- 孙训方《材料力学》（第5版）笔记和课后习题（含考研真题）详解
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- 14069字
- 2021-06-11 09:28:47
4.2 课后习题详解
4-1 试求图4-2（a）、（b）所示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。
图4-2（a）
图4-2（b）
解：（1）①求支反力
根据该梁结构和荷载的对称性可知：FA＝FB＝（1/2）×q0×2a＝q0a
②1-1截面
取1-1截面左段分析，根据平衡条件可得该截面内力：
FS1＝FA－（1/2）×（q0/2）×a＝3q0a/4
M1＝FA×a－[（1/2）×（q0/2）×a]×（a/3）＝（11/12）q0a2
③2-2截面
取2-2截面左段分析，根据平衡条件可得该截面内力：
FS2＝FA－（1/2）×q0×2a＝0
M2＝FA×2a－[（1/2）×q0×2a]×（2a/3）＝4q0a2/3
（2）①求支反力
根据平衡方程
∑MC＝0，－4FA＋4×4×2－6.5×1×0.5－3×2×2＝0
解得：FA＝4.188kN
②1-1截面
取该截面右段分析，根据平衡条件可得该截面内力：
FS1＝（3kN/m）×2m＋（6.5kN/m）×1m＝12.5kN
M1＝（－3×2×2－6.5×1×0.5）kN·m＝－15.25kN·m
③2-2截面
取2-2截面左段分析，根据平衡条件可得该截面内力：
FS2＝（FA－4×4）kN＝－11.81kN
M2＝（FA×4－4×4×2）kN·m＝－15.25kN·m
4-2 试写出图4-3（a）～（f）所示各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
图4-3（a）
图4-3（b）
图4-3（c）
图4-3（d）
图4-3（e）
图4-3（f）
解：（1）建立如图4-4（a）所示坐标系
剪力方程：
FS（x）＝－（1/2）·（q0/l）x·x＝－q0x2/（2l）（0≤x≤l）
弯矩方程：
M（x）＝－（1/2）·（q0/l）x·x·（x/3）＝－q0x3/（6l）（0≤x＜l）
做内力图如图4-4（a）所示。
图4-4（a）
（2）建立如图4-4（b）所示坐标系
根据平衡方程求得固定端支反力：FA＝45kN，MA＝127.5kN·m
剪力方程：
弯矩方程：
绘制内力图如图4-4（b）所示。
图4-4（b）
（3）建立如图4-4（c）所示坐标系
根据平衡方程求得支反力：FB＝10kN，FC＝30kN
剪力方程：
弯矩方程：
绘制内力图如图4-4（c）所示。
图4-4（c）
（4）建立如图4-4（d）所示坐标系
根据平衡方程求得支反力：FA＝0.6kN，FB＝1.4kN
剪力方程：
弯矩方程：
绘制内力图如图4-4（d）所示。
图4-4（d）
（5）建立如图4-4（e）所示坐标系
根据平衡方程求得支反力：FA＝2kN，FB＝22kN
剪力方程：
弯矩方程：
绘制内力图如图4-4（e）所示。
图4-4（e）
（6）建立如图4-4（f）所示坐标系
根据平衡方程求得支反力：FA＝－qa/8，FC＝9qa/8
剪力方程：
弯矩方程：
绘制内力图如图4-4（f）所示。
图4-4（f）
4-3 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作图4-5（a）～（h）所示各梁的剪力图和弯矩图。
图4-5（a）
图4-5（b）
图4-5（c）
图4-5（d）
图4-5（e）
图4-5（f）
图4-5（g）
图4-5（h）
解：（1）首先由平衡条件求得固定端支反力：FA＝5kN，MA＝10kN·m。
剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有突变，值为5kN；AC段无荷载，故其剪力图上为一水平直线；CB段作用有方向竖直向下的均布荷载，故其剪力图为一斜率为负的直线。
弯矩图：在端点A处有逆时针的集中力偶，故在此处弯矩图有突变，值为10kN·m；AC段剪力图为一水平直线，由微分关系可知弯矩图为一斜率为正的直线；同理CB段弯矩图为一向下凸的抛物线。
剪力图和弯矩图如图4-6（a）所示。
图4-6（a）
（2）首先由平衡条件求得固定端支反力：FA＝15kN，MA＝25kN·m
剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有突变，值为15kN；AC段无荷载，故其剪力图上为一水平直线；在C处有向下的集中荷载，故在此处剪力图有向下的突变，值为15kN；CB段无荷载，故其剪力图上为一水平直线。
弯矩图：在端点A处有逆时针力偶作用，故在此处弯矩图有向上的突变，值为25kN·m；AC段剪力图为一水平直线，由微分关系可知弯矩图为一斜率为正的直线；在C处有顺时针力偶作用，故在此处弯矩图有向下的突变，值为10kN·m。
剪力图和弯矩图如图4-6（b）所示。
图4-6（b）
（3）首先根据该结构和荷载的对称性可求得支反力：
FA＝FB＝（1/2）×q×3a＝1.5qa
剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为1.5qa；AC段无荷载，故其剪力图上为一水平直线；CD段有向下的均布荷载，故其剪力图上为一斜率为负的直线；DB段无荷载作用，为一水平直线；在B端点有集中荷载，故剪力图有向上的突变，值为1.5qa。
弯矩图：AC段剪力图为一水平直线，由微分关系可知弯矩图为一斜率为正的直线；CD段为一抛物线，在剪力为零，即梁跨中截面处达到极值，为：
Mmax＝1.5qa2＋（1/2）×1.5qa×1.5a＝2.625qa2
在DB段由微分关系可知弯矩图为一斜率为负的直线。
剪力图和弯矩图如图4-6（c）所示。
图4-6（c）
（4）首先根据平衡条件可求得支反力：FA＝Me/（3a），FB＝Me/（3a）
剪力图：在端点A处有向下的集中荷载，故在此处剪力图有向下的突变，值为Me/（3a）；AB段无荷载作用，为一水平直线；在B端点有向上的集中荷载，故剪力图有向上的突变，值为Me/（3a）。
弯矩图：由微分关系可知AC和BC段弯矩图为一斜率为－Me/（3a）的直线；在C点处有一逆时针的集中力偶，故在该点弯矩值有一向上的突变，突变值为Me；B处有顺时针力偶，故该点弯矩值有向下的突变2Me，回到零位。
剪力图和弯矩图如图4-6（d）所示。
图4-6（d）
（5）首先根据平衡条件可求得支反力：FA＝2kN，FB＝14kN
剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为2kN；AB段作用有向下的均布荷载，故其剪力图为斜率为负的直线；在B端点有向上的集中荷载，故剪力图有向上的突变，值为14kN，回到零位置。
弯矩图：在端点A处有集中力偶，故在该点弯矩图有向下的突变，值为4kN·m；AB段剪力图为斜率为负的直线，由微分关系可知弯矩图为向下凸的抛物线，并在剪力为零的点达到极值，为：Mmax＝（4＋2×0.5－4×0.5×0.25）kN·m＝4.5kN·m；在B点处有一顺时针的集中力偶，故在该点弯矩值有一向下的突变，突变值为20kN·m。
剪力图和弯矩图如图4-6（e）所示。
图4-6（e）
（6）首先根据平衡条件可求得支反力：
FA＝FB＝（1/2）×[F＋F－（11F/8）]＝5F/16
剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为F/16；在C点有向下的集中荷载，故剪力图有向下的突变，值为F；在D点有向上的集中荷载，故剪力图有向上的突变，值为11F/8；在E有向下的集中荷载，故剪力图有向下的突变，值为F；在端点B有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为F/16；各段均无荷载作用，故其剪力图均为水平直线。
弯矩图：根据微分关系可知弯矩图为4段斜直线。
剪力图和弯矩图如图4-6（f）所示。
图4-6（f）
（7）首先根据平衡条件可求得支反力：FA＝1.5kN，FB＝0.5kN
剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为1.5kN；AC段上作用有向下的均布荷载，故剪力图为斜率为负的直线；在BC段无荷载作用，故其剪力图均为水平直线；在端点B有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为0.5kN。
弯矩图：根据微分关系可知AC段弯矩图为向下凸的抛物线，在剪力为零的点达到极值，为：
M极＝（FA×0.75－2×0.75×0.75/2）kN·m＝0.5625kN·m
CB段为斜率为负的直线。
剪力图和弯矩图如图4-6（g）所示。
图4-6（g）
（8）首先根据该结构和荷载的对称性求得支反力：
FA＝FB＝（250＋250＋10×6）/2kN＝280kN
剪力图：在端点A处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为280kN；在AB段上作用有均布荷载，故该梁各段斜率相等，为负；但在C点和D点作用集中荷载，故在这两个截面处剪力图上有向下的突变，值为250kN；在端点B有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为280kN。
弯矩图：根据微分关系可知AC段弯矩图为向下凸的抛物线，在剪力为零，即梁的中点截面处达到极值，为：
M极＝（FA×3－10×3×3/2－250×1）kN·m＝545kN·m
剪力图和弯矩图如图4-6（h）所示。
图4-6（h）
4-4 试作图4-7（a）、（b）所示具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。
图4-7（a）
图4-7（b）
解：（1）分别取AC段和整体为研究对象，进行受力分析，根据平衡条件可求得固定端A、铰支座B处的支反力：FA＝0，MA＝qa2/2，FB＝2qa
铰链C不能承受弯矩，故该点的弯矩值为零。
根据荷载集度，剪力和弯矩之间的微分关系绘制剪力和弯矩图如图4-8（a）所示。
图4-8（a）
（2）分别取AC段和整体为研究对象，进行受力分析，根据平衡条件可求得铰支座A、B、D处的支反力：FA＝0，FB＝qa，FD＝0。
根据荷载集度，剪力和弯矩之间的微分关系绘制剪力和弯矩图如图4-8（b）所示。
图4-8（b）
4-5 试根据弯矩、剪力与荷载集度三者的微分关系指出图4-9（a）、（b）所示剪力图和弯矩图的错误。
图4-9（a）
图4-9（b）
解：（1）根据受力分析可知两铰支座的支反力：FA＝qa，FC＝2qa
故可知剪力图在A、C和集中力qa作用处应有突变，且在CB段作用向下的均布荷载，其剪力图上的直线斜率应为负。根据微分关系可知弯矩图中，均布荷载作用的最左段剪力为正，弯矩图应为向下凸的抛物线，中间段为斜率为负的直线，分布荷载作用的最右段应为一下凸的抛物线。正确结果如图4-10（a）所示。
图4-10（a）
（2）根据受力分析可知两铰支座的支反力FA＝5qa/3，FB＝qa/3
分析可知剪力图正确。弯矩图中，C点处作用有集中力偶。正确结果如图4-10（b）所示。
图4-10（b）
4-6 已知简支梁的剪力图如图4-11（a）、（b）所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上无集中力偶作用。
图4-11（a）
图4-11（b）
解：（1）根据剪力图可知，在A点有方向向上的集中力，大小为18kN；AB段上无荷载作用；在B点处有方向向下的集中力，大小为18kN＋2kN＝20kN；在D点有方向向上的集中荷载，大小为14kN；BC段上无荷载作用；CD段上作用方向向下的均布荷载，荷载集度为（14－2）/6kN/m＝2kN/m，由此可绘制荷载图。
根据剪力图绘制弯矩图，如图4-12（a）所示。
图4-12（a）
（2）根据剪力图可知在A点作用有一方向向上的集中力，大小为1kN；AB段作用方向向下的均布荷载，荷载集度为（3＋1）/2＝2kN/m；在B点处有方向向上的集中力，大小为3＋2＝5kN；BC段上无荷载作用；在C点处有方向向下的集中力，大小为2kN，由此可绘制荷载图。
根据剪力图绘制弯矩图，如图4-12（b）所示。
图4-12（b）
4-7 试根据图4-13（a）、（b）所示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。
图4-13（a）
图4-13（b）
解：（1）根据弯矩图各段斜率相同，根据微分关系dM/dx＝FS，可知剪力图为水平直线，且剪力大小为－10kN，由此可得剪力图；在B和D处向下的突变可知，在这两个截面处分别作用顺时针的力偶，值分别为20kN·m、10kN·m。
在A点作用有向下的集中荷载，大小为10kN；在D点作用有向上的集中荷载，大小为10kN。
综上，剪力图和荷载图如图4-14（a）所示。
图4-14（a）
（2）根据弯矩图可知，AB段和CD段弯矩不变，剪力为零；BC段直线变化，剪力为常数，且大小为该段弯矩图的斜率，即－20kN，由此可绘制剪力图。
在B点作用有向下的集中荷载，大小为20kN；在C点作用有向上的集中荷载，大小为20kN。综上，剪力图和荷载图如图4-14（b）所示。
图4-14（b）
4-8 试用叠加法作图4-15（a）～（d）所示各梁的弯矩图。
图4-15（a）
图4-15（b）
图4-15（c）
图4-15（d）
解：（1）分别作出梁在各荷载单独作用下的弯矩图，然后对各点的弯矩值进行叠加即可得到梁整体弯矩图，如图4-16（a）所示。
图4-16（a）
（2）将已知荷载分解为如图所示荷载的叠加，分别绘制梁在相应荷载作用下的弯矩图，然后对各点弯矩值进行叠加，即可得到梁在已知荷载作用下的弯矩图，如图4-16（b）所示。
图4-16（b）
（3）分别绘制梁各荷载单独作用下的弯矩图，然后对各点的弯矩值进行叠加，即可得到梁在已知荷载作用下的弯矩图，如图4-16（c）所示。
图4-16（c）
（4）将已知荷载看作是如图所示荷载的叠加，分别绘制梁在各荷载单独作用下的弯矩图，然后对各点的弯矩值进行叠加，即得到梁在已知荷载作用下的弯矩图，如图4-16（d）所示。
图4-16（d）
4-9 试选择适当的方法，作图4-17（a）～（d）所示各梁的剪力图和弯矩图。
图4-17（a）
图4-17（b）
图4-17（c）
图4-17（d）
解：（1）取距离A端为x处的任意截面，则该截面的剪力和弯矩为：
FS（x）＝－3＋[q（x）×（1.7－x）]/2＝5x2－17x＋11.45（0＜x＜1.7）
M（x）＝3×（1.7－x）－（1/2）×q（x）×（1.7－x）×（1/3）×（1.7－x）＝5x3/3－8.5x2＋11.45x－3.09（0＜x＜1.7）
根据方程做剪力和弯矩图，如图4-18（a）所示。在剪力为零的点，即x＝0.9254m时，弯矩取得最大值，为Mmax＝1.55kN·m。
图4-18（a）
（2）由于该梁结构和荷载的对称性，根据平衡条件可得支反力：
FA＝FB＝（1/2）×q0×（l/2）＝q0l/4
列AC段剪力和弯矩方程，取距离A段为x处，可得：
FS（x）＝FA－q（x）·x/2＝q0l/4－（1/2）×（2q0x/l）×x＝q0l/4－（q0/l）x2（0＜x≤l/2）
M（x）＝FAx－[q（x）/2]·x·x/3＝q0lx/4－（q0/3l）x3（0≤x≤l/2）
由此可绘制AC段剪力和弯矩图，根据其剪力反对称、弯矩对称的性质可作出另一半的剪力、弯矩图，如图4-18（b）所示。
图4-18（b）
（3）根据平衡条件求得支反力：FA＝50kN，FB＝40kN。
取距离左端A点距离为x处截面，其荷载集度q（x）＝（150－40x）/3kN/m，于是可得剪力和弯矩方程为：
在剪力为零的点，即x＝1.19m时，弯矩取得最大值，即Mmax＝27.8kN·m。
根据剪力和弯矩方程绘制剪力和弯矩图，如图4-18（c）所示。
图4-18（c）
（4）由于该梁的结构和荷载对称，根据平衡条件可求得支反力：
取距离A端x处的截面，可得该梁的剪力和弯矩方程分别为：
在梁的中点处，弯矩达到最大值，即M极＝（l/π）2q0，由此可绘制剪力和弯矩图，如图4-18（d）所示。
图4-18（d）
4-10 一根搁在地基上的梁承受荷载如图4-19（a）、（b）所示。假设地基的反力是均匀分布的。试分别求地基反力的集度qR，并作梁的剪力图和弯矩图。
图4-19（a）
图4-19（b）
解：（1）根据平衡条件ΣFy＝0，50×4－3.2qR＝0，可得地基反力的集度：qR＝62.5kN/m。
在距离A端为x处，可得到该梁左半部分的剪力和弯矩方程为：
由此可绘制梁左半部分的剪力和弯矩图，又该梁结构和荷载的对称性可知该梁的剪力图反对称，弯矩图对称。
综上，该梁的剪力图和弯矩图如图4-20（a）所示。
图4-20（a）
（2）根据力的平衡条件ΣFy＝0，2×（q0/2）×（l/2）－qRl＝0，可得地基反力的集度：qR＝q0/2。
在距离A端x处，可得该梁左半部分的剪力和弯矩方程为：
FS（x）＝qR·x－（1/2）·q（x）·x＝（q0/2）x－（q0/l）x2（0≤x≤l/2）
M（x）＝（qR/2）x2－[q（x）/2]·x·（x/3）＝（q0/4）x2－[q0/（3l）]x3（0≤x≤l/2）
由此可绘制梁左半部分的剪力和弯矩图，又该梁结构和荷载的对称性可知该梁的剪力图反对称，弯矩图对称。
综上，该梁的剪力图和弯矩图如图4-20（b）所示。
图4-20（b）
4-11 试作图4-21（a）～（d）所示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。
图4-21（a）
图4-21（b）
图4-21（c）
图4-21（d）
解：（1）受力分析如图4-22（a）所示，列各段内力方程：
CD段：
FN（x1）＝0（0≤x1≤1）
FS（x1）＝6x1（0≤x1≤1）
M（x1）＝－6x12/2＝－3x12（0≤x1≤1）
CB段：
FN（x2）＝6×1＝6kN（0≤x2≤1）
FS（x2）＝0（0≤x2≤1）
M（x2）＝－6×1×（1/2）＝－3kN·m（0≤x2≤1）
BA段：
FN（x3）＝0（0≤x3≤2）
FS（x3）＝6×1＝6kN（0≤x3≤2）
M（x3）＝－6（x3＋0.5）＝－6x3－3（0≤x3≤2）
根据以上方程作内力图，如图4-22（a）所示，其中弯矩画在杆件受拉侧。
图4-22（a）
（2）根据平衡条件求得各支反力：FAx＝15kN，FAy＝2.5kN，FDy＝17.5kN
受力分析如图4-22（b）所示，列各段内力方程：
DC段：
FN（x1）＝－FDy＝－17.5kN（0≤x1≤3）
FS（x1）＝0（0≤x1≤3）
M（x1）＝0（0≤x1≤3）
CE段：
FN（x2）＝0（0≤x2≤1.5）
FS（x2）＝－FDy＝－17.5kN（0＜x2＜1.5）
M（x2）＝FDy·x2＝17.5x2（0≤x2≤1.5）
EB段：
FN（x2）＝0（1.5≤x2≤3）
FS（x2）＝－FDy＋20＝2.5kN（1.5＜x2＜3）
M（x2）＝FDy·x2－20（x2－1.5）＝－2.5x2＋30（1.5≤x2≤3）
BA段：
FN（x3）＝－FAy＝－2.5kN（0≤x3≤3）
FS（x3）＝FAx－5x3＝15－5x3（0≤x3≤3）
M（x3）＝FAx·x3－（5/2）x32＝15x3－（5/2）x32（0≤x3≤3）
根据以上方程作内力图，如图4-22（b）所示，其中弯矩画在杆件受拉侧。
图4-22（b）
（3）根据平衡条件求得各支反力：FAx＝0，FAy＝15kN，FDy＝45kN
受力分析如图4-22（c）所示，列各段内力方程：
BC段：
FN（x1）＝0（0≤x1≤3）
FS（x1）＝60kN（0≤x1≤3）
M（x1）＝－60x1（0≤x1≤3）
BA段：
FN（x2）＝－60kN（0≤x2≤5）
FS（x2）＝0（0≤x2≤5）
M（x2）＝－60×3＝－180kN·m（0≤x2≤5）
AD段：
FN（x3）＝0（0≤x3≤4）
FS（x3）＝FDy＝－45kN（0≤x3≤4）
M（x3）＝FDy·x3＝45x3（0≤x3≤4）
根据以上方程作内力图，如图4-22（c）所示，其中弯矩画在杆件受拉侧。
图4-22（c）
（4）根据平衡条件求得各支反力：FAx＝45kN，FAy＝FDy＝27.1kN
受力分析如图4-22（d）所示，列各段内力方程：
DC段：
FN（x1）＝－FDy＝－27.1kN（0≤x1≤4.5）
FS（x1）＝0（0≤x1≤4.5）
M（x1）＝0（0≤x1≤4.5）
CB段：
FN（x2）＝0（0≤x2≤3）
FS（x2）＝FDy＝－27.1kN（0≤x2＜3）
M（x2）＝FDy·x2＋Me＝27.1x2＋20（0≤x2≤3）
BA段：
FN（x3）＝FAy＝27.1kN（0≤x3≤4.5）
FS（x3）＝FAx－10x3＝45－10x3（0≤x3≤4.5）
M（x3）＝FAx·x3－（10/2）x32＝45x3－5x32（0≤x3≤4.5）
根据以上方程作内力图，如图4-22（d）所示，其中弯矩画在杆件受拉侧。
图4-22（d）
4-12 试作图4-23（a）斜梁、图4-23（b）折杆的剪力图、弯矩图和轴力图。
图4-23（a）斜梁
图4-23（b）折杆
解：（1）如图4-24（a）所示的受力分析图，根据由平衡条件可得到支反力：
FB＝10.5kN，FAx＝12.12kN，FAy＝10.5kN
在x截面处的轴力方程、剪力方程和弯矩方程如下：
FN（x）＝7×sin30°·x－FAx＝3.5x－12.12（0≤x≤3.464）
FS（x）＝FAy－7cos30°·x＝10.5－6.06x（0≤x≤3.464）
M（x）＝FAy·x－（7cos30°/2）x2＝10.5x－3.03x2（0≤x≤3.464）
根据以上方程，作相应的内力图，如图4-24（a）所示。
图4-24（a）
（2）首先根据平衡条件求得支反力FA＝FC＝F/2。
列出各段内力方程：
①AB段：取距离A端x1
处截面
FN（x1）＝－FAsin30°＝－F/4
②BC段：取距离C端x2
处截面
FN（x2）＝－FCsin30°＝－F/4
根据以上方程即可作该折杆的内力图，其中弯矩画在杆件受拉侧，如图4-24（b）所示。
图4-24（b）
4-13 圆弧形曲杆受力如图4-25（a）、（b）所示。已知曲杆的轴线为圆弧，其半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成φ角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。
图4-25（a）
图4-25（b）
解：（1）列出圆弧曲杆上任意截面C的轴力，剪力和弯矩方程：
FN＝－Fsinφ（0≤φ≤π/2）
FS＝Fcosφ（0≤φ≤π/2）
M＝－FRsinφ（0≤φ≤π/2）
根据以上方程，即可作出该曲杆的内力图，其中弯矩画在曲杆受拉一侧，如图4-26（a）所示。
图4-26（a）
（2）列出曲杆在任意截面C上的轴力，剪力和弯矩方程：
①BD段：
FN（φ）＝Fsinφ（0≤φ≤π/2）
FS（φ）＝－Fcosφ（0≤φ≤π/2）
M（φ）＝FRsinφ（0≤φ≤π/2）
②AD段：
FN（φ）＝0（π/2≤φ≤π）
FS（φ）＝0（π/2≤φ≤π）
M（φ）＝FR（π/2≤φ≤π）
根据以上方程，即可作出该曲杆的内力图，其中弯矩画在曲杆受拉一侧，如图4-26（b）所示。
图4-26（b）
4-14 如图4-27所示，长度l＝2m的均匀圆木，欲锯下a＝0.6m的一段。为使锯口处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零。现将圆木放置在两只锯木架上，一只锯木架放置在圆木的一端，试求另一只锯木架应放置的位置。
图4-27
解：根据梁的平衡条件可求得铰支座D处的支反力：FD＝ql2/[2（l－x）]
则根据图4-27所示坐标，C截面的弯矩：
MC＝FD（a－x）－qa2/2＝ql2（a－x）/[2（l－x）]－qa2/2
根据题意应尽量满足MC＝0，可得：x＝al/（l＋a）＝0.462m
即将锯木架放置在x＝0.462m处时锯口处的弯矩为零。
4-15 装在飞机机身上的无线电天线AB的高度为h＝0.5m，为抵抗飞行时天线所受的阻力，在天线顶拴一金属拉线AC，如图4-28所示。假设空气阻力沿天线可视为均匀分布，其合力为F。为使天线中的最大弯矩为最小，试求拉线中的拉力。
图4-28
解：设拉线拉力为Ft，根据平衡条件可得其作用在天线上的横向力的大小：
取距离自由端A为x处，可得天线的弯矩方程：M＝Px－Fx2/（2h）
分析可得在x＝h和x＝hP/F处，弯矩取得最大值，且为异号，当两弯矩值绝对值相等时，弯矩绝对值最小，即－Ph＋Fh/2＝hP2/F－P2h/（2F）
解得：
代入
可得拉线拉力：
4-16 长度为250mm、截面尺寸为h×b＝0.8mm×25mm的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为60°的圆弧。已知弹性模量E＝210Gpa。试求钢尺横截面上的最大正应力。
解：根据题意可得，钢尺轴线的曲率半径：
R＝S/（π/3）＝250×3/πmm＝238.9mm
纯弯曲时有Me/（EIz）＝1/R，则钢尺内的弯矩：Me＝EIz/R
故钢尺横截面上的最大正应力：
σmax＝Me/Wz＝EIz/（RWz）＝（E/R）×（h/2）＝210×109×0.8×10－3/（238.9×10－3×2）Pa＝352MPa
4-17 一厚度为δ、宽度为b的薄直钢条AB，钢条的长度为l，A端夹在半径为R的刚性座上，如图4-29所示。设钢条的弹性模量为E，密度为ρ，且壁厚δ<<R，设钢条的变形处于线弹性、小变形范围，试求钢条与刚性座贴合的长度。
图4-29
解：在线性小变形的范围内，AC段的曲率1/R＝M/（EI），故AC段的弯矩
M＝EI/R＝Ebδ3/（12R）
图4-30
BC段受力均匀，如图4-30所示，其荷载集度q＝ρgbδ，根据平衡方程∑MC＝0，可得：
M－q（l－a）2/2＝0
解得：
4-18 一外径为250mm、壁厚为10mm、长度l＝12m的铸铁水管，两端搁在支座上，管中充满着水，如图4-31所示。铸铁的密度ρ1＝7.70×103kg/m3，水的密度ρ2＝1×103kg/m3。试求管内最大拉、压正应力的数值。
图4-31
解：铸铁管中水的重量可看作是空心圆截面简支梁的均布荷载，且荷载集度为：
q＝（π/4）（D2－d2）ρ1g＋（π/4）d2ρ2g＝（π/4）（0.252－0.232）×7.70×103×9.8＋（π/4）×0.232×1×103×9.8＝0.977kN/m
由题可知作用在梁上的最大弯矩值发生在梁跨中截面，值为：
Mmax＝ql2/8＝（1/8）×0.977×122kN·m＝17.59kN·m
梁的弯曲截面系数
Wz＝（πD3/32）[1－（d/D）4]＝（π/32）×0.253[1－（0.23/0.25）4]m3＝4.35×10－4m3
故管内的最大拉、压正应力的数值
σmax＝Mmax/Wz＝17.59×103/（4.35×10－4）Pa＝40.4MPa
4-19 一T字形截面的悬臂梁的尺寸及其承载如图4-32所示。为使梁内最大拉应力与最大压应力之比为1/2，试求：
（1）水平翼缘的宽度b及梁横截面上的最大拉应力。
（2）最大正应力截面上法向拉伸内力大小与作用点、法向压缩内力大小与作用点，及两者的合力矩大小。
图4-32
解：（1）若要使梁内最大拉应力为最大压应力的一半，根据σ＝My/Iz可得：y1＝80mm，y2＝160mm。
根据质心坐标公式
可得水平翼缘的宽度：b＝224.5mm
故惯性矩：
Iz＝（224.5×503）/12＋50×224.5×（y1－25）2＋（50×1903）/12＋190×50×[190/2－（y1－50）]2＝105010833mm4
梁内最大弯矩发生在固定端截面处，故最大拉应力：
σt，max＝Mmaxy1/Iz＝10×103×3×103×80/105010833MPa＝22.85MPa
（2）①法向拉伸内力的大小：
作用点：
②法向压缩内力的大小：
作用点：
③合力矩的大小：
M＝|Ftyt|＋|Fcyc|＝（182.8×57.4＋182.8×106.7）×10－3kN·m＝30kN·m
4-20 我国宋朝李诫所著《营造法式》中，规定木梁截面的高宽比h/b＝3/2（如图4-33所示），试从弯曲强度的观点，证明该规定近似于由直径为d的圆木中锯出矩形截面梁的合理比值。
图4-33
解：根据图示几何关系有h2＝d2－b2，将其代入矩形截面梁的抗弯截面系数WZ＝bh2/6，可得：WZ＝b（d2－b2）/6
令dWZ/db＝（d2－3b2）/6＝0
解得：
，
即
4-21 有一圆形截面梁，直径为d。为增大其弯曲截面系数Wx，可将圆形截面切去高度为δ的一小部分，如图4-34所示。试求使弯曲截面系数Wx为最大的δ值。
图4-34
解：
图4-35
如图4-35所示，圆截面切去高度为
的部分后，根据截面惯性矩的定义可得该截面的惯性矩：
其中，y＝r－δ＝rsinα，则：
截面的弯曲截面系数：
Wz＝Iz/ymax＝[r4（4α－sin4α）/8]/（rsinα）＝[r3（4α－sin4α）]/（8sinα）
令dWz/dx＝0，得：（4－4cos4α）sinα－（4α－sin4α）＝0
解得α＝78°，此时δ＝r－rsinα＝（d/2）（1－sin78°）＝0.011d
即δ＝0.011d时，弯曲截面系数Wz最大。
4-22 如图4-36所示，一由16号工字钢制成的简支梁承受集中荷载F。在梁的截面C-C处下边缘上，用标距s＝20mm的应变仪量得纵向伸长Δs＝0.008mm。已知梁的跨长l＝1.5m，a＝1m，弹性模量E＝210GPa。试求力F的大小。
图4-36
解：根据胡克定律σ＝Eε，可得该工字梁C-C截面下边缘的应力：
σC＝Eε＝E（Δs/s）＝210×109×（0.008/20）Pa＝84MPa
在F力作用下C-C截面的弯矩MC＝（F/2）（l－a）
查教材表知16号工字钢的弯曲截面系数Wz＝141cm3，则由
σC＝MC/Wz＝84MPa
解得：F＝（84×106×282×10－6）/0.5N＝47.4kN
4-23 由两根36a号槽钢组成的梁如图4-37所示。已知：F＝44kN，q＝1kN/m。钢的许用弯曲正应力[σ]＝170MPa，试校核梁的正应力强度。
图4-37
解：根据静力平衡条件，由梁结构和荷载的对称性可知两铰支座的支反力：
FA＝FB＝（ql＋5F）/2＝（6×1＋5×44）/2kN＝113kN
由分析可知梁内的最大弯矩发生在梁的中点处，值为：
查型钢表可知36a槽钢的弯曲截面系数Wz＝659.7cm3，故梁内的最大弯曲正应力：
σmax＝Mmax/（2Wz）＝202.5×103/（2×659.7×10－6）Pa＝153.5MPa＜[σ]
满足强度条件，梁是安全的。
4-24 一简支木梁受力如图4-38所示，荷载F＝5kN，距离a＝0.7m，材料的许用弯曲正应力[σ]＝10MPa，横截面为h/b＝3的矩形。试按正应力强度条件确定梁横截面的尺寸。
图4-38
解：根据平衡条件可知两铰支座支反力FA＝FB＝5kN，由此绘制该木梁的弯矩图，如图4-39所示，则梁内最大弯矩值为：Mmax＝3.5kN·m。
图4-39
根据梁的正应力强度条件且h/b＝3可得：
σmax＝Mmax/（bh2/6）＝Mmax/（3b3/2）＝（3.5×103×2）/（3b3）≤[σ]
解得：b≥61.56mm
取b＝61.56mm，故h＝3b＝184.7mm。
4-25 由两根28a号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用，如图4-40所示。已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]＝170MPa。试求梁的许可荷载[F]。
图4-40
解：根据平衡条件可求得两端支反力F1＝F2＝1.5F，由此绘制该梁的弯矩图，如图4-41所示。可知梁内最大弯矩值发生在梁中点处，值为：Mmax＝4×1.5F－2×F＝4F。
图4-41
查表知单根28a槽钢的弯曲截面系数：Wz′＝340.328cm3
根据正应力强度条件：σmax＝Mmax/Wz＝4F/Wz≤[σ]
可得：F≤Wz[σ]/4
故梁的许可荷载：
[F]＝（1/4）·2Wz′·[σ]＝（1/4）×2×340.328×10－6×170×106N＝29kN
4-26 如图4-42所示，一平顶凉台，其长度l＝6m，宽度a＝4m，顶面荷载集度f＝2000Pa，由间距为s＝1m的木次梁AB支持。木梁的许用弯曲正应力[σ]＝10MPa，并已知h/b＝2。试求：
（1）在次梁用料最经济的情况下，确定主梁位置的x值；
（2）选择矩形截面木次梁的尺寸。
图4-42
解：（1）将该梁简化为外伸梁受力模型，其受力简图如图4-43（a）所示。
图4-43（a）
根据平衡条件可得两支座的支反力：
FA＝[（l－2x）ql]/[2（l－x）]，FB＝ql2/[2（l－x）]
如图4－43（a）所示，在截面ξ处的剪力：
FS（ξ）＝[（l－2x）ql]/[2（l－x）]－qξ
令FS（ξ）＝0，可得ξ＝[（l－2x）l]/[2（l－x）]，根据荷载集度、剪力、弯矩的微分关系可知，此时AB段上弯矩取得最大值，为：
作梁的弯矩图如图4-43（b）所示：
图4-43（b）
为使材料最省，应满足MABmax＝MB，即
将已知数据代入，解得：x1＝10.24m，x2＝1.757m
根据题意，取x＝1.757m。
（2）荷载集度：q＝fs＝2000N/m
由（1）求得的结果可知，最大弯矩值为：
Mmax＝qx2/2＝（1/2）×2000×1.7572N·m＝3.1kN·m
根据梁的正应力条件且h/b＝2，可知：
σmax＝Mmax/Wz＝6Mmax/（bh2）＝3Mmax/（2b3）≤[σ]
则
取b＝77mm，故h＝2b＝154mm。
4-27 当荷载F直接作用在跨长为l＝6m的筒支梁AB之中点时，梁内最大正应力超过许可值30%。为了消除过载现象，配置了如图4-44所示的辅助梁CD，试求辅助梁的最小跨长a。
图4-44
解：当荷载直接作用在梁AB的中点时，梁内的最大弯矩值发生在荷载作用点，Mmax＝Fl/4，梁中的最大弯曲正应力：σmax＝Mmax/Wz＝Fl/（4Wz）＝（1＋30%）[σ]①
添加辅助梁后，梁的弯矩图如图4-45所示，最大弯矩值为Mmax＝F（l－a）/4
图4-45
根据梁的正应力强度条件，有：
σmax＝Mmax/Wz＝F（l－a）/（4Wz）≤[σ]②
联立式①、②得：F（l－a）/（4Wz）≤Fl/（4Wz×1.3）
解得辅助梁的最小跨度a＝1.385m。
4-28 图4-46所示的外伸梁由25a号工字钢制成，其跨长l＝6m，且在全梁上受集度为q的均布荷载作用。当支座处截面A、B上及跨中截面C上的最大正应力均为σ＝140MPa时，试问外伸部分的长度a及荷载集度q各等于多少？
图4-46
解：根据梁的平衡条件及梁结构和荷载的对称性可得支反力：
FA＝FB＝q（l＋2a）/2
梁截面A、B处的弯矩值：MA＝MB＝qa2/2
梁中点C处的弯矩值：
MC＝FA·（l/2）－（q/2）（l/2＋a）2＝ql2/8－qa2/2
由题意可知，以上三个截面的最大弯曲正应力均为140MPa，即
（qa2/2）/Wz＝（ql2/8－qa2/2）/Wz＝140MPa
查表得25a工字钢的弯曲截面系数：Wz＝401.88cm3
解得：a＝2.12m，q＝25kN/m。
4-29 已知图4-47所示铸铁简支梁的Iz1＝645.8×106mm4，E＝120GPa，许用拉应力[σt]＝30MPa，许用压应力[σc]＝90MPa。试求：
（1）许可荷载[F]；
（2）在许可荷载作用下，梁下边缘的总伸长量。
图4-47
解：（1）利用平行移轴公式可得截面对中性轴的惯性矩：
Iz＝Iz1－A·a2＝[645.8×106－（100×50＋200×50＋200×50）×1252]mm4＝255×106mm4
受力分析可知梁的最大弯矩值发生在梁的中点处Mmax＝F/2
根据梁的正应力强度条件σmax＝My/Iz≤[σ]，可得：
①最大拉应力
σtmax＝Mmax×0.125/Iz＝（F/2）×0.125/（255×10－6）＝245.1F≤[σt]
解得：F≤122.4kN
②最大压应力
σcmax＝Mmax×（300－125）×10－3/Iz＝（F/2）×0.175/（255×10－6）＝343.1F≤[σc]
解得：F≤262.3kN
综上，梁的许可荷载[F]＝122.4kN。
（2）梁下边缘的正应力：
根据胡克定律可得下边缘的纵向应变：
ε（x）＝σ（x）/E＝（3×107x）/（120×109）＝250×10－6x
故下边缘总的伸长量：
4-30 一铸铁梁如图4-48所示。已知材料的拉伸强度极限σb＝150MPa，压缩强度极限σbc＝630MPa。试求梁的安全因数。
图4-48
解：（1）确定截面形心位置
因此，中性轴距上、下边缘的距离为：
y1＝80＋y0＝147mm，y2＝160＋40－y1＝53mm
截面对中性轴的惯性矩：
（2）根据平衡条件求得两支反力：FA＝12kN，FB＝36kN，作梁的弯矩图，如图4-49所示。
MC＝12kN·m，MB＝8kN·m
图4-49
（3）①C截面，上边缘有最大压应力：
σcC＝MC·y1/Iz＝12×103×147×10－3/（29.01×10－6）Pa＝60.81MPa
下边缘，有最大拉应力：
σtC＝MC·y2/Iz＝12×103×53×10－3/（29.01×10－6）Pa＝21.92MPa
②B截面，上边缘有最大拉应力：
σtB＝MB·y1/Iz＝8×103×147×10－3/（29.01×10－6）Pa＝40.54MPa
下边缘，有最大压应力：
σcB＝MB·y2/Iz＝8×103×53×10－3/（29.01×10－6）Pa＝14.62MPa
③综上，并根据梁许用应力的定义可得安全系数：
n1＝σb/σtmax＝150/40.54＝3.70，n2＝σbc/σcmax＝630/60.81＝10.36
故最小安全因数n＝3.70。
4-31 一悬臂梁长为900mm，在自由端受一集中力F的作用。梁由三块50mm×100mm的木板胶合而成，如图4-50所示，图中Z轴为中性轴。胶合缝的许用切应力[τ]＝0.35MPa。试按胶合缝的切应力强度求许可荷载[F]，并求在此荷载作用下，梁的最大弯曲正应力。
图4-50
解：分析可知梁内的最大剪力FSmax＝F，最大弯矩值发生在固定端截面处，Mmax＝Fl。
在木板胶合缝处，根据剪应力强度条件：τ＝FSSz*/（bIz）≤[τ]
其中惯性矩：Iz＝bh3/12＝100×1503/12mm4＝2.81×10－5m4
胶合缝以上部分截面对中性轴的静矩：
Sz*＝（100×50×50）mm3＝2.5×10－4m3
则F×2.5×10－4/（0.1×2.81×10－5）≤0.35×106，解得：[F]≤3.93kN。
在此荷载作用下，梁内的最大弯曲正应力：
σmax＝Mmax·ymax/Iz＝0.9F×ymax/Iz＝0.9×3.93×103×0.075/（2.81×10－5）Pa＝9.44MPa
4-32 一矩形截面木梁，其截面尺寸及荷载如图4-51所示，q＝1.3kN/m。已知许用弯曲正应力[σ]＝10MPa，许用切应力[τ]＝2MPa。试校核梁的正应力和切应力强度。
图4-51
解：根据平衡条件求得支反力：FA＝1.62kN，FB＝3.9kN。
作梁的剪力图和弯矩图，如图4-52所示。
图4-52
可知梁内最大剪力值发生在B截面左侧，最大剪力FSmax＝2.28kN，最大弯矩Mmax＝1.01kN·m。
①校核正应力
σmax＝Mmax/Wz＝1.01×103×6/（0.06×0.122）Pa＝7.01MPa＜[σ]
②校核切应力
τmax＝3FSmax/（2A）＝3×2.28×103/（2×0.06×0.12）Pa＝0.475MPa＜[τ]
综上所述，该梁的正应力和切应力均满足强度要求，是安全的。
4-33简支梁AB承受如图4-53（a）所示的均布荷载，其集度q＝407kN/m。梁横截面的形状及尺寸如图4-53（b）所示。梁的材料的许用弯曲正应力[σ]＝210MPa，许用切应力[τ]＝130MPa。试校核梁的正应力和切应力强度。
图4-53（a）
图4-53（b）
解：（1）确定截面形心
则ymax＝（337＋14＋16＋yC）＝382mm。
（2）截面对其形心的惯性矩：
中性轴以上部分截面对中性轴的静矩：
SzC*＝445×9×（337－15＋14＋4.5）＋220×14×（337－15＋7）＋（337－15）×16×161＝3.206×106mm3
（3）对梁进行受力分析，作出剪力图和弯矩图，如图4-54所示。
图4-54
则最大剪力FSmax＝753kN，最大弯矩Mmax＝847kN·m。
④校核正应力
σmax＝Mmax·ymax/IzC＝847×103×382×10－3/（2.026×10－3）Pa＝159.7MPa＜[σ]
校核切应力
τmax＝FSmax·SzC*/（bIz）＝753×103×3.026×10－3/（0.016×2.026×10－3）Pa＝74.5MPa＜[τ]
综上所述，该梁的正应力和切应力均满足强度要求，是安全的。
4-34 图4-55所示木梁受一可移动的荷载F＝40kN作用。已知许用弯曲正应力[σ]＝10MPa，许用切应力[τ]＝3MPa。木梁的横截面为矩形，其高宽比h/b＝3/2，试选择梁的截面尺寸。
图4-55
解：（1）根据正应力强度条件确定
当荷载移至梁中点时，梁内有最大弯矩，Mmax＝F/4＝10kN·m。
根据梁的正应力强度条件σmax＝Mmax/Wz≤[σ]，可得：
σmax＝6Mmax/（bh2）＝6×10×103/[b（3b/2）2]≤[σ]＝10×106Pa
解得：b≥0.1387m＝138.7mm，此时h＝3b/2＝208mm。
（2）根据切应力强度条件确定
当荷载靠近支座时，梁内有最大剪力FSmax＝F＝40kN。
根据梁的切应力强度条件τmax＝3FSmax/（2A）≤[τ]，可得：
3×40×103/[2×（3b2/2）]≤[τ]＝3MPa
解得：b≥115.5mm，此时h＝3b/2＝173.2mm。
综上所述，梁的截面尺寸应至少取b＝138.7mm，h＝208mm。
4-35 由工字钢制成的简支梁受力如图4-56所示。已知材料的许用弯曲正应力[σ]＝170MPa，许用切应力[τ]＝100MPa。试选择工字钢号码。
图4-56
解：根据平衡条件可求得支反力：FA＝113.12kN，FB＝76.88kN。
由此作梁的剪力图和弯矩图，如图4-57所示。可见梁内最大剪力FSmax＝113.12kN，最大弯矩值Mmax＝84.1kN·m。
（1）根据正应力强度条件确定σmax＝Mmax/Wz＝84.1×103/Wz≤[σ]
解得弯矩截面系数：Wz≥0.495×10－3m3＝495cm3
由此查型钢表选取28a号工字钢，其相关参数
Wz＝508.15cm3，d＝8.5cm，Iz：Szmax*＝24.62cm
图4-57
（2）校核切应力强度
τmax＝FSmax·S*zmax/（dIz）＝113.12×103/（8.5×10－2×24.62×10－2）Pa＝5.4MPa＜[τ]
故可选用28a号工字钢。
4-36 外伸梁AC承受荷载如图4-58所示，Me＝40kN·m，q＝20kN/m。材料的许用弯曲正应力[σ]＝170MPa，许用切应力[τ]＝100MPa。试选择工字钢的号码。
图4-58
解：根据平衡条件求得支反力：FA＝40kN，FB＝0。
由此作出该梁的剪力图和弯矩图，如图4-59（a）、（b）所示。可见最大剪力值FSmax＝40kN，最大弯矩值Mmax＝40kN·m。
图4-59（a）剪力图
图4-59（b）弯矩图
（1）根据正应力强度条件确定σmax＝Mmax/Wz＝40×103/Wz≤[σ]
解得：Wz≥2.5329×10－4m3＝235.29cm3
查型钢表选取20a工字钢，其相关参数：
Wz＝237cm3，Iz/S*zmax＝17.2cm，d＝7cm
（2）校核切应力强度
τmax＝FSmax·S*zmax/（dIz）＝40×103/（0.07×17.2×10－2）Pa＝3.32MPa＜[τ]
故可选用20a工字钢。
4-37 开口薄壁圆环形截面如图4-60所示。已知横截面上剪力Fs的作用线平行于截面的y轴，试仿照矩形截面梁切应力的分析方法，推导此截面上弯曲切应力的计算公式。（提示：对薄壁圆环截面，切应力沿壁厚可视为均匀分布。对于微段dx，用夹角为dθ的两纵截面截取体积单元。）
图4-60
图4-61
解：开口薄壁圆环截面对z轴的惯性矩：
如图4-61所示，图中AB段环形面积对z轴的静矩：
应用矩形截面梁弯曲的切应力计算公式可得开口薄壁圆环θ截面上任一点的切应力为：
τ＝FSSz*/（Iz·δ）＝FS（1－cosθ）/（δπr0）
4-38 一宽度b＝100mm、高度h＝200mm的矩形截面梁，在纵对称面内承受弯矩M＝10kN·m，如图4-62所示。梁材料的拉伸弹性模量Et＝9GPa，压缩弹性模量Ec＝25GPa，若平面假设依然成立，试仿照纯弯曲正应力的分析方法，求中性轴位置及梁内的最大拉应力和最大压应力。（提示：由于拉、压弹性模量不同，中性轴z将不通过截面形心，设中性轴距截面上、下边缘的距离分别为hc和ht。）
图4-62
解：在平面假设成立的情况下有ε＝y/ρ，又由胡克定律σ＝Eε，联立可得：
σt＝Et（y/ρ），σc＝Ec（y/ρ）①
根据静力学关系有
由此积分可得：Etht2－Echc2＝0，联立ht＋hc＝h，解得：hc＝75mm，ht＝125mm。
由题意可得：
解得中性层的曲率半径：ρ＝b（Echc3＋Etht3）/（3M）＝93750mm
将求得的数据代入式①可得：
梁内最大拉应力：σtmax＝Et（ytmax/ρ）＝12MPa；
梁内最大压应力：σcmax＝Ec（ycmax/ρ）＝20MPa。