第2章　轴向拉伸和压缩

2.1　复习笔记

一、轴向拉伸和压缩概述

拉（压）杆是指作用在等直杆上的外力（或外力合力）的作用线与杆轴线重合的杆件。

1拉（压）杆的轴力及轴力图

（1）内力：由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间连续分布的内力系的合成。

（2）轴力：在外力作用下，杆件任一横截面上的内力，其作用线与杆的轴线重合，用F_N表示；并规定拉力为正，压力为负。

（3）轴力图的绘制

轴力图是表示轴力与截面位置关系的图线，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值。习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的轴力画在下侧。

2拉（压）杆的应力

（1）概念

①应力是受力杆件某一截面上分布内力在一点处的集度。总应力p确切的反映了该点内力分布的强弱，其表达式为：

②正应力：总应力p的法向分量，用σ表示。

③切应力：总应力p的切向分量，用τ表示。

（2）横截面上的正应力

根据平面假设，拉杆横截面上的正应力σ呈均匀分布，拉（压）杆横截面上正应力σ的计算公式：σ＝F_N/A。

危险截面：应力最大的截面。对于等直杆，危险截面即为轴力最大值所在截面，有：σ_max＝F_N，max/A。

（3）斜截面上的应力

图2-1

如图2-1所示，等直杆在拉力F作用下，斜截面k-k上的总应力：p_α＝Fcosα/A＝σ₀cosα；

沿斜截面法线方向的正应力：σ_α＝p_αcosα＝σ₀cos2α；

沿斜截面法线方向的切应力：τ_α＝p_αsinα＝（σ₀/2）sin2α。

式中，α为斜截面与横截面的夹角，以横截面外向法线至斜截面外向法线为逆时针转向时为正，反之为负。

根据以上结论可知，正应力和切应力的数值随α角作周期性变化，且：

①当α＝0时，正应力σ_α＝σ₀，为最大值；

②当α＝45°时，切应力τ_α＝σ₀/2，为最大值。

二、拉（压）杆的变形与胡克定律

1变形

如图2-2所示拉杆，其纵向变形量和横向缩变形量分别为：Δl＝l₁－l，Δd＝d₁－d

图2-2

每单位长度的伸长（或缩短）称为线应变，用ε表示。纵向线应变与横向线应变分别为：ε＝∆l/l，ε′＝∆d/d，并规定：伸长时为正，缩短时为负。

拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时，将横向线应变ε′与纵向线应变ε之比的绝对值称为泊松比，用ν表示，其表达式为：v＝|ε′/ε|。

纵向线应变与横向线应变方向相反，即ε′＝－vε＝－vσ/E。

2胡克定律

胡克定律：杆件内的应力不超过材料的比例极限时，杆的纵向变形量Δl与其所受的外力F、杆的原长l成正比，与其横截面积A成反比，其表达式为∆l＝F_Nl/EA。

式中，F_N为杆件内力，比例常数E为材料的弹性模量，EA称为杆的拉伸（压缩）刚度。

三、拉压杆的应变能

1基本概念

（1）应变能：伴随弹性变形的增减而改变的能量，用V_ε表示。

（2）应变能密度：单位体积内的应变能，用v_ε表示。

（3）功能原理：弹性体受静载荷的作用，在弹性体变形的过程中，积蓄在弹性体内的应变能V_ε在数值上等于外力做的功W，即V_ε＝W。

2计算公式

杆件受外力F作用，轴力为F_N，纵向变形为Δl，则积蓄在杆件内的应变能：

应变能密度V_ε＝V_ε/V＝（1/2）σε＝σ2/2E＝Eε2/2

注意：上述公式仅在线弹性范围适用。

四、材料拉伸和压缩时的力学性能

1基本概念

（1）标准试样：标距l与横截面直径d（圆形截面）或横截面面积A（矩形截面）之比采用标准比例的试样。

（2）力学性能：在实验室内所做的材料拉伸或压缩试验，是在室温（或称为常温）条件下按一般的变形速度进行的，得到的材料的力学性能，即为常温、静荷载下材料在拉伸或压缩时的力学性能。

2低碳钢试样的拉伸图及其力学性能

拉伸试样采用圆形截面和矩形截面，标准比例为

l＝10d和l＝5d（圆形截面）

和（矩形截面）

（1）力学性能

将荷载F除以试样横截面的原面积A，将伸长量Δl除以试样工作段的原长l，所得曲线即与试样的尺寸无关，而可以代表材料的力学性能，称为应力-应变曲线，如图2-3所示。

图2-3

低碳钢的变形过程分为四个阶段，如图2-3所示。

①弹性阶段

如图2-3中所示阶段Ⅰ，试样的变形是弹性变形，满足胡克定律。

a．比例极限：A点是应力与应变符合胡克定律的最高限，比例极限是与之对应的应力，以σ_p表示；

b．弹性极限：B点是卸载后不发生塑性变形的极限，弹性极限是与之对应的应力，以σ_e表示。

②屈服阶段

如图2-3中阶段Ⅱ，试样的荷载在很小的范围内波动，而其变形却不断增大，即出现屈服现象，试样的变形是塑性变形。

a．上屈服强度：在屈服阶段内，发生屈服应力首次下降前所对应的最高应力（点C），它是不太稳定的；

b．下屈服强度：不计初始瞬时效应时的最低应力（点D），它是稳定的。通常将其称为材料的屈服强度，以σ_s表示。

③强化阶段

如图2-3中阶段Ⅲ，试样发生的变形主要是塑性变形，整个试样横向尺寸的缩小较明显。

④局部变形阶段

如图2-3中阶段Ⅳ，该阶段出现“缩颈”现象，横截面面积急剧缩小。

（2）性能指标

①衡量材料塑性的指标

断后伸长率：试样的工作段在拉断后标距的残余伸长（l₁－l）与原始标距l之比的百分率，表达式为δ＝[（l₁－l）/l]×100%。

断面收缩率：试样断裂后横截面面积的最大缩减量（A－A₁）与原始横截面面积A之比的百分率，表达式为ψ＝[（A－A₁）/A]×100%。

②衡量材料强度的重要指标

屈服极限：材料的下屈服强度，以σ_s表示；

强度极限：试样中的名义应力的最大值（图2-3中所示G点），以σ_b表示。

（3）卸载规律

在强化阶段停止加载，并逐渐卸载，则卸载规律遵循直线关系，该直线bc与弹性阶段内的直线Oa近乎平行，如图2-4所示。

①冷作硬化

对试样预先施加轴向拉力，使之达到强化阶段后卸载。当再加荷载时，试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将提高，而试样所能经受的塑性变形降低。

②冷作时效

试样拉伸至强化阶段后卸载，经过一段时间后再受拉，其比例极限还有所提高的现象，如图2-4中虚线cb′所示。

图2-4

3其他金属材料在拉伸时的力学性能

（1）力学性能

①塑性材料：对于没有屈服阶段的塑性材料，将对应于塑性应变σ_p＝0.2%时的应力定为规定非比例延伸强度，以σ_p0.2表示，作为衡量材料强度的指标。

②脆性材料：衡量脆性材料拉伸强度的唯一指标是材料的抗拉强度σ_b。

（2）材料分类

根据伸长率δ的不同可分为两类：

①δ＞5%：塑性材料，塑性指标较高，抗拉能力较好，拉伸和压缩时屈服强度基本相同；

②δ＜2%～5%：脆性材料，塑性指标较低，拉伸强度σ_b远低于压缩强度σ_c。

4金属材料在压缩时的力学性能

（1）低碳钢

低碳钢压缩时的弹性模量和屈服极限与拉伸时大致相同，屈服阶段以后，压缩试样的抗压能力随着横截面的增大也继续增高，而拉伸时先增大再减小。

（2）铸铁

脆性材料在压缩和拉伸时的力学性能有较大的区别：

①铸铁在压缩时的强度极限和延伸率都较拉伸时大得多，宜做受压构件；

②在拉伸和压缩时弹性阶段均很短，近似服从胡克定律。

五、拉（压）杆的强度计算

1强度计算

拉（压）杆的强度条件：σ_max＝F_N，max/A≤[σ]，式中，[σ]为许用应力。

拉（压）杆的强度计算通常是基于上述公式，进行强度校核、截面选择或许可载荷计算。

2安全因数

在静载作用下，塑性材料安全因数n_s和脆性材料安全因数n_b的大致范围分别为：n_s＝1.25～1.5，n_b＝2.5～3.0。

3许用应力

（1）塑性材料：取屈服强度σ_s作为σ_u，对于无明显屈服阶段的塑性材料，则用σ_p0.2作为σ_u，则许用应力：[σ]＝σ_s/n_s或[σ]＝σ_p0.2/n_s。

（2）脆性材料：取强度极限σ_b作为σ_u，则许用应力：[σ]＝[σ_b（σ_bc）]/n_b。

六、应力集中的概念

应力集中：由于杆件截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而引起的局部应力骤增现象。

理论应力集中因数K_tσ：反映了应力集中的程度，为最大局部应力σ_max与该截面上视作均匀分布的名义应力σ_nom的比值。

应当注意：

（1）由塑性材料制成的杆件，在静荷载作用下通常不考虑应力集中的影响；

（2）对于由脆性材料或者塑性较差的材料制成的杆件，应考虑应力集中的影响，按局部最大应力进行强度计算，但铸铁除外；

（3）在动荷载作用下，均需考虑应力集中的影响。