第2讲 一元二次方程的解法及根与系数的关系

提分导练

提分点一 用因式分解法解一元二次方程

【例1】用因式分解法解下列方程：

(1)y2+7y+6=0;

(2)t(2t-1)=3(2t-1);

(3)(2x-1)(x-1)=1.

提示：（1）方程左边可分解为（y+6）（y+1）；（2）移项使方程右边为0，方程左边可提取公因式（2t-1）；（3）移项使方程右边为0，方程左边先化简然后再因式分解．

解答：（1）方程可变形为（y+1）（y+6）=0，y+1=0或y+6=0，∴y1=-1，y2=-6.

（2）方程可变形为t（2t-1）-3（2t-1）=0，（2t-1）（t-3）=0，2t-1=0或t-3=0，∴t1=，t2=3.

（3）方程可变形为2x2-3x=0，x（2x-3）=0，x=0或2x-3=0，

∴x1=0,x2=.

【类题训练】

1．用因式分解法解方程，下列解法正确的是（ ）.

A．（2x-2）（3x-4）=0 ∴2x-2=0或3x-4=0

B．（x+3）（x-1）=1 ∴x+3=0或x-1=1

C．（x-2）（x-3）=2×3 ∴x-2=2或x-3=3

D．x(x+2)=0 ∴x+2=0

2．用因式分解法解下列方程：

(1)(x+1)2=(2x-1)2;

(2)2y2+4y=y+2.

3．（中考·湘潭）由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.如：

因式分解：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）

（1）尝试：

因式分解：x2+6x+8=（x+__________）（x+__________）；

（2）应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.

提分点二 选用适当的方法解一元二次方程

【例2】用适当方法解下列方程：

(1);

(2)x2-6x-19=0;

(3)3x2=4x+1;

(4)y2-15=2y;

(5)5x(x-3)-(x-3)(x+1)=0;

提示：方程（1）用直接开平方法，方程（2）用配方法，方程（3）用公式法，方程（4）化成一般式后用因式分解法，而方程（5）不用化成一般式，直接用因式分解法就可以了．

解答：（1）（1-x）2=，（x-1）2=3，x-1=，∴x1=1+，x2=1-.

（2）移项得x2-6x=19，配方得x2-6x+（-3）2=19+（-3）2，（x-3）2=28，x-3=，

∴x1=3+,x2=3-.

（3）移项得3x2-4x-1=0，

∵a=3,b=-4,c=-1,

则b2-4ac=（-4）2-4×3×（-1）=

28＞0,x=,

∴x1=.

（4）移项得y2-2y-15=0，把方程左边因式分解得（y-5）（y+3）=0；

∴y-5=0或y+3=0，

∴y1=5,y2=-3.

（5）将方程左边因式分解得（x-3）×[5x-（x+1）]=0，（x-3）（4x-1）=0，

∴x-3=0或4x-1=0，

∴x1=3,x2=.

【类题训练】

4．解方程：①9（x-3）2=25；②6x2-x=1；③x2+4x-3596=0；④x（x-1）=1，较简便的方法依次是（ ）.

A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法

B．因式分解法、公式法、公式法、配方法

C．配方法、因式分解法、配方法、公式法

D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法

5．用适当的方法解下列方程：

(1)3(x+2)2=;

（2）（中考·安徽）x2-2x=4；

(3)5x2-4x=0.

提分点三 一元二次方程的根与系数的关系

【例3】（期中·广州）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2-x1x2＜-1且k为整数，求k的值．

提示：（1）方程有两个实数根，必须满足Δ=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；

（2）先由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-2，x1x2=k+1.再代入不等式x1+x2-x1x2＜-1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．

解答：（1）∵方程有实数根，

∴Δ=22-4(k+1)≥0.

解得k≤0.

故k的取值范围是k≤0.

（2）根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-2，x1x2=k+1，

∴x1+x2-x1x2=-2-(k+1).

由已知得-2-（k+1）＜-1，解得k＞-2.

又由（1）知k≤0，

∴-2＜k≤0.

∵k为整数，

∴k的值为-1和0.

【类题训练】

6．已知x1，x2是方程x2+3x-1=0的两个实数根，那么下列结论正确的是（ ）.

A．x1+x2=-1

B．x1+x2=-3

C．x1+x2=1

D．x1+x2=3

7．（中考·恩施）已知一元二次方程2x2-5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=__________.

8．（中考·孝感）已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1，x2.

（1）求m的取值范围；

（2）当x21+x22=6x1·x2时，求m的值．

提分检测

1．（中考·黄冈）已知方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1，x2.则x1+x2=（ ）.

A．-3

B．3

C．

D．

2．方程x（x-1）=2的两根为（ ）.

A．x1=0,x2=1

B．x1=0,x2=-1

C．x1=1,x2=-2

D．x1=-1,x2=2

3．（中考·潍坊）已知关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2.若=4m，则m的值是（ ）.

A．2

B．-1

C．2或-1

D．不存在

4．（中考·滨州）方程x（x-2）=x的根是__________.

5．（中考·南京）设x1，x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1=__________，x2=__________.

6．已知a，b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，求代数式（a-b）（a+b-2）+ab的值．

7．用因式分解法解下列一元二次方程：

(1)6y2-3y=0;

(2)(2x+3)2=x2-2x+1.

8．用适当的方法解下列方程：

(1)x2-4x+2=0;

（2）（中考·山西）2（x-3）2=x2-9.

9．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2.

（1）求实数k的取值范围；

（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2=-x1x2，求k的值．

高分必练

1．（竞赛·全国）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则的值为（ ）.

A．0

B．1

C．2

D．3

2．（竞赛·“新知杯”上海）已知关于x的两个方程x2-x+3m=0，x2+x+m=0，若前一个方程中有一个根是后一个方程中某个根的3倍，求实数m的值．

3．（竞赛·江苏）设x1，x2是方程x2+x-4=0的两个实数根，求代数式-5×+10的值．