第5章　梁弯曲时的位移

5.1　复习笔记

一、挠度与挠曲线近似微分方程

1挠度和转角

挠度和转角是度量梁变形后横截面位移的两个基本量，如图5-1所示。

图5-1

（1）挠度

挠度是横截面形心在垂直于轴线方向的线位移，如图5-1所示，用w表示，并规定：正值的挠度向下，负值向上。

在小变形情况下，平面弯曲下梁变形后的轴线是一条平坦的曲线。在选定坐标系后，梁变形后的轴线在选定坐标系下的表达式：w＝f（x），即为挠曲线方程。

（2）转角

转角是横截面对其原来位置的角位移，如图5-1所示，用θ表示。并规定：顺时针转向为正，逆时针转向为负。

相应地，在得到挠曲线方程后，挠曲线上任一点处的切线斜率w′可足够精确地代表该点处横截面的转角，即转角方程：θ≈tanθ＝w′＝f′（x）。

2挠曲线近似微分方程

挠曲线近似微分方程仅适用于均匀连续、各项同性材料的梁在线弹性范围内、小变形条件下的平面弯曲，因此，略去剪力的影响，梁在弯曲时的挠曲线近似微分方程：

w″＝－M（x）/EI

等截面直梁的弯曲刚度EI为常量，挠曲线近似微分方程：EIw″＝－M（x）

二、梁弯曲时位移的计算

1积分法

（1）计算步骤

①建立坐标系，列弯矩方程M（x），得出挠曲线近似微分方程；

②对挠曲线近似微分方程进行积分运算，得到挠度方程和转角方程：

③根据边界条件确定积分常数C₁、C₂；

④代入计算坐标，求得计算截面的挠度和转角。

（2）注意事项

①边界条件

a．约束条件：如简支梁：支座处挠度为零；悬臂梁：固定端挠度和转角为零等。

b．连续条件：如分段点左右截面具有相同的转角和挠度；中间铰左右截面只具有相同的挠度等。

②适用范围

对挠曲线近似微分方程的积分是全梁段的积分，适用于均匀连续、各项同性材料的梁在线弹性范围内、小变形条件下的平面弯曲以及等截面或者变截面梁在各种荷载情况下转角方程和挠度方程。

2叠加原理

（1）计算步骤

①分析简化：结构体系简化为悬臂梁、简支梁或两者的组合；非满布均匀荷载视为对称荷载和非对称荷载的叠加，三角形荷载视为均布荷载的一半；

②计算或查表求得简化后结构在荷载作用下的转角和挠度；

③叠加相应坐标处的位移，即得计算截面的位移。

（2）适用范围

①该方法基于叠加原理，因此，适用于小变形、线弹性条件下梁的位移的计算；

②普遍用于计算特定截面的位移值。

三、梁的刚度

1刚度校核

梁的刚度条件为w_max/l≤[w/l]，θ_max≤[θ]

式中，[w/l]为许可挠度与跨长的比值；[θ]为许可转角。

2提高刚度的措施

梁的位移除了与梁的荷载和支承情况、弯曲刚度EI（位移与其成反比）、跨长l（位移与其n次幂成正比），因此，可通过以下措施提高梁的刚度：

（1）增大梁的弯曲刚度EI

钢材的弹性模量E相近，在横截面面积保持不变的情况下，应采用面积分布远离中性轴的截面形状，增大I进而增大弯曲刚度，如工字形和箱形截面。

（2）调整跨长和改变结构

增加梁的支座，减小跨长，均能显著减小位移值。

四、梁内的弯曲应变能

梁在线弹性变形过程中，纯弯曲时梁内的弯曲应变能为V_ε＝M_e2l/（2EI）＝M2l/（2EI）

横力弯曲时梁内的应变能由剪切应变能和弯曲应变能构成，其中弯曲应变能为

工程中，常略去剪切应变能。