第1章　代　数

1.1　考点精讲

一、集合和简易逻辑

1．集合的基本概念

（1）集合及其有关基本概念

①集合：把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合．一般用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.

②元素：集合里的各个对象称为集合的元素．一般用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素.

③：表示a是集合A的元素，读作“a属于A”；

④：表示a不是集合A的元素，读作“a不属于A”；

⑤有限集：含有有限个元素的集合称为有限集；

⑥无限集：含有无限个元素的集合称为无限集；

⑦空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作.

（2）常见的数集

①自然数集：全体自然数的集合称为自然数集，通常记作N，注意；

②整数集：全体整数的集合称为整数集，通常记作Z；

③有理数集：全体有理数的集合称为有理数集，通常记作Q；

④实数集：全体实数的集合称为实数集，通常记作R；

⑤复数集：全体复数的集合称为复数集，通常记作C.

2．集合的表示法

（1）列举法

把集合中的元素一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法，如{a，b，c，d}.

（2）描述法

把集合中的元素的共同特性描述出来并写在大括号内，这种表示集合的方法称为描述法，例如

，{直角三角形}．如果从上下文看，是明确的，那么第一个集合也可以表示为

有时也用图形表示集合.

3．集合与集合的关系

（1）子集

对于两个集合A与B，如果集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么称集合B是集合A的子集，记作或，读作“B包含于A”或“A包含B”.

　 由子集的定义知道：，并且如果，那么，

①真子集：如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一个元素不属于B，那么称集合B是集合A的真子集，记作或

②集合相等：对于两个集合A与B，如果，同时，那么就说集合A与集合B相等，记作A＝B.

（2）交集

由集合A与集合B的所有公共元素所组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B．由交集的定义知道：A∩A＝A，A∩＝.

（3）并集

把集合A与集合B的所有元素合并在一起所组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B.

由并集的定义知道：A∪A＝A，A∪＝A.

（4）补集

全集：在研究集合与集合之间关系的问题中，这些集合常常都是某一个给定的集合的子集，这个给定的集合称为全集，用符号U表示.

补集：已知全集U，集合，由U中所有不属于A的元素组成的集合，称为集合A的补集.在集合U中的补集，记作C_UA.

由补集的定义知道：

4．简易逻辑

一个数学命题都有条件和结论两部分，如果把条件和结论分别用A，B表示，那么命题可以写成“如果A成立，那么B成立”，或简写成“若A，则B”.

（1）如果A成立，那么B成立，即，这时我们就说条件A是B成立的充分条件.

（2）如果B成立，那么A成立，即，这时我们就说条件A是B成立的必要条件.

（3）如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，即既有，又有，这时我们就说条件A是B成立的充分必要条件，简称充要条件.

【例】b＝0是直线y＝kx＋b过原点的（　　）.

A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】讨论这类题目，要考察两个式子是否都成立．设A为“b＝0”，B为“直线y＝kx＋b过原点”，因为当b＝0时，直线方程变为y＝kx，图形一定过原点，即成立．当直线y＝kx＋b过原点时，把原点坐标（0，0）代入方程，得0＝k×0＋b，b＝0，即成立．所以，b＝0是直线y＝kx＋b过原点的充要条件.