2.3　名校考研真题详解

一、填空题

1如图2-38所示，AB与BC两杆原先在水平位置，在F力作用下两杆变形，B点位移为Δ，若两杆抗拉刚度同为EA，则Δ与F的关系为______。[华南理工大学2016研]

图2-38

【答案】

【解析】对节点B进行受力分析，如图2-39所示，根据平衡条件

∑F_x＝0，F_N2cosα－F_N1cosα＝0

∑F_y＝0，（F_N1＋F_N2）sinα－F＝0

可得：F_N1＝F_N2＝F/（2sinα）

图2-39

变形后由于α角度非常小，近似有：sinα＝∆/（l＋∆l）＝∆/l

由胡克定理可知杆的变形∆l＝F_N1l/（EA）＝Fl/（2EAsinα）＝Fl2/（2EA∆）①

又由几何关系可得∆2＝（l＋∆l）2－l2＝2l∆l②

联立①②可得载荷F和位移Δ之间的关系：

2低碳钢在单向拉伸试验过程中，按其伸长量与载荷的关系，其工作状态大致可分为四个阶段即：弹性阶段、______、______、______和______。其中，“颈缩”现象出现在______阶段。[华中科技大学2006研]

【答案】屈服阶段；强化阶段；局部变形阶段；局部变形

3脆性材料的破坏一般以______为标志，所以取______作为极限应力，且由于脆性材料的强度指标的分散度较大，故选取安全系数时应多给一些______。[华中科技大学2006研]

【答案】断裂；强度极限；强度储备

4直径为d的圆截面钢杆受轴向拉力作用发生弹性变形，已知其纵向线应变为ε，弹性模量为E，泊松比为μ，则杆的轴力F＝______，直径减小Δd＝______。[中国矿业大学2009研]

【答案】（π/4）d2Eε；μεd

【解析】①由胡克定律σ＝Eε，A＝π（d/2）2可知，轴力F＝σA＝（π/4）Eεd2；

②在弹性变形阶段，横向应变ε′＝－με，可得∆d＝|ε′|d＝μεd。

5图2-40所示两杆AC、BC长度为l，拉压刚度EA为常数，则节点C的水平位移Δ_Cx＝______，垂直位移Δ_Cy＝______。[中国矿业大学2009研]

【答案】0；2Fl/EA

图2-40

【解析】对AC杆受拉，BC杆进受压，受力分别为：F_AC＝F，F_BC＝F

AC、BC杆变形产生的应变能分别为：

V_εAC＝F2l/（2EA），V_εBC＝F2l/（2EA）

由于F的方向竖直向下，因此C点只有竖直方向的位移，没有水平方向的位移，即∆_Cx＝0。

又竖直方向的位移∆_Cy满足：

（1/2）F∆_Cy＝V_ε＝2×（F2l/2EA）

可得：∆_Cy＝2Fl/EA。

二、选择题

1低碳钢试件拉伸时，其横截面上的应力公式：σ＝F_N/A，其中F_N为轴力，A为横截面积，设σ_p为比例极限，σ_e为弹性极限，σ_s为屈服极限，则此应力公式适用于下列哪种情况？（　　）[北京航空航天大学2001研]

A．只适用于σ≤σ_p

B．只适用于σ≤σ_e

C．只适用于σ≤σ_s

D．在试件断裂前都适用

【答案】D

【解析】应力为构件横截面上内力的分布，在试件断裂前，轴力一直存在。

2工程上通常以伸长率区分材料，对于塑性材料有四种结论，哪一个是正确？（　　）[中国矿业大学2009研]

A．δ＜5%

B．δ＞5%

C．δ＜2%

D．δ＞2%

【答案】B

【解析】通常把断后伸长率δ＞5%的材料称为塑性材料，把δ＜2%～5%  的材料称为脆性材料。

3一等直杆在两端承受拉力作用，若其一半为铝，另一半为钢，则两段的（　　）。[西北工业大学2005研]

A．应力相同，变形相同

B．应力相同，变形不同

C．应力不同，变形相同

D．应力不同，变形相同

【答案】B

【解析】等直杆横截面面积为A，铝材弹性模量为E_l，钢材弹性模量为E₂，应力σ＝F/A与材料力学性质无关，故两段应力相同。变形量∆l＝Fl/EA，两段材料不同，对于钢和铝，通常有弹性模量E₂＝3E₁，因此变形不同。

三、计算题

1图2-41所示桁架，受铅垂载荷F＝50kN作用，杆1、2的横截面均为圆形，其直径分别为d₁＝15mm，d₂＝20mm，材料的许用应力均为[σ]＝150MPa。试校核桁架的强度。[山东大学2017研]

图2-41

解：取节点A为研究对象，如图2-42所示，根据平衡条件

∑F_x＝0，F₁sin45°－F₂sin30°＝0

∑F_y＝0，F₁cos45°＋F₂cos30°－F＝0

可得F₁＝25.9kN，F₂＝36.6kN

图2-42

两杆的强度分别为

因此该桁架满足强度要求。

2如图2-43所示阶梯截面杆AC承受轴向载荷F₁＝200kN与F₂＝150kN，AB段直径d₁＝40mm。欲使BC段和AB段的正应力相同，试求BC段直径。[华南理工大学2016研]

图2-43

解：依题意得，AB段承受的内力为F_AB＝F₁＝200kN

BC段承受的内力为F_BC＝F₁＋F₂＝350kN

两段的正应力分别为

由题可知σ_AB＝σ_BC，解得：d_BC＝52.92mm。

3如图2-44所示桁架由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A处承受载荷F＝80kN作用。杆1和杆2直径分别为d₁＝30mm和d₂＝20mm，两杆材料相同，屈服极限为320MPa，安全系数为2.0。试校核该桁架的强度。[华南理工大学2016研]

图2-44

解：以点A为研究对象进行受力分析如图2-45所示，得到

F₁cos30°＋F₂cos45°＝F

F₁sin30°＝F₂sin45°

图2-45

代入F＝80kN，得到

强度校核

经校核计算，该桁架安全。

4如图2-46所示结构，ABCD为刚性块，在A处为铰链固定，同时与钢杆1、2相连接。已知许用应力[σ]＝160MPa，F＝160kN。杆1、2的横截面面积相等，求各杆所需最小横截面面积。[西北工业大学2006研]

图2-46

解：（1）求各杆的内力

用截面法将1、2杆截开，设其轴力分别为F_N1、F_N2（如图2-47所示），由平衡条件得

∑M_A＝0，F_N1cos30°×2＋F_N2×1＝4F①

图2-47

由图2-48可知两杆变形几何关系

图2-48

代入胡克定律∆l_i＝F_Nil_i/EA，并化简得2F_N1＝3F_N2②

联立式①②解得：

F_N2＝2F_N1/3＝178kN

（2）确定各杆横截面面积

由于两杆横截面面积相等，许用应力相同，故所需横截面面积：

A≥F_N1/[σ]＝267×103/（160×106）m2＝1669mm2

5图2-49所示受力结构，AB为刚性杆，CD为钢制斜拉杆。已知杆CD的横截面面积A＝100mm2，弹性模量E＝200GPa。载荷F₁＝5kN，F₂＝10kN，试求：

（1）杆CD的伸长量Δl；

（2）点B的垂直位移Δ_B。[中国矿业大学2009研]

图2-49

解：（1）AB杆受力分析

图2-50

如图2-50为杆AB的受力计算简图，由平衡条件得

∑F_x＝0，F_Ax－F_Cx＝0

∑F_y＝0，F_Cy－F_Ay－F₁－F₂＝0

∑M_A＝0，F_Cy－F₁×2－F₂＝0

又根据几何关系可知：F_Cy/F_Cx＝tan45°

联立以上方程可解得：F_Cy＝20kN，F_Ay＝5kN，F_Ax＝F_Cx＝20kN

则CD杆的轴力为：

因此，根据胡克定律可得杆CD伸长量：

（2）根据功能定理可得

代入数据得

又AB为刚性杆，易得几何条件：∆_B＝2∆_C

联立解得：∆_B＝4.5mm。