2x-1
法线方程为
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
如果函数y=f（x）在x点可导，则有
表明函数在x点连续.也就是说，如果函数f（x）在x点可导，则在该点必连续.
函数f（x）在x点连续，但在该点不一定可导.例如y=｜x｜（见图2-2），在x=0点连续，但在该点不可导.
因为
，左、右导数不相等，即导数不存在.