2.3 案例一 全混釜串联反应过程

2.3.1 反应过程简介

连续搅拌全混釜是化工过程中的典型反应器，本节以全混釜中的串联反应过程为例，详细研究系统稳态解随操作参数变化而改变的情况。

该反应过程的研究体系如图2-4所示，反应物A转化为产物B，产物B进一步反应生成副产物C，该过程是在全混釜[19～23]的放热反应，反应式如下：

A→B→C

2.3.2 反应过程数学模型

物料平衡和能量平衡方程[22],[23]如下：

式（2）中变量描述如下：CA、CB为反应器中A、B的浓度；CAf、CBf是进料中A、B的浓度；Q为进料流量；V为反应器体积；k1（T）、k2（T）是随温度变化的化学反应系数；T为反应器温度；Tf为反应器出口温度；ΔHA、ΔHB 为反应热；Cp为反应器内液体的定压热容；ρ为密度；U为传热系数；A为换热面积；Tc 为冷却夹套的温度，Qc为冷却介质的流量；Vc 为冷却夹套的体积；Tcf为冷却夹套出口温度；Cpc为冷却介质的定压热容。

将变量无因次化，得到如下的反应方程：

无因次参数如下：

式（2-3）中增加的变量描述如下：CAf0为参照浓度；Tf0为参照温度；Q0 为参照流量；E1、E2 是反应A→B→C的两个活化能。

微分方程式（2-2）变化率为0的非线性方程组如式（2-4）所示：

方程组中x1、x2、x3、x4、q、qc为未知数，其他是常数。

在式（2-4）中，当q、qc 的数值确定后，方程组成为含有4个未知数的方程组。求解方程组，可以得到反应器的多稳态信息。

2.3.3 单参数变化时的多稳态解现象

固定参数q、qc求解方程组，当qc=0.3时，q的数值逐渐增大，求相应的稳态解。这里使用两种方法计算，首先用一般的方法求解，再用扩展的同伦延拓法求解。

1．用常规方法求解

在各增大过程中，用常规求解非线性方程组的方法对于每一个确定的q求出所有的解。表2-1列出了系统的稳态解。

由表2-1可知，在qc=0.3时，随着q的变化方程组的解的数值变化的同时解的个数也发生了变化。例如，当q等于3.0、4.0、5.0时方程组有三组不同的解，而q等于1.0、2.0、6.0、7.0时只得到一组解。

同样，以0.1作为q的步长求出在不同q值下x1、x2、x3、x4 的数值，绘制qc=0.3时x2 随q变化的曲线。

图2-5显示了当q从1到8变化过程中方程组的解x2 的数值变化过程。图2-5也显示了求解含有参数的方程组的一般方法，首先固定参数为某一确定值，当qc=0.3时，只有一个参数q。求解q=1时的非线性方程组，得到一个解。同样，当q=2时，也得到一个解。当q=3, q=4, q=5时可以得到3个解。当q=6, q=7, q=8时也只得到一个解。将q以步长为0.1从0增大到8的过程中所有方程组的解绘制在曲线上得到图2-5所示的解曲线。

2．使用扩展的同伦延拓法求解

如果使用扩展的同伦延拓法求解这个带参数的非线性问题，那么固定qc的取值，将q看作变化过程的参数，计算得到的曲线如图2-6所示。

从图2-6看到计算结果上的点并不是随参数q均匀分布的，这与通常的计算方法不同，但是计算量减小。

图2-5、图2-6显示了x2 的多稳态解的情况，用同样的方法可以绘制x1、x3、x4的多稳态解的情况。

这里是在固定qc的情况下逐渐改变q的数值获取相应的方程组解，如果同时改变qc和q的数值求解方程组，那么就可以得到稳态解在操作变量q-qc构成的空间中的分布。

2.3.4 稳态解在操作参数空间中的分布

在这个体系中，如果同时改变进料流量q、冷却水流量qc，那么可以获得稳态解的空间分布曲面。通过计算将多稳态解的情况绘制在如下的图形中。

从图2-7至图2-10显示了含参数的方程式（2-4）的稳态解在操作空间q-qc上的分布情况。通过分析稳态解的曲面，可以深入了解反应器的稳态特性。

在实际生产中，无论是人为操作还是不确定因素，例如气温的变化等，都会造成操作条件的变化，这些变化将如何影响系统呢？通过计算出的曲面可以看到当操作变量变化时系统稳态解在曲面上的相应变化过程，这对于设计和实际生产都具有重要意义。对于设计来说，可以找到满足设计要求的最大的操作范围，从而设计出更具操作灵活性的方案。对于实际生产来说，可以确定操作条件的改变是否会影响系统的稳定性、是否能满足生产的要求，从而减小改变操作条件带来的风险。

2.3.5 结果讨论

描述化工反应系统的方程组具有强的非线性，对于非线性系统通常存在多个稳态。这些稳态值对于深入了解反应系统的特性具有重要意义。

实例计算表明，本文提出的扩展的同伦延拓法能有效求出系统在某个参数变化情况下的多个稳态解的分布情况。在此基础上，可以深入了解反应系统在参数变化过程中具有的多稳态特性，这些特性可为反应过程的操作和设计改造提供依据。