1.3 测量误差

1.3.1 测量误差的基本概念

测量是传感器检测技术的重要组成部分，能够帮助人们获得客观事物定性的认识及定量的信息，寻找并发现客观事物发展的规律，目的是希望通过测量获取被测量的真实值。但是在实际测量中，由于测量设备不准确、测量手段不完善、测量程序不规范、环境影响、测量操作不熟练、工作疏忽及科学水平的限制等因素，导致测量结果与被测量真值不同。测量仪器的测得值与被测量真值之间的差异称为测量误差。

不同性质的测量，允许测量误差的大小是不同的，但随着科学技术的发展，对减小测量误差的要求越来越高。在某些情况下，误差超过一定限度的测量结果不仅没有意义，而且还会给工作造成影响甚至危害。例如，射程为几千千米的洲际导弹，若航向误差为0.03°，会使导弹偏离目标5～8km。在科学实验和工程实践中，任何测量结果都含有误差。测量中存在误差是绝对的，而测量误差的大小则是相对的。由于测量误差存在的必然性和普遍性，因此，人们只能根据需要和可能，将它控制到尽量低的程度，而不能完全消除它。

1. 测量误差相关的名词术语

真值：指被测量在一定条件下客观存在的、实际具备的量值。真值是不可确切获知的，实际测量中常用“约定真值”和“相对真值”。约定真值是用约定的办法确定的真值，如砝码的质量。相对真值是指具有更高精度等级的计量器的测量值。

标称值：指计量或测量器具上标注的量值，如标准砝码上标注的质量数等。

示值：指由测量仪器（设备）给出的量值，也称为测量值或测量结果。

测量误差：指测量结果与被测量真值之间的差值。

误差公理：指一切测量都具有误差，误差自始至终存在于所有科学实验的过程之中。研究误差的目的是找出适当的方法减小误差，使测量结果更接近真值。

准确度：测量结果中系统误差与随机误差的综合，表示测量结果与真值的一致程度，由于真值未知，准确度是个定性的概念。

测量不确定度：表示测量结果不能肯定的程度，或者说是表征测量结果分散性的一个参数。它只涉及测量值，是可以量化的，经常由被测量算术平均值的标准差、相关量的标定不确定度等联合表示。

重复性：指相同条件下，对同一被测量进行多次测量所得到的结果之间的一致性。相同条件主要包括相同的测量程序、测量方法、观测人员、测量设备和测量地点等。

2. 测量误差的表示方法

（1）绝对误差

绝对误差（绝对真误差）是被测量的测得值与真值之差，可以表示为：

ΔA=Ax-A0 （1-7）

式中 ΔA——绝对误差；

Ax——被测量的测得值；

A0——被测量的真值。

绝对误差有大小，可正可负，且是一个有单位的物理量，其单位与测得值和实际值相同。其大小和符号分别表示了测量值偏离实际值的程度和方向，但不能表示测量结果的准确度。例如，人体体温在37℃左右，若测量绝对误差为±1℃，这样的测量准确度非常人所能容忍。而如果测量1400℃左右炉窑的炉温，绝对误差能保持±1℃，这样的测量准确度就相当令人满意了。因此，为了表明测量结果的准确程度，一种方法是将测得值与绝对误差一起列出，如上面的例子可写成（37±1）℃和（1400±1）℃；另一种方法就是用相对误差来表示。与绝对误差大小相等、符号相反的量称为修正值C，也叫补值，即

C=A0-Ax （1-8）

由式（1-8）可见，当测量得到示值后，加上修正值即可消除误差的影响而得到相对真值，即实际值。某些较准确的测量仪器的修正值一般是通过上一级计量部门检定，常以表格、曲线、公式或数字的形式给出修正值。有些自动测量仪器还将修正值预先编成程序存储在仪器中，测量时对测量结果自动进行修正。

例如：由某电流表测得的电流示值为0.83mA，查该电流表检定证书得知该电流表在0.8mA及其附近的修正值都为-0.02mA，那么被测电流的实际值为：

A=［0.83+（-0.02）］mA=0.81mA

（2）相对误差

绝对误差的表示方法一般不便于描述测量结果的准确程度，因此提出了相对误差的概念。相对误差的形式很多，常用的有以下几种。

1）真值相对误差γ。

真值相对误差为绝对误差ΔA与真值A0的比值，也称为实际值相对误差，通常用百分数来表示：

相对误差只有大小和符号而无单位。这里真值A0也用约定真值或相对真值代替。但在约定真值或相对真值无法知道时，往往用测量值代替。

2）示值相对误差（标值相对误差）γx。

示值相对误差是绝对误差ΔA与示值Ax的比值，即：

应注意，因为示值中也有误差，所以这种表示方法不很严格，在误差比较小时，γ0和γx相差不大，无须区分，但在误差比较大时，两者相差悬殊，不能混淆。

3）引用误差（满度相对误差）γ0。

一般仪器（仪表）是用来测量某一规定范围的被测量，而不是只测量某一固定大小的被测量。一般仪器（仪表）标尺上各点的绝对误差相近似，而相对误差却随着被测量的减少而逐渐增大，而且有可能增至无限大，因而用相对真误差或示值相对误差不能客观正确地衡量仪器（仪表）的准确程度。

引用误差定义为绝对误差与仪器（仪表）量程之比，用百分数表示如下：

式中：γn为引用误差；Am为测量仪器（仪表）的量程。

仪器（仪表）的准确度是指仪器（仪表）在规定的工作条件下可能产生的系统误差。国家标准GB 776～76《电测量指示仪表通用技术条件》规定，电测量仪器（仪表）按准确度等级数口分为：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0等7级。准确度等级的数值越小，允许的基本误差就越小，表示仪器（仪表）的准确度就越高。

【例1-1】某电压表A=1.5，试算出它在0～100V量程中的最大绝对误差。

解：在0～100V量程内上限值Am=100V，由式（1-11）得到：

ΔAmax=a%×Am=±1.5%×100V=±1.5V

一般说来，测量仪器（仪表）在同一量程不同示值处的绝对误差实际上未必处处相等。但对使用者来说，在没有修正值可利用的情况下，只能按最坏情况处理。

最大示值相对误差为：

另外，准确度等级以所表示的最大引用误差是在正常使用条件下得出的，如果测量时不能满足规定的工作条件，那么系统误差应包括以准确度等级a所表示的基本误差，再加上工作条件变化时的附加误差。

【例1-2】最大限量为30A、准确度等级为1.5级的安培表，在规定工作条件下测得某电流为10A，求测量时可能出现的最大相对误差。

解：

【例1-3】某1.0级电压表，量程为300V，当测量值分别为U1=300V，U2=200V，U3=100V时，试求出测量值的（最大）绝对误差和示值相对误差。

解：根据式（1-11）可得绝对误差：

由【例1-3】不难看出：测量仪器（仪表）产生的示值测量误差γx不仅与所选仪器（仪表）等级指数a有关，而且与所选仪器（仪表）的量程有关。在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。应当注意，测量中所用仪器（仪表）的准确度并不是测量结果的准确度，只有在示值与满度值相同时，二者才相等，否则测得值的准确度数值将低于仪器（仪表）的准确度等级。所以，在选择仪器（仪表）量程时，测量值应尽可能接近仪器（仪表）满度值，一般不小于满度值的2/3。这样，测量结果的相对误差将不会超过仪器（仪表）准确度等级指数百分数的1.5倍。这一结论只适合于以标度尺上量限的百分数划分仪器（仪表）准确度等级的一类仪器（仪表），如电流表、电压表及功率表；而对于测量电阻的普通型欧姆表是不适合的，因为欧姆表的准确度等级是以标度尺长度的百分数划分的。可以证明，欧姆表的示值接近其中值电阻时，测量误差最小，准确度最高。

在实际测量操作时，一般应先在大量程下，测得被测量的大致数值，而后选择合适的量程再进行测量，以尽可能减小相对误差。

1.3.2 测量误差的分类

根据误差产生的原因以及误差的性质，测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差3类。

1. 系统误差

系统误差是指在相同条件下，多次测量同一个量时，误差大小和符号均保持恒定，或按某种规律变化（例如有规律地逐渐增大或周期性增大和减小）的一种误差。产生的原因主要有：

1）工具误差，是指仪器（仪表）本身不准确。工具误差可分为基本误差和附加误差。

①基本误差是指仪器（仪表）在规定的工作条件下，例如在规定的温度、湿度、放置方式、外界电场和磁场干扰强度等条件下，由于技术水平和生产条件限制，仪器（仪表）本身结构不完善产生误差而引起的误差。标准条件一般是指仪器（仪表）在标定刻度时所保持的工作条件。例如，电源频率50Hz、环境温度（20±5）℃及相对湿度（70±15）%等。仪器（仪表）的问题主要体现在其本身的材料、零部件及工艺等有缺陷，以及转动部分的摩擦、刻度不准、轴承与轴尖的间隙造成可动部分的倾斜等。

②附加误差是指测量仪器（仪表）使用时偏离规定的工作条件而造成的误差，例如温度过高、波形非正弦、电源电压过高、频率不稳、外界电磁场干扰等。

飞行器上所用的仪器（仪表），在一次测量过程中环境条件也可能有较大变化，需要特别注意其附加误差的情况。

2）方法误差是指测量方法和理论不完善引起的误差。主要是测量中所采用的测量方法没有充分考虑到各种因素对测量结果的影响，如接线不合理、理论依据不严密等，或采用了近似公式。

3）使用不当，如仪表放置方向不正确、未经调零等。

4）系统误差还与操作者的操作水平、反应速度和固有习惯有关系。

系统误差是客观存在的，但有一定规律和重现性，可以采取必要的措施，将其消除或减小。系统误差表征了测量结果的准确度，系统误差越小，测量结果就越准确。

2. 随机误差（偶然误差）

在相同条件下多次测量同一量时，大小和符号均可能发生变化的误差称随机误差。其值时大时小，符号时正时负，没有确定的变化规律。

随机误差是测量实验中许多独立因素的微小变化的总和而引起的。例如仪器（仪表）内部某些零部件的热噪声、机械部件的间隙、摩擦、温度和湿度起伏、空气扰动、大地微震、噪声干扰以及电磁场干扰等。这些互不相关的独立因素是人们不能控制的，它们中的某一项影响极其微小，但很多因素的综合影响就造成每一次测得值的无规律变化。一般说来，这种误差比较小，工程测量可以略而不计，只有精密测量才予以考虑。

随机误差无规律可循，产生原因也难以预计，而且不可控制，无法用实验的方法加以消除。但从总体来说，多次测量中随机误差服从统计规律，因此可以用统计方法估计它的影响程度。

多个随机误差服从统计规律，数据越多，其规律性越明显。误差的分布规律有多种，最常见的是正态分布规律。对一个物理量进行多次等精度测量所得到的一系列读数一般都服从正态分布规律，其随机误差也服从正态分布规律。

服从正态分布的随机误差呈现下述4种特性。

1）有界性：即在一定条件下对某量进行有限次测量，其随机误差的绝对值不超过一定范围。

2）单峰性：偶然误差的绝对值从小到大出现的概率越来越小。

3）对称性：测量次数足够多时，绝对值相等的正误差和负误差出现的次数（或概率）基本相等。

4）抵偿性：从对称性可推论出，正误差与负误差是互相抵消的，测量次数无限增加时，所有误差的代数和趋于0。

随机误差不能用实验的方法消除或减小，只能用概率统计的方法处理。工程上常采用对被测量进行多次重复测量取其算术平均值作为测量结果，以消除可能存在的偶然误差。

随机误差表征了测量结果的精密度，随机误差小，精密度高，反之，精密度低。

3. 粗大误差（疏忽误差）

在相同条件下，对同一被测量进行多次测量，测量结果明显偏离被测量的真值的误差称为粗大误差，简称为粗差。

粗差的产生主要有两个原因：一是由于操作者过于疲劳、粗心和疏忽或工作责任心不强而引起，如不正确使用仪器，读错、记错及算错数据，或是使用有缺陷的量具或仪器；二是由测量中的统计规律决定的，当测量次数较多时，总会有大的随机误差出现。因为含有粗差的读数明显地歪曲了测量结果，称其为坏值或异常值，在处理数据时应予剔除。对于前类原因造成的坏值，可以随时发现、随时剔除；后一类坏值是由随机因素造成的，符合统计规律。

应当指出，上述3类误差的定义是科学而严谨的，是不能混淆的。但在测量实践中，对于测量误差的划分是人为的，是有条件的。3类误差之间是辩证统一的关系，在不同的测量场合和不同的测量条件下，误差之间是可以相互转化的。例如一块电压表的误差会使得在测量某电源电压时产生系统误差，但若用多块不同的电压表测量此电源电压时，则各电压表误差的随机性使各测量值具有随机性。

要进行精密测量，必须消除系统误差，剔除粗大误差，采用多次重复测量取平均值来消除随机误差的影响，从而得到测量结果的最可信赖值。

1.3.3 系统误差的消除

消除或减小系统误差是实现准确测量的条件之一。系统误差有确定的客观规律，其产生的规律经过仔细研究是可以掌握的。对于系统误差的处理，要求实验者对整个测量过程有一个全面仔细的分析，弄清楚可能产生系统误差的各种因素，然后在测量过程中予以消除。根据具体情况采取不同的措施，可从以下几方面着手：

1）产生系统误差的来源多种多样，在进行测量之前，尽可能预计产生系统误差的来源，并在实施测量前采取措施消除或削弱其影响。

2）根据测量的准确度要求，采用一些行之有效的测量方法，测量仪器（仪表）在规定的环境下进行测量，以消除或减小系统误差。

3）进行数据处理时，检验系统误差是否仍存在，对测量读数进行合理修正。

4）估计出残存的系统误差值或范围，确定其对测量结果的影响。

另外，在测量之前，求取某类系统误差的修正值，在测量的数据处理过程中手动或自动地将测量结果用修正值进行修正，从测量读数或结果中消除或减弱该类系统误差。另外，确定温度、湿度等环境因素对测量的影响，并对测量结果进行修正，可以减小由环境条件改变带来的误差。修正方法是消除或减弱系统误差的常用方法，在智能化仪器（仪表）中得到了广泛应用。

修正值的获得有以下3种途径。

1）从有关资料中查取，如仪器（仪表）的修正值可从该仪器（仪表）的检定证书中获取。

2）通过理论推导求取。

3）通过实验求取。对影响测量读数的各种影响因素，如温度、湿度、频率及电源电压等变化引起的系统误差，可通过实验作出相应的修正曲线或表格，供测量时使用。对不断变化的系统误差，如仪器（仪表）的零点误差、增益误差等可采取现测现修的方法解决.在带有微处理器的数字化仪器（仪表）中常采用3步测量实时校准。

由于修正值本身还有误差，故这种方法只适用于工程测量。

1.3.4 测量误差的估计

由于偶然误差一般都比较小，所以只有进行精密测量或精密实验才予以考虑，而在一般工程测量时往往忽略不计，只考虑测量中的系统误差。

用指示仪表进行直接测量，可以根据仪表的准确度等级，估计可能产生的最大误差。指示仪表的准确度等级用最大引用误差表示，例如最大引用误差为1%，测定该仪表的准确度等级为1级，若最大引用误差为γm，则准确度等级为a，有：

式中：a为仪表准确度等级；γm为最大引用误差；Δm为最大绝对误差；Am为仪表的量程。

在直接测量中，由仪表产生的最大绝对误差和相对误差分别为：

式中：Ax为被测量的实际值，在不知道Ax的情况下，可以取被测量多次测量值的平均值来代替。

在实际测量中，误差常来源于许多方面，测量结果的总误差是测量各环节误差因素共同作用的结果。由此看出，测量总误差通常总是与有关的若干分项误差有关。已知被测量与各参数的函数关系及各个测量值的分项误差，求被测量的总误差称为误差合成。