小结

1.1　函数

一、主要内容与要求

1.掌握函数的概念及表示法，会求函数的定义域、分段函数的函数值，能够判断两个函数是否相同，会求函数的反函数.

2.了解判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性，掌握单调上升（或单调下降）函数、奇（或偶）函数、周期函数、有界函数的图形特点.

3.熟练掌握基本初等函数的定义、定义域、值域、图像与性质.

4.理解复合函数的概念，会将复合函数分解为若干简单函数、基本初等函数的复合.

5.掌握初等函数的概念，了解有的分段函数是初等函数，有的分段函数不是初等函数.

二、方法小结

1.确定函数定义域的方法：

（1）分式的分母不为零；

（2）开偶次方根的被开方式非负；

（3）logaf（x）要求f（x）>0；

（4）tan f（x）要求，k是整数，cot f（x）要求f（x）≠kπ，k是整数；

（5）arcsin f（x），arccos f（x）要求|f（x）|≤1.

难点：解不等式组或方程组.

2.将复合函数分解为若干简单函数或基本初等函数：

（1）对函数y=f（φ（x）），找到中间变量u=φ（x），使y=f（u）是基本初等函数（若形如函数y=2sin x·ln（2x+3）的分解，则先分解为简单函数y=u（x）·v（x））；

（2）对函数u=φ（x）的分解，重复步骤（1）的思想，从外向内，逐层分解.

1.2　极限

一、主要内容与要求

1.理解数列极限的概念.

2.理解函数极限的概念，理解双侧极限与单侧极限的关系：

会判断分段函数在分界点处是否有极限.

二、方法小结

1.本节的七个极限定义的思想及判断方式可以看成同一种模式：（1）看自变量的变化趋势是n→∞，x→∞，x→+∞，x→-∞，x→x0，中的哪一种趋势；（2）观察、分析函数的变化趋势：如果函数无限地趋于某个固定的常数A，则常数A就是函数在该变化过程下的极限，反之亦然.

2.判断分段函数在分界点处是否有极限，一定要求左、右极限.

3.函数的极限是否存在与f（x0）是否存在无关.理由是：极限是考虑函数f（x）在x→x0的变化趋势问题，它不考虑f（x）在x0点的情况.

1.3　计算极限的运算法则

一、主要内容与要求

1.熟练掌握极限的四则运算法则，理解法则的条件仅仅是充分条件.

2.了解本节出现的三种未定型极限：，并理解将三种未定型极限转化为定型极限的手段.

3.了解复合函数的极限法则，并会应用.

二、方法小结

未定型极限的求法：

（1）型极限，采取分子、分母因式分解或有理化方式，消去分母的零因式，化为定型极限，进而用极限的四则运算法则求解；

（2）型极限，采取分子、分母同除以分母的x的最高次幂的方式，化为定型极限，进而求解；

（3）型极限，采取通分方式，化为“”型，再用所学知识，化为定型极限，进而求解.

1.4　两个重要极限

一、主要内容与要求

1.掌握第一重要极限的模型，会应用.

2.掌握第二重要极限的模型，会应用.

二、方法小结

1.应用第一重要极限求极限.当把自变量的变化趋势x→a代入所求极限表达式，出现sin f（x），f（x）→0时，考虑用第一重要极限的模型

2.应用第二重要极限求极限.当把自变量的变化趋势x→a代入所求极限表达式，出现“1∞”型时，考虑用第二重要极限的模型

1.5　无穷小与无穷大

一、主要内容与要求

1.掌握无穷小的概念，会判断当x→a时，f（x）是否是无穷小；若已知f（x）是无穷小时，会判断自变量x该怎样变化.

2.理解无穷小与函数极限的关系：

3.理解有限个无穷小的和、差、积仍然是无穷小；有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小；会应用无穷小的性质求极限；了解两个无穷小阶的概念及阶的比较方法.

4.掌握无穷大的概念，会判断当x→a时，f（x）是否是无穷大；若已知f（x）是无穷大时，会判断自变量x该怎样变化；理解无穷小与无穷大的关系.

二、方法小结

应用“有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小”求极限：

当f（x）是无穷小且f（x）≠0时，都是有界函数，此时应用“有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小”求极限.

1.6　函数的连续性

一、主要内容与要求

1.了解函数y=f（x）在点x0增量的概念，掌握判断函数y=f（x）在点x0连续的方法，会判断分段函数在分界点x0处是否连续.

2.了解函数y=f（x）在x0点左连续、右连续的概念，了解函数y=f（x）在开区间（a，b）内连续，在闭区间[a，b]上连续的概念，理解基本初等函数在定义域内都连续，了解两个连续函数经过有限次的四则运算，有限次的复合步骤所得函数仍是连续函数，掌握初等函数在其定义域内（定义域有孤立点集除外）都连续的结论.

3.理解并记住连续函数在闭区间[a，b]上必有最大值、最小值；理解介值定理，零点定理；了解方程在区间（a，b）内至少有一个实数根的判断方法.

二、方法小结

1.求分段函数f（x）的连续区间：

由于分段函数f（x）在不同的区间段具有不同的初等函数表达式，所以只需考虑f（x）在分界点是否连续，根据分段函数f（x）在分界点x0处是否连续的定义，观察：（1）f（x0）是否存在？（2）是否存在？（3）？从而可知分段函数f（x）的连续区间.

2.判断方程在区间（a，b）内至少有一个实数根：

将方程写成f（x）=0，检验f（x）是否在区间[a，b]内满足零点定理的条件，进而可得结论.

1.7　用MATLAB求极限

一、主要内容与要求

1.会用plot（x，y），fplot（fun，[a，b]）命令格式作一元函数y=f（x）的图像.

2.会用limit（fun，x，a），limit（fun，x，inf），limit（fun，x，a，left），limit（fun，x，a，right）命令格式求一元函数y=f（x）的极限.

二、方法小结

1.用MATLAB求极限.首先要定义符号函数syms x，其次写函数表达式时一定要注意书写方法，这是初学者的难点.

2.用MATLAB画图.命令plot（x，y）相当于描点作图，要定义x，y；而命令fplot（fun，[a，b]），只需定义符号函数syms x后，直接用命令fplot（fun，[a，b]）作图.