第10章　模拟与数字滤波器

1．某因果数字滤波器的零、极点如图10-1（a）所示，并已知其。试求：

 

图10-1

（1）它的系统函数及其收敛域，且回答它是IIR还是FIR的什么类型（低通、高通、带通、带阻或全通）滤波器?

（2）写出图10-1（b）所示周期信号的表达式，并求其离散傅里叶级数的系数；

（3）该滤波器对周期输入的响应。[中国科学院2006研]

解：（1）由该因果滤波器的零极点图，可以写出它的系统函数为

其中，k为常数。由于收敛域包含单位圆，因此，系统的频率响应为

已知，因此

可得常数k=－0.5

由此，滤波器的系统函数为

其频率响应为

显然，该滤波器是FIR滤波器，且是带阻滤波器。

（2）周期为4的周期信号的表达式为

可得的离散傅里叶级数的系数

因此，其一个周期内的系数分别为

。

（3）由该滤波器零极点图可知，在频率和处，频率响应为零，即

而在频率处，频率响应为：

因此，当滤波器输入为时，输出只有直流分量，即。

2．已知连续时间信号是一个实的周期信号，其傅里叶级数表达式为：

（1）试确定系数a，b，c，d；

（2）若将该信号诵讨图10-2所示的理摁低通滤波器，求系统的输出信号。[大连理工大学研]

图10-2

解：（1）根据指数形式傅里叶级数展开式

因为f（t）是实信号，所以

　

又因为

所以

（2）只有频率成分通过

所以，有

其余

所以

3．序列x（n）作用于单位样值响应为h（n）的零状态线性时不变离散系统，系统输出为y（n）。

（1）若x（n）的幅度谱则和分别为和的自相关函数。请予以证明。

（2）若已经确知能否唯一确定?为什么? [清华大学研]

解：（1）因为

所以

又因为

故

（2）由于故只能确定的幅度，而相位无法确定，从而不能确定唯一

4．利用复指数载波幅度调制能够实现可变中心频率的带通滤波器，如图10-3所示。

其中：

整个系统的输v（t）是复信号r（t）的实部。

（1）试证明该系统实现了理想低通滤波器，并确定该滤波器的中心频率。截至频率

和

（2）假定若输入求系统的输出[电子科技大学研]

解：（1）因为

设；因为；所以

所以等效系统的单位冲激响应

其频响：

故该系统实现了理想带通滤波器，如图10-4所示。

其中心频率

截至频率为：

图10-3

图10-4

（2）因为是周期为T=2的周期信号。

所以

所以

所以

取

因为

所以

故