第3章 汽车行驶振动

3.1 道路路面不平度的统计描述

3.1.1 路面谱及其分类

图3-1所示为一路面的纵剖面图。路面相对于基准平面的高度q沿道路走向长度I的变化q（I）称为路面纵断面曲线或不平度函数。这个函数的自变量为路面与选定的坐标原点的距离I，而不是时间t，因此，对应于路面激励q（I）的功率谱为G_q（n）。

1984年由国际标准化组织在ISO/TC 108/SC2N67文件中提出的“路面不平度表示方法草案”和GB/T 7031—2005《机械振动道路路面谱测量数据报告》标准中，均建议路面功率谱密度G_q（n）用式（3-1）作为拟合表达式

式中，n为空间频率（m^-1），它是波长λ的倒数，表示每米长度中所包含的波的个数；n₀为参考空间频率，n₀=0.1m^-1；G_q（n₀）为参考空间频率n₀下的路面功率谱密度值，称为路面不平度系数（m²/m^-1=m³）；w为频率指数，为双对数坐标上斜线的斜率，它决定路面功率谱密度的频率结构。

式（3-1）在双对数坐标上为一斜线，对实测路面功率谱密度拟合时，为了减少误差，在不同空间频率范围可以选用不同的拟合系数进行分段拟合，但不应超过4段。

上述两个标准还提出了按路面功率谱密度，将路面的不平度分为A、B、C、D、E、F、G和H共8级，如表3-1所示。

表3-1规定了8级路面不平度系数G_q（n₀）的几何平均值，分级路面谱的频率指数w=2。表中还同时列出了0.011m^-1＜n＜2.83m^-1范围路面不平度相应的均方根值q_rms（σ_q）的几何平均值。

图3-1 路面的纵剖面

表3-1 路面不平度8级分类标准

（续）

图3-2 路面不平度分级图

图3-2所示为路面不平度分级图，可以看出路面功率谱密度随空间频率n的提高或波长λ的减小而变小。当w=2时，G_q（n）与λ²成正比，G_q（n）是不平度幅值的均方值谱密度，故G_q（n）又与不平度幅值的平方成正比，所以不平度幅值q₀大致与波长λ成正比。

上述路面功率谱密度G_q（n）指的是垂直位移功率谱密度，还可以采用不平度函数q（I）对纵向长度I的一阶导数，即速度功率谱密度和二阶导数，即加速度功率谱密度来补充描述路面不平度的统计特性。（m）和与G_q（n）的关系为

当频率指数w=2时，由式（3-2）和式（3-3）可得

可以看出，此时路面速度功率谱密度幅值在整个频率范围为一常数，即“白噪声”，幅值大小只与不平度系数G_q（n₀）有关，用它来计算分析振动响应的功率谱会带来方便。

3.1.2 空间频率与时间频率功率谱密度的关系

路面不平度的空间频率功率谱密度为，计算要用到时间频率谱密度G_q（f），因而须将路面空间功率谱换算为路面不平度的时间功率谱G_q（f）。设汽车速度为v（m/s），则时间频率f是空间频率n与车速v的乘积，即

f=vn （3-6）

又根据自功率谱密度与相关函数为傅里叶变换对的关系，可得空间频率功率谱密度为

式中，ζ是路面上两点之间的距离，相当时域中自相关函数R（τ）中的时间间隔τ，因而有

ζ=vτ （3-8）

将式（3-6）和式（3-8）代入式（3-7），可得

即 G_q（n）=vG_q（f） （3-9）式中，R（v，τ）表示自相关函数，为速度v和时间间隔τ的函数，当速度一定时，即v为常数，则自相关只是时间间隔τ的函数，因此，R（v，τ）可以写成R（τ），整理式（3-9），可得

G_q（f）=G_q（n）/v （3-10）

将式（3-1）和式（3-6）代入式（3-10），可得时间频率功率谱密度G_q（f）的表达式，当w=2时，有

因此，时间频率的速度和加速度的功率谱密度与位移功率谱密度G_q（f）的关系式为

由上可知，时间频率的路面不平度位移、速度和加速度的功率谱密度G_q（f）、和都与路面不平度系数以及车速v成正比。

3.1.3 车辆路面不平输入的功率谱密度

1.前、后两车轮输入的功率谱密度与互谱密度

上面只讨论了一个车轮的自功率谱，如果考虑前、后车轮两个输入时，还要研究两个输入之间的互功率谱问题。如图3-3所示，x（I）为前轮遇到的不平度函数，假定前、后轮走同一个车辙，则后轮只是比前轮滞后一段长度I（轴距），因而后轮不平度函数为x（I-l）。

图3-3 前、后车轮的两个输入

如令x（I）的傅里叶变换为X（n），即

F[x（I）]=X（n） （3-14）

则根据傅里叶变换的性质可得

F[x（I-l）]=X（n）e^-j2πnl （3-15）

如果激励前、后轮的道路谱的自谱、互谱分别用G₁₁（n）、G₂₂（n）、G₁₂（n）和G₂₁（n）表示，则有

式中，L为路面长度I方向上的分析距离，X*（n）为X（n）的共轭复数。以上各式也可以写成矩阵形式，即

写成时间频率的功率谱则为

2.四轮输入时的功率谱密度与互谱密度

图3-4所示为四轮输入示意图。四车轮输入时，如果x（I）、y（I）分别为左前轮和右前轮遇到的不平度函数，则左后轮和右后轮不平度函数分别为x（I-l）、y（I-l）。

根据不平度函数的傅里叶变换与功率谱之间关系，可得四个车轮输入的自功率谱和四个车轮彼此间输入的互功率谱，共16个谱量G_ik（n）（i，k=1，2，3，4），为

图3-4 四轮输入示意图

因此，四个车轮输入的自功率谱和互功率谱，共16个谱量分别为

两个轮迹之间不平度的统计特性，用它们之间的互功率谱密度函数或相干函数来描述。互谱密度一般为复数，用指数形式表示时，左、右轮迹间的互谱可以表示为

式中，G_xy（n）为x（I）与y（I）的互振幅功率谱；ϕ_xy（n）为x（I）与y（I）的互相位谱。

两个轮迹的相干函数，可表示为

相干函数coh²_xy（n）在频域内描述了x（I）与y（I）中频率为n的分量之间线性相关的程度。当coh²_xy（n）=1时，表明对x（I）与y（I）中频率为n的分量之间幅值比和相位差保持不变，即完全线性相关；当coh²_xy（n）=0时，表明x（I）与y（I）中频率为n的分量之间幅值比和相位差是完全无关地随机变化的。

当两个轮迹x（I）与y（I）的统计特性相同，即G_xx（n）=G_yy（n）=G_q（n），且相位差在ϕ_xy（n）=0时，由式（3-25）可得

G_xy（n）=G_yx（n）=coh_xy（n）G_q（n） （3-26）

路面对四轮汽车输入的谱矩阵可以表示为